中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题39几何图形模型胡不归问题专项训练(原卷版+解析)

这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题39几何图形模型胡不归问题专项训练(原卷版+解析)，共52页。
1．（2022•南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+12CP的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
2．（2022•平南县二模）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+12BD的最小值是（ ）
A．3B．33C．6D．3+3
3．（2022春•覃塘区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+12BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（ ）
A．ABB．AEC．BDD．BE
4．（2022春•新罗区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（ ）
A．25B．45C．55D．10
5．（2021•澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+22PC的最小值是（ ）
A．6B．2+322C．2+32D．32
6．（2022秋•任城区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（ ）
A．35B．65C．53D．10
7．（2022•邗江区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+83x与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（ ）
A．24B．25C．30D．36
8．（2021•锦州二模）如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为（ ）
A．4B．5C．25D．35
二．填空题
9．（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是 ．
10．（2022春•武汉期末）如图，▱ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P为边CD上一点，则3PD+2PB最小值为 ．
11．（2022春•江汉区月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则32BP+CP的最小值是 ．
12．（2022•江北区开学）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x−3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．
13．（2021秋•缙云县期末）如图，在直角坐标系中，点M的坐标为（0，2），P是直线y=3x在第一象限内的一个动点．
（1）∠MOP＝ ．
（2）当MP+12OP的值最小时，点P的坐标是 ．
14．（2022•马鞍山一模）如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．
（1）∠ABC＝ ．
（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当AE+12BE最小时BE＝ ．
15．（2021秋•福清市期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为3，点P为BD上动点，连接AP，则AP+12BP的最小值为 ．
16．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点A（﹣3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+12AD的最小值为 ．
17．（2021秋•宜兴市期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合．连接DE，请你探究：BCAB= 12 ；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则PG+12MG的最小值为 ．
18．（2021秋•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C点的坐标是 ，2PD+PC的最小值是 ．
19．（2021秋•南海区期末）如图，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的53倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为 ．
20．（2022•无棣县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，63），点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为 ．
21．（2022春•梁溪区校级期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上的一动点，则PB+12PD的最小值等于 ．
22．（2022秋•江夏区校级期末）如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 ．
23．（2022•东阳市开学）如图：二次函数y=−32x2+3x+92的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使BP﹣CP的值最大时，则点P的坐标为 ；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+1010PD的值最小时，则点P的坐标为 ．
24．（2021秋•北碚区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，12BE+AE的最小值为 ．
25．（2022•郧西县模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 ．
26．（2022•贡井区模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是 ．
27．（2022秋•电白区期末）如图，AB＝AC，A（0，15），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A﹣D﹣C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
三．解答题（共3小题）
28．（2021秋•梅江区校级期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大值时，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是线段AO上的动点，直接写出12AQ+BQ的最小值为 ．
