广西南宁市沛鸿中学2025~2026学年高二上学期开学摸底考试模拟数学试卷

这是一份广西南宁市沛鸿中学2025~2026学年高二上学期开学摸底考试模拟数学试卷，共5页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
第一部分（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ）

A. B. C. D.
5. 某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ）

A. 年甲系列产品收入比年的多
B. 年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多
C. 年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的
D. 年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍
6. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（ ）
A. mB. 15mC. mD. 30m
7. 已知三棱锥的各条棱均相等，P，Q分别为棱，的中点，则直线和直线所成角的大小为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
8. “投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递减
C. 直线为的一条对称轴
D. 若偶函数，则
11. 已知正实数满足，则下列不等式恒成立的为（ ）
A. B.
C D.
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数为纯虚数，则实数______.
13. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．
14. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，且.
（1）求向量与的夹角；
（2）求的值.
16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
17. 在锐角中，角的对边为，若．
（1）求角的大小；
（2）若为的中点，且，求的面积；
18. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形.
（1）证明：平面PAE⊥平面PBF；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若，求四棱锥的体积.
19. 若函数对定义域上每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”.
（1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值；
（3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.