湖南省邵阳市大祥区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷（解析版）

这是一份湖南省邵阳市大祥区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下面是我国有名的四所大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C
3. 如图，直线a、b被直线c所截，并且，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
∵
∴
∴
故选：C．
4. 若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、，含有，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
B、，是二元二次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
C、，是二元一次方程，不能组成二元一次方程组，不符合题意；
D、能组成二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
5. 古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为，，，，，，有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数为B. 方差是2
C. 众数是1D. 中位数为2.5
【答案】B
【解析】将这一组数按照由小到大重新排序，，，，，，
则平均数为，故A正确；
方差为，故B错误
众数为，故C正确，
中位数是，故D正确；
故选∶B．
6. 下列分解因式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．，故选项A不符合题意；
B．，故选项B符合题意；
C．，故选项C不符合题意；
D．，故选项D不符合题意；
故选：B．
7. 如果，那么的值是（ ）
A. 28B. 5C. D. 10
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
故选D．
8. 如图，长方形沿对折后，若，则度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，
∵长方形沿对折后两部分重合，，
∴，，
∴．
故选：D．
9. 《九章算术》中有这样一个题，其大意是：今有醇酒(优质酒)1斗，价值50钱；行酒(劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买多少？设醇酒买了x斗，行酒买了y斗，则可列二元一次方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意得：，
故选：A．
10. 如图是一个由5张纸片拼成的一个大长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张大正方形纸片大小一样，面积记为S1，另外两张长方形纸片大小一样，面积记为S2，中间一张小正方形纸片的面积记为S3，则这个大长方形的面积一定可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设S3的边长为x，S2的长为y，则S1的边长为y-x，S2的宽为y-2x，
∴大长方形的长为2y-x，大长方形的宽为2y-3x，
∴S大长方形=（2y-x）（2y-3x）
=4y2-6xy-2xy+3x2
=4y2-8xy+3x2
=3（x2-2xy+y2）+（y2-2xy），
又∵S1=（y-x）2=y2-2xy+x2，S2=y（y-2x）=y2-2xy，
∴S大长方形=3S1+S2，
故选：A．
二、填空题
11. 将多项式分解因式时，应提取的公因式是___________．
【答案】
【解析】对多项式分解因式时，应提取的公因式是，
故答案为：．
12. 将一副三角板如图放置，使点A在上，，，则的度数为____________．
【答案】
【解析】由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案：．
13. 如图，四边形中，，与相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是____________（填序号）
【答案】②③④
【解析】∵，
∴间的距离相等，
①三角形与三角形周长不一定相等，故①不正确
②三角形与三角形面积相等，故②正确；
③∵
∴
即三角形与三角形面积相等，故③正确；
④与之间的公垂线段相等，故④正确．
故答案为：②③④．
14. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是____________．
【答案】
【解析】∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，
∴旋转角为，
∵，，
∴，即旋转角的度数是，
故答案：
15. 年月日是第个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占，进行计算，小明这四项的得分依次为，则他的最后得分是____________．
【答案】
【解析】由题意可得她的最后得分是 (分)，
故答案为：．
16. 如图（，，三点在同一直线上），要使，需要添加的条件是___________（只用图中的数字与字母，任意添加一组）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】添加，
∵，
∴（内错角相等，两直线平行）；
添加，
∵，
∴（同位角相等，两直线平行）；
添加，
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）；
添加，
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）；
故答案为：（答案不唯一）．
17. 将多项式进行因式分解：_____________．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
18. “六一儿童节”当天，商场推出铅笔，练习本、圆珠笔三种特价学习用品，若购铅笔2支，练习本1本、圆珠笔3支共需6元；若购铅笔3支、练习本4本、圆珠笔2支共需9元．现购铅笔1支，练习本1本，圆珠笔1支，共需___________元．
【答案】
【解析】设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为、和元，
根据题意得：，
②①得：③，
购铅笔支，练习本本，圆珠笔支，共需元，
故答案为：．
三、解答题
19. 数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
（1）按照小云的方法，x的值为_____，y的值为_______；
（2）请按照小辉的思路求出m的值．
(1)解：联立①③得：，
由得：，即，
将代入③得：，
解得：，
故答案为：13、；
(2)解：由得：④，
将③代入④得：，
解得：．
20. 已知代数式：．
（1）化简这个代数式；
（2）若，求原代数式的值．
(1)解：
；
(2)解： ，
，
，
．
21. 如图，，点D、E分别在线段，上，、分别与交于点M、N，若，，求证：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“．”表示“所以”）
证明：∵，（已知）
又∵，（①___________）
∴②_____（等量代换）
∴．（③____________）
∴④_____（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴（⑤_____________）
∴⑥_____________（内错角相等，两直线平行）
∴．（⑦__________）
∵，（已知）
∴
∴
∴．（⑧______________）
证明：∵，（已知）
又∵，（①对顶角相等），
∴②（等量代换）
∴．（③同位角相等，两直线平行）
∴④（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴（⑤等量代换）
∴⑥（内错角相等，两直线平行）
∴．（⑦两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴
∴
∴．⑧垂直的定义．
故答案为：①对顶角相等；②∠3；③同位角相等，两直线平行；④；⑤等量代换；⑥；⑦两直线平行，内错角相等；⑧垂直的定义．
22. 如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用四种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形.