29．（2022春•九龙坡区校级月考）在△ABC中，∠A＝45°，点D是边AB上一动点，连接CD．
（1）如图1，若∠ADC＝30°，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE．若CE＝12，求AD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥AB于F，当点D在线段BF上时，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE，过点E作EG∥AC交AB于点G．求证：AG＝2DF；
（3）如图3，若∠ABC＝15°，AB＝3+33，将线段CD绕着D逆时针旋转120°得到ED，连接CE．请直接写出DE+12BD的最小值．
30．（2022秋•碑林区校级期末）问题提出
（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于H，则PHAP的值为 ；
问题探究
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+23与x轴、y轴分别交于点 A、B．若点P是直线AB上一个动点，过点P作PH⊥OB于H，求OP+PH的最小值．
问题解决
（3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B（6，8）．点D在OA边上，且OD＝2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′处，那么在折痕DE上是否存在点P使得22EP+A′P最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由．
专题39 几何图形模型胡不归问题专项训练（解析版）
一．选择题
1．（2022•南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+12CP的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
思路引领：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的性质得出PF=12CP，再由AP+12CP＝AP+PF≥AE，结合勾股定理求出AE即可．
解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD=12AB＝AD，
∵∠CAB＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△BCD为正三角形，
∴∠DCE＝30°，
∴PF=12CP，
∴AP+12CP＝AP+PF≥AE，
∵∠CAB＝30°，AC＝2，
∴CE=12AC＝1，
∴AE=AC2−CE2=3，
∴AP+12CP的最小值为3．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决此题的关键是作出垂线CE和PF，将12CP转化为PF．
2．（2022•平南县二模）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+12BD的最小值是（ ）
A．3B．33C．6D．3+3
思路引领：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，先解直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性质得DH=12BD，进而可得CD+12BD=CD+DH，从而可得CD+12BD的最小值．
解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AF＝BF＝3，
∴CF＝AFtan60°=33，
∵点E是AC的中点，
∴∠DBH＝60°÷2＝30°，
在Rt△BDH中，DH=12BD，
∴CD+12BD=CD+DH≥33，
∴CD+12BD的最小值为：33．
故答案为：B．
总结提升：本题主要考查解直角三角形，等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是将CD+12BD转化成CD+DH．
3．（2022春•覃塘区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+12BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（ ）
A．ABB．AEC．BDD．BE
思路引领：由菱形的性质可得∠DBC=12∠ABC＝30°，可得PF=12BP，可得AP+12BP＝AP+PF，由垂线段最短，可求解．
解：如图，过点P作PF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DBC=12∠ABC＝30°，且PF⊥BC，
∴PF=12BP，
∴AP+12BP＝AP+MP，
∴当点A，点P，点F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值，
∴AP+12BP最小值为AE
故选：B．
总结提升：本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是本题的关键．
4．（2022春•新罗区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（ ）
A．25B．45C．55D．10
思路引领：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，BE的长，再证明DH=55BD，从而可得CD+55BD＝CD+DH，然后再由垂线段最短即可解答．
解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵BE＝2AE，AB＝10，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴5AE2＝100，
∴AE＝25或AE＝﹣25（舍去），
∴BE＝2AE＝45，
∴sin∠ABE=AEAB=2510=55，
∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AMC＝90°，AB＝AC，
∴△AEB≌△AMC（AAS），
∴CM＝BE＝45，
在Rt△BHD中，DH＝BDsin∠ABE=55BD，
∴CD+55BD＝CD+DH，
∵CD+DH≥CM，
∴CD+55BD≥45，
∴CD+55BD的最小值是：45，
故选：B．
总结提升：本题考查了胡不归问题，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2021秋•澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+22PC的最小值是（ ）
A．6B．2+322C．2+32D．32
思路引领：过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC．再由PH=22PC得PQ+22PC＝PQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，求出QH'即可．
解：连接BC，过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC，
