江苏省无锡市2023-2024学年高一上学期期末教学质量调研测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省无锡市2023-2024学年高一上学期期末教学质量调研测试数学试卷（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知幂函数，且，则（ ）
A. B. C. 8D. 9
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C D.
5. 已知角的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. -2D.
6. 已知函数，则单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
7. 化简，得（ ）
A. B. C. D.
8. 若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知全集为，则下图阴影部分表示正确为（ ）
A. B.
C. D.
10. 若正实数x，y满足，则（ ）
A. 最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为1D. 的最大值为
11. 已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，以下说法正确的是（ ）
A. 是图象的一条对称轴
B. 的单调递减区间为
C. 的图象关于原点对称
D. 的最大值为
12. 已知函数则下列说法正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 当时，的取值范围为
C. 若关于的方程有三个不同实数根，则
D. 令，不存在常数，使得恰有5个零点
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 命题“，”的否定是______．
14. 写出一个同时具有下列性质①②的函数__________.
①，②当时，
15. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20-79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过________小时，才能驾驶?（结果精确到0.1h）（附：，）
16. 已知，.当时，的两根为，，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
18. 已知函数.
（1）若不等式的解集是，求，的值；
（2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围.
19. 已知函数.
（1）当时，求的取值范围；
（2）若且，求的值.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
21. 如图，已知直线，是，之间的一个定点，过点作直线垂直于，且分别交于点，，，.是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点.设，.
（1）设的面积为，的面积为，求的最小值；
（2）若外接圆面积不超过，求角的取值范围.
22. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质.
（1）已知，判断是否满足性质，并说明理由；
（2）若满足性质，且定义域为.
①已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解?请说明理由；
②若在上单调递增，证明：在上单调递增.
无锡市2023年秋学期高一期终教学质量调研测试
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集与交集的运算，可得答案.
【详解】，.
故选：B.
2. 已知幂函数，且，则（ ）
A. B. C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，建立方程求得参数，代入可得答案.
【详解】由题意可得：，解得，则.
故选：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】解出后者不等式，再根据充分、必要条件的判定即可.
【详解】，即或，解得或，
而前者，显然两者无包含关系，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象，知函数存在奇偶性，先判断函数奇偶性，然后根据结合函数值的正负，可得出答案.
【详解】函数，定义域为，，
所以函数为奇函数，则排除AD项；
当时，，，所以有，所以，B项符合条件.
故选：B.
5. 已知角的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. -2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求得，再利用诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以
故选：A.
6. 已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性求解，注意函数的定义域．
【详解】解得：，
所以的定义域为．
令，其单调增区间为，又在单调递减，
由复合函数单调性知：的单调减区间为．
故选：C．
7. 化简，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先切化弦，再结合三角恒等变换化简求值.
【详解】
故选：C
8. 若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分和两种类型，方程显然成立，时方程化简后利用数形结合的方法画图分析.
【详解】方程有四个不同的实数根，是方程的一个根，
当时方程变形为，这个方程有三个非零实数根，
则函数和的图像有三个不同的交点，如图所示，
显然不成立，
当时，和图像有一个交点，
则需要和的图像有两个不同的交点即可，
由，得，由，得，
所以时，和的图像有两个不同的交点.
综上，关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：
方程的根与函数图象交点间的关系，将方程的根的个数问题转化为恰当的函数图象的交点个数问题,数形结合解决问题是解决本题的关键.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知全集为，则下图阴影部分表示正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】结合交集补集的定义，和韦恩图的性质，直接判断.
【详解】阴影部分中的元素，满足且，
所以阴影部分可表示为或.
故选：AC
10. 若正实数x，y满足，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为1D. 的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式逐项分析求解.
【详解】因为正实数x，y满足，
对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故A正确；
对于选项B：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，故B错误；
对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，
即，可得，所以的最大值为，故D正确；
故选：AD.
11. 已知函数，把的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，以下说法正确的是（ ）
A. 是图象的一条对称轴
B. 的单调递减区间为
C. 的图象关于原点对称
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求的对称轴方程和单调递减区间，验证选项AB；求的解析式，由奇偶性判断对称性，验证选项C；由辅助角公式化简，求最大值验证选项D.
【详解】由，解得，
得图象的对称轴方程为，其中时，，A选项正确；
由，解得，
所以的单调递减区间为，B选项正确；
，
函数是偶函数，图象关于y轴对称，C选项错误；
，
所以的最大值为，D选项正确.
故选：ABD
12. 已知函数则下列说法正确的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 当时，的取值范围为
C. 若关于的方程有三个不同实数根，则
D. 令，不存在常数，使得恰有5个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数图象，对于A：在同一坐标系中观察和的图象可得；对于B：观察图象确定单调性，然后求解；对于C：通过观察函数与函数的图象有3个交点的情况求解；对于D：研究的零点情况，代入可得答案.