解：如图所示：
．
23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法；借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的正方形边长为_________；
（2）观察图②，写出关于代数式，之间的一个代数恒等式：________；
（3）观察图③，请将多项式因式分解：_______﹔
（4）根据(3)题中的等量关系，解决下列问题：若，求的值．
解：(1)由题意可得，阴影部分正方形的边长为，
故答案为：．
(2)②大正方形的面积为，
四个长方形的面积为：，
则阴影部分的面积为
∴
(3)由图3可得，大长方形的面积可以表示为或，
∴
(4)由（2）得
∵，
∴
∴
24 某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，七（1），七（2）班各选取5名选手参赛，两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）
七（1）班：5，9，7，10，9
七（2）班：8，8，7，8，9
根据以上信息，请解答下面的问题：
（1）求七（2）班5名同学比赛成绩的平均数和方差；
（2）已知七（1）班5名同学的比赛成绩平均数为8分，方差为，请根据数据进行分析，你认为哪个班能成为获胜班级，为什么？
（3）若七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，则七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比会_______，方差相比会_______（填“变大”、“变小”或“不变”）
(1)解：七（2）班5名同学比赛成绩的平均数为： ．
方差：①平均：平均数为8
②求差：0，0，，0，1
③平方：0，0，1，0，1
④再平均：
故答案为：平均数为8，方差：．
(2)解：七（1）班5名同学比赛成绩的平均数为，
七（2）班5名同学比赛成绩的平均数为：8
两个班级的平均数都要是8，
七（2）班的比赛成绩的方差小于七（1）班方差，
七（2）班的成绩更稳定，
我认为七（2）班能成为获胜班级．
故答案为：七（2）班能成为获胜班级．
(3)解：七（1）班又有一名学生参赛，成绩是8分，
七（1）班这6名选手成绩的平均数为：．
七（1）班5名同学比赛成绩的平均数为8，
七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的平均数相比不变．
七（1）班5名同学的比赛成绩方差为，
七（1）班这6名选手方差：①平均：平均数为8
②求差：，1，，2，1，0
③平方：9，1，1，4，1，0
④再平均：，
七（1）班这6名选手成绩的平均数与5名选手成绩的方差相比会变小．
故答案为：不变，变小．
25. 随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元
（1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
解：(1)设种汽车每辆万元，种汽车每辆为万元，
则可列二元一次方程组为
解得：
答：种型号的汽车每辆进价分别为万，种型号的汽车每辆进价分别为万元
(2)设种汽车辆，种汽车辆，则可列二元一次方程为
符合题意的正整数解有：，，
所以公司购买汽车的方案有三种：①种汽车辆，种汽车辆；②种汽车辆，种汽车辆；③种汽车辆，种汽车辆．
(3)公司购买汽车三种方案的利润分别是：①元；
②元
③元
方案①的利润最大，最大利润是元．
26. 如图，直线，D、A分别在、上，点E为两平行线内部一点．
（1）
问题情境：如图1，探究的数量关系，并说明理由；
以下是小明的解题过程，请补充完整：（请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据，请将答案按序号填在答卷相应的位置，符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”）
解：过点E作
∵（已知）
∵
∴①_______，
②_______（③_______）
∴
即④_______．
（2）问题迁移：
（a）小明进一步思考么之间的数量关系，由于与与均互补，很容易得到之间的数量关系是：________．（只写结果，不需要证明）
（b）如图2，一副直角三角板包括，其中，，（符号“”表示“三角形”）若按如图2摆放（点E、C、F、A在同一直线上），则________；
（3）知识应用：如图3，若和的角平分线交于点F，且，直接利用前面的结论，求的度数．
(1)解：过点E作
∵（已知）
∴
∴，
（两直线平行，内错角相等）
∴
即．
故答案为∶ ；；两直线平行，内错角相等；；
(2)解：（a）过点E作
∵（已知）
∴
∴，
∴，即
故答案为：；
（b）过F作，
∵
∴
∴，
∵
∴
故答案为：；
(3)解：由（1）可知：，
∵
∴
∵和的角平分线交于点F
∴，
∴
∵，
∴
∴．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值．
将①③联立可得一个新的不含m的二元一次方程组
哈哈！直接可以更简便地求出m的值．