令y＝0，即x2+3x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或1，
∴A（1，0），C（﹣4，0），
∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠PCH＝45°，
∴PH＝PCsin45°=22PC．
∴PQ+22PC＝PQ+PH，
根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，
∵BQ＝OB+OQ＝4+2＝6，∠QBH′＝45°，
∴QH′＝sin45°•BQ＝32，
∴PQ+22PC的最小值为32．
故选：D．
总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求PQ+22PC的最小值转化为求PQ+PH的最小值．属于中考选择题中的压轴题．
6．（2022秋•任城区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（ ）
A．35B．65C．53D．10
思路引领：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．
解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA=BEAE=2，
设AE＝a，BE＝2a，
则有：225＝a2+4a2，
∴a2＝45，
∴a＝35或﹣35（舍弃），
∴BE＝2a＝65，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝65（等腰三角形两腰上的高相等），
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55，
∴DH=55BD，
∴CD+55BD=CD+DH，
∵CD+DH≥CM，
∴当点H与M重合，且C，D，H共线时，CD+DH的值最小，
∴CD+55BD的最小值为线段CM的长，
∴CD+55BD的最小值为65．
故选：B．
总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（2022•邗江区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+83x与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（ ）
A．24B．25C．30D．36
思路引领：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，再证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据ANOA=BDOB求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解．
解：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图，
令y＝0，得方程−49x2+83x=0，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴A点坐标为（6，0），即OA＝6，
将y=−49x2+83x配成顶点式得：y=−49(x−3)2+4，
∴B点坐标为（3，4），
∴BD＝4，OD＝3，
∵CM⊥OB，AN⊥OB，
∴∠BMC＝∠ANO＝90°，
根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA，
∴∠BDO＝90°，
在Rt△BDO中，
利用勾股定理得OB=OD2+BD2=32+42=5，
∵∠OBD＝∠CBM，∠BDO＝∠BMC＝90°，
∴△OBD∽△CBM，
同理可证得△OBD∽△OAN，
∴BCMC=BOOD，ANOA=BDOB，
∴BCMC=BOOD=53，即3BC＝5MC，
∴3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），
∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，
∴AC+CM最小值为AN，如图所示，
∵ANOA=BDOB，
∴AN=BDOB×OA=45×6=245，
∴AC+CM最小值245，
∴即3BC+5AC＝5（AC+CM）＝24．
故选：A．
总结提升：本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC＝5MC，进而得出3BC+5AC＝5（AC+CM）是解答本题的关键．
8．（2021•锦州二模）如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为（ ）
A．4B．5C．25D．35
思路引领：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．利用面积法求出AH，再证明PF=55OP，利用垂线段最短，可得结论．
解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，
∴OJ＝JB＝25，CJ=OC2−OJ2=52−(25)2=5，
∴AC＝2CJ＝25，
∵AH⊥OC，
∴OC•AH=12•OB•AC，
∴AH=12×45×255=4，
∴sin∠POF=PFOP=CJOC=55，
∴PF=55OP，
∴AP+55OP＝AP+PF，
∵AP+PF≥AH，
∴AP+55OP≥4，
∴AP+55OP的最小值为4，
故选：A．
总结提升：本题考查胡不归问题，菱形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
二．填空题
9．（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是 ．
思路引领：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，根据菱形的性质得到AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，则∠OBC＝30°，所以PH=12BP，则MP+12PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可．
解：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，
∵AB＝AC＝10，
∴AB＝AC＝BC＝10，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴PH=12BP，
∴MP+12PB＝MP+PH，
当M、P、H共线时，MP+PH的值最小，
即MP+PH的最小值为MN的长，
∵AM＝2，
∴CM＝10﹣2＝8，
在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，
∴CN=12CM＝4，
∴MN=3CN＝43，
即MP+12PB的最小值为43．
故答案为：43．
总结提升：本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把12PB转化为PH是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．
10．（2022春•武汉期末）如图，▱ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P为边CD上一点，则3PD+2PB最小值为 ．
思路引领：由直角三角形的性质可得DH=12DP，HP=3DH=32DP，则当点H，点P，点H三点共线时，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值，即可求解．
解：如图，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠CDH＝60°，
∵HP⊥AD，
∴∠DPH＝30°，
∴DH=12DP，HP=3DH=32DP，
∵3PD+2PB＝2（32PD+PB）＝2（HP+PB），
∴当点H，点P，点H三点共线时，HP+PB有最小值，即3PD+2PB有最小值，
此时：BH⊥AH，∠A＝60°，
∴∠ABP＝30°，
∴AH=12AB＝3，BH=3AH＝33，
则3PD+2PB最小值为63，
故答案为：63．
总结提升：本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键．
11．（2022春•江汉区月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则32BP+CP的最小值是 ．
思路引领：过点P作PE⊥AB于点E，先在Rt△ABD中求出∠ABD及BD，再在Rt△BPE中利用sin60°得到32BP+CP=EP+CP，当当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时其取得最小值，最小值为CE，计算即可求出结果．
解：过点P作PE⊥AB于点E，
在Rt△ABD中，∠ABD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BD=12AB=5，
在Rt△BPE中，sin60°=EPBP=32，
∴EP=32BP，
∴32BP+CP=EP+CP，
当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时32BP+CP=EP+CP取得最小值．
∵AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴CE＝BD＝5，
∴32BP+CP=EP+CP的最小值为5．
故答案为5．
总结提升：此题是胡不归模型，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质、锐角三角函数等，解题关键是将32BP+CP转化成EP+CP．
12．（2022•江北区开学）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x−3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．
思路引领：先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B'，可证△ABB'是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH=12AC，则2BC+AC＝2（B'C+CH），即当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
解：∵一次函数y=33x−3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点B（0，−3），
∴AO＝3，BO=3，
∴AB=AO2+OB2=9+3=23，
如图，作点B关于OA的对称点B'，连接 AB'，B'C，过点C作CH⊥AB于H，
∴OB＝OB'=3，
又∵AO⊥BB'，
∴BB'＝23，AB＝AB'＝23，BC＝B'C，
∴AB＝BB'＝B'A，
∴△ABB'是等边三角形，
∵AO⊥BB'，
∴∠BAO＝30°，
∵CH⊥AB，
∴CH=12AC，
∴2BC+AC＝2（BC+12AC）＝2（B'C+CH），
∴当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，
此时，B'H⊥AB，△ABB'是等边三角形，
∴BH＝AH=3，∠BB'H＝30°，
∴B'H=3BH＝3，
∴2BC+AC的最小值为6，
故答案为：6．
总结提升：本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
13．（2021秋•缙云县期末）如图，在直角坐标系中，点M的坐标为（0，2），P是直线y=3x在第一象限内的一个动点．
（1）∠MOP＝ ．
（2）当MP+12OP的值最小时，点P的坐标是 ．
思路引领：（1）设P（t，3t），过点P作PH⊥x轴交于H，由tan∠POH=3，则∠POH＝60°，即可求∠MOP＝30°；
（2）作M点关于直线y=3x的对称点M'，过M'作M'N⊥y轴交于N，连接MM'，则有MP+12OP＝M'P+NP＝M'N，此时MP+12OP的值最小．
解：（1）设P（t，3t），
过点P作PH⊥x轴交于H，
∴OH＝t，PH=3t，
∴tan∠POH=PHOH=3，
∴∠POH＝60°，
∴∠MOP＝30°，
故答案为：30°；
（2）作M点关于直线y=3x的对称点M'，过M'作M'N⊥y轴交于N，连接MM'，
∴MP＝M'P，
∵∠MOP＝30°，
∴NP=12OP，
∴MP+12OP＝M'P+NP＝M'N，
此时MP+12OP的值最小，
∵MM'⊥OP，∠MOP＝30°
∴MG=12OM，
∵M（0，2），
∴MG＝1，
∴MM'＝2，
∵∠OMG＝60°，
∴MN＝1，
∴ON＝1，
∴P（33，1），
故答案为：P（33，1）．
总结提升：本题考查胡不归问题，熟练掌握胡不归问题的解题方法，轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键．
14．（2022•马鞍山一模）如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．
（1）∠ABC＝ ．
（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当AE+12BE最小时BE＝ ．
思路引领：（1）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得∠ABC；
（2）作A关于OB的对称点A'，过A作AG⊥A'B于G，过点E作EF⊥A'B于F，将12BE转化为EF，再根据AE+12BE＝AE+FE≥AG，设AG与OB交于E'，BE'即为当AE+12BE最小时的BE，求出BE'即可．
解：（1）∵AC垂直平分线段BD，
∴AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∵OB＝OC，OB⊥OC，
∴∠OBC＝45°，
∴∠ABC＝30°+45°＝75°，
故答案为：75°；
（2）作A关于OB的对称点A'，过A作AG⊥A'B于G，过点E作EF⊥A'B于F，
∵∠ABO＝30°，
∴∠A'BO＝30°，
∴FE=12BE，
∴AE+12BE＝AE+FE≥AG，
设AG与OB交于E'，BE'即为当AE+12BE最小时的BE，
∵BC＝6，∠OBC＝45°，
∴OB＝OC＝BCcs45°=32，
∵cs∠A'BO=OBBA′=32BA′=32，
∴BA'=26，
∵∠A'BA＝