【详解】作出函数的图象如下：
对于A：在同一坐标系中画出和的图象如下：
，
联立，得，
所以不等式的解集为，A正确；
对于B：由图可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以的取值范围为，B错误；
对于C：若关于的方程有三个不同实数根，
即函数与函数有三个不同的交点，不妨设，
如图：
其中，
所以，C正确；
对于D：，恰有5个零点
令，则，
当只有1个零点时，设为，则方程有5个根，不可能；
当有2个零点时，设为，且，然后和共有5个根，则或
若有一个零点是，则另一个零点为，不满足，
若有一个零点是，则另一个零点为，不满足，
故不存在常数，使得恰有5个零点，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：当函数图象比较方便画出的时候，我们可以将方程的根或者函数零点问题，转化为两个函数的交点问题来解决，会非常直观和方便.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分，请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题“，”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即，，
故答案为：，
14. 写出一个同时具有下列性质①②的函数__________.
①，②当时，
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，判断满足条件的函数解析式.
【详解】由可知，指数函数符合条件；
由时，，指数函数单调递增.
所以满足条件的一个函数.
故答案为：(答案不唯一)
15. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到20-79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到1mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过________小时，才能驾驶?（结果精确到0.1h）（附：，）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意先求出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出不等式，再结合对数函数的公式，即可求解．
【详解】设该驾驶员经过小时才能驾驶，
则，即，
故，
，
故，即至少经过小时才能驾驶．
故答案为：
16. 已知，.当时，的两根为，，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为________.
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】根据方程，用韦达定理表示，由算式确定最小值；当时，恒成立，是方程的根，得，代入利用基本不等式求最小值.
【详解】当时，方程，即，
则有，，
，
所以当时，的最小值为4，此时满足.
当时，恒成立,
由，当时，，；当时，，.
是方程的根，即有，得，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：4；
【点睛】关键点点睛：
当时，恒成立，结合一次函数与二次函数的性质，则与在有相同的零点.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知全集，集合，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）由并集的定义，直接求；
（2），分和两种类型，讨论实数的取值范围.
【小问1详解】
集合，，则.
【小问2详解】
集合，，
当时，即时，，此时，满足题意；
当时，即时，，当，则或，
即或，所以.
综上，实数的取值范围.
18. 已知函数.
（1）若不等式的解集是，求，的值；
（2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用韦达定理即可求解；
（2）分和讨论即可.
【小问1详解】
由题意得为方程的两实数根，且，
则，解得.则，.
【小问2详解】
当时，，
即不等式一切实数恒成立，
当时，即，显然对一切实数并不是恒成立，则，
则有，解得，
综上所述：.
19. 已知函数.
（1）当时，求的取值范围；
（2）若且，求的值.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；
（2）根据题意分析可得，，以为整体，结合两角和差公式运算求解.
【小问1详解】
，
当时，则，可得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
因为，
且，则，可得，
则，
所以
，
即.
20. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数为R上的减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意由函数为定义在上的奇函数知，代入计算即可；
（2）首先对解析式变形，用作差法判断函数单调性即可；
（3）根据函数的奇偶性，单调性可得任意恒成立，换元令，根据二次函数性质结合恒成立问题分析求解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，
此时，
可得，
即符合题意.
【小问2详解】
由（1）知，可知函数为R上的减函数，证明如下；
任取，设，
则，
因，则，，，
故，即，
所以是R上的减函数.
【小问3详解】
因为为奇函数，且，
则，
又因为是R上的减函数，则，
可得任意恒成立，
令，由可知，
可得，且的图象开口向上，对称轴为，
则在内单调递减，可得在内的最小值为，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
21. 如图，已知直线，是，之间的一个定点，过点作直线垂直于，且分别交于点，，，.是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点.设，.
（1）设的面积为，的面积为，求的最小值；
（2）若的外接圆面积不超过，求角的取值范围.
【答案】21.
22.
【解析】
【分析】（1）根据题意求出，换元，判断函数单调性求出最小值；
（2）根据题意设外接圆半径为，则，可得，利用三角恒等变换求出，结合，可得解.
【小问1详解】
根据题意，，则，，
，，，，
，，
，，
令，，
任取，且，
则，
，，，，
，即，
所以函数在上单调递减，
，
即的最小值为，当且仅当时等号成立.
【小问2详解】
设外接圆半径为，则，
又外接圆面积，即，即，
由题可得，
，即，
化简整理得，解得，
又，，，
，解得.
22. 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质.
（1）已知，判断是否满足性质，并说明理由；
（2）若满足性质，且定义域为.
①已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解?请说明理由；
②若在上单调递增，证明：在上单调递增.
【答案】（1）不满足，理由见解析
（2）①，没有正整数解，理由见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据性质列式计算验证；
（2）①通过可求函数的解析式，先假设方程有正整数解然后解方程找到矛盾即可；②任取，计算判断的正负即可证明.
【小问1详解】
不恒成立，
故不满足性质；
【小问2详解】
①当时，，此时，
又当时，，得，
所以，
假设方程有正整数解，
则，要等式能成立，必有，
所以，
明显为单调递增函数，
又当时，，当时，，
故方程无正整数解；
②任取，则，
则，
因为在上单调递增，且，
所以，
所以，
所以在上单调递增.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可，定义新，也许带来的就是试题整体难度并不会很大.