广西南宁市第三中学五象校区2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

这是一份广西南宁市第三中学五象校区2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：高二数学组 审题人：高二数学组
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，已知等腰直角三角形，是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1
C． D．
3．已知集合，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
4．已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（ ）
A． B． C． D．
5*.图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的是（ ）
这10年粮食年产量的极差为16
B．这10年粮食年产量的第70百分位数为35
C．这10年粮食年产量的平均数为33. 7
D．前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差
6．如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
7*．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8*．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ）
A．70米 B．80米 C．90米 D．100米
多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分.有选错的得0分，部分选对得部分分）
9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形
10．已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若事件与事件是互斥事件，则
C．若事件与事件相互独立，则
D．若，则事件与事件相互独立
11*．如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A． B．与所成的角可能是
C．是定值 D．当时，点到平面的距离为2
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若，且为锐角，则实数的取值范围是 .
13．已知角的终边在第一象限，，则 ．
14*．如图，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，是边长
为6的正三角形，二面角的大小为120°，则球的体积为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）已知向量，且.
(1)求向量与的夹角；
(2)求的值.
16．（本小题15分）如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点.
(1)若底面是平行四边形，求证：平面；
(2)若底面是菱形，证明：.
17*．（本小题15分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．
(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示.
（i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）；
（ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数.
18．（本小题17分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若，，D为BC的中点，求AD的长．
19*．（本小题17分）如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)边BC上是否存在点M，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由．
南宁三中五象校区2024～2025学年度上学期高二开学考试
数学试题参考答案
1．D【详解】，故该复数的虚部为2.故选：D.
2．D【详解】∵，，，∴，由此可知平面图形是如图所示的，其中，，，∴．
3．A【详解】若，则且，所以或，故当时有，而时，不一定是，故是的充分而不必要条件.故选：A.
4．B【详解】若与共线，则设，因为向量与能作为平面向量的一组基底，所以，所以，解得. 故选：B.
5．B【详解】A选项，将样本数据从小到大排列为，这10年的粮食年产量极差为，故A正确；B选项，，结合A选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即，故B不正确；C选项，这10年粮食年产量的平均，故C正确：D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D正确．
6．D【详解】圆柱的上底面面积为；圆柱的侧面面积为；
圆台的下底面面积为；圆台的母线长为，
所以圆台的侧面面积为，则该组合体的表面积为.
7．D【详解】因为在上单调递减，所以，即，
因为在上单调递增，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，综上，.故选：D．
8.【答案】A【详解】由题，
所以，故在中，由余弦定理得，
所以即，（舍去）或，
故铁塔的高度是70米.
9．ABD【详解】对于A，在中，，A正确；
对于B，，B正确；对于C，由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误；
对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确.故选：ABD
10．ACD【详解】，故A正确；
因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误；
若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，所以，故C正确；
因为，所以，
所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确．故选：ACD．
11．AC【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、
、、、则，，，，，
设，，则，，
故，即，故A正确；
若与所成的角可能为，则存在，使得成立，即，
化简得，即，由，故舍去，即与所成的角不可能是，故B错误；
，故，故C正确；
当时，有，故，，
设平面的法向量为，则有，令，则有，
则点到平面的距离，故D错误.
12．【详解】因为为锐角，所以与的夹角为锐角，
又，所以，解得且.故答案为：.
13．【详解】角的终边在第一象限，的终边在x轴上方，
则，则.
14.【详解】取的中点，连接，设为的外心，则点在上且，因为，则为的外心，
根据球的几何性质，则平面，平面，
因为二面角的大小为，平面平面，
则二面角的大小为，所以，因为是边长为6的正三角形，则，所以，在中，，在中，因为，则，
所以球的半径，表面积为．
15．【详解】（1）设向量与的夹角为，由，得，
因为，所以，即，解得，
又，所以，即向量与的夹角为.
（2）由（1）知，故
.
16．【详解】（1）如图，连结交于点，连接.
因是平行四边形，则为的中点，又因为的中点，故.
又因为面，面，所以平面；
（2）因是菱形，则，
又平面，平面，则，
因平面，则平面，又平面，故.
17．【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家，生鲜类家，所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家.
（2）（i）根据题意可得，解得，
设75百分位数为x，因为，第四组频率为0.2，
所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.
平均数为，
所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元.
（ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.
18．【详解】（1），即．
即,也即
由余弦定理可得，由，故
（2）由，，由余弦定理可得：
解得：，所以
（3）由余弦定理可得：，解得又D为BC的中点，则
两边平方可得：所以AD的长
19．【详解】（1）证明： 由题设可得四棱台为正四棱台，故可建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所有，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，所以，因为，且平面，所以平面；
（2）易知，则，所以点到平面的距离为；
（3）假设在边BC上存在点M，设，则，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
所以，
即，解得或（舍去），
则，此时.