江苏省无锡市2024-2025学年高二上学期期终教学质量调研测试数学试题（解析版）

这是一份江苏省无锡市2024-2025学年高二上学期期终教学质量调研测试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据复数的运算法则，可得，可得
故复数的虚部为.
故选：B.
2. 直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】因为，所以，解得或，
当时，，，此时重合，舍去；
当时，，，此时满足，
故选：D.
3. 已知直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则l与的位置关系是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】因为直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，所以，所以，
则或.
故选：D.
4. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ）
A. B. 18C. D. 24
【答案】B
【解析】在正项等比数列中，设公比为，
则，又，，10成等差数列，
则，则，
故，
故选：B.
5. 已知正四面体的棱长为，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如下图所示：
因为为的中点，则，所以，，
则，
因此，.
故选：C.
6. 已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，
由题意可知，所以，
又因为，
所以，
化简可得，
所以的轨迹方程为，
故选：A.
7. 已知圆：与圆：有两条公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于圆：与圆：有两条公切线，
故两圆相交，则，
解得，即实数a的取值范围为，
故选：C.
8. 斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知
，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，…，，，
以上各式相加得，，
化简得，
由，即，
所以，解得；
因为，
所以，，，，
所以
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 为实数B.
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】设复数，则，
则，为实数，A正确；
，，则，B正确；
若，不妨取，则不成立，C错误；
，
则，
，
则，
则，D正确，
故选：ABD.
10. 在长方体中，，底面是边长为3正方形，，则下列选项正确的有（ ）
A. ，三棱锥的体积是定值
B. 当时，存在唯一的使得平面
C. 当时，的周长取得最小值
D. 当直线与所成角余弦值为时，的值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由于平面，故E到平面的距离为定值3，
而的面积为，故三棱锥的体积为，为定值，A正确；
对于B，当时，，若平面，而平面，
故，设，则，，
即，，
即，解得，
即当时，上存在两个不同的点E，使得平面，
由于，即存在不同的使得平面，B错误；
对于C，如图，将四边形展开到一个平面上，连接，交于E点，
由于，故为三角形的中位线，即E为的中点，
则，此时的值最小，即的周长取得最小值，C正确；
对于D，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
由于，故，则，
故，
则，
解得（负值舍去），D正确，
故选：ACD.
11. 已知抛物线E：上一点到其焦点的距离为2，过点作一条直线l与抛物线交于A，B两点，过原点O作，垂足为H，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 抛物线E上的点到M距离的最小值为4
D. 存在一个定点Q，使得线段长度为定值
【答案】ABD
【解析】对于A，抛物线E：上一点到其焦点的距离为2，
则，A正确；
对于B，设直线l的方程为，
联立，得，，
则，
故，则，故，B正确；
对于C，设抛物线上的点，
则，
当时，取到最小值，C错误；
对于D，由于，故H点在以OM为直径的圆上（不含原点），
而，故存在点，使得线段长度为定值2，D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，则实数______．
【答案】9
【解析】记等差数列的公差为，因为，
所以，
即，解得.
13. 过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】由题意知，为正三角形，且，则，
所以，，
由椭圆的定义知，
即，解得.
14. 空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为平面的方程．已知平面的方程为，过点作直线，点为直线上任意一点，则，满足的关系式为______；点P到平面的距离为______．
【答案】
【解析】因为平面的方程为，则平面的法向量为，
又过点作直线，点为直线上任意一点，
则
又，所以，所以；
因为平面的方程为，即，
所以平面过点，
所以，则点P到平面的距离为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
解：（1）因为圆心在直线上，所以设，
因为圆经过两点，
所以，
解得，即，半径，
所以圆的标准方程为
（2）因为过点的直线被圆截得的弦长为8，
所以到直线距离，
当直线斜率不存时，直线满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
所以，解得，
此时直线方程为，即.
综上所述，直线的方程为或
16. 已知等比数列的公比为整数，其前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
解：（1）由题意，记等比数列的公比为，
由得，
解得或，
因为公比为整数，所以，所以，因此；
（2）由（1）可得，，
所以，
因此①
所以②
①②得：
，
所以.
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：因为底面是正方形，侧棱底面，
如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，.
因为，故，所以.
（2）解：设平面的法向量，因为，
所以，所以，令，得；
又，
设直线与平面所成角为，则，
又，所以，即直线与平面所成角为；
（3）解：因为，
设平面的法向量，
所以，所以，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知数列，其前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和，求证：；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，当时，
所以，
即，所以，
即，所以，，，，，，
累乘可得，又，所以，
当时也成立，所以；
（2）由（1）可得，
所以
；
（3）因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，
则，
所以时，当时，当时，
即，
所以，所以，即实数的取值范围为；
19. 已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为．
①求证：为定值；
②求的取值范围．
解：（1）设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，
即，
则，而，
故双曲线方程为；
（2）①由题意知，
设直线PQ的方程为，
联立方程组，得，
因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，
故，
则，
则；
当直线PQ斜率不存在时，,
故为定值；
②由题意可得，直线AP的方程为，
则，直线AQ的方程为，
则，
则，
所以，
由于。即，，故，
当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为，
直线AQ方程为，
可得，
综上的取值范围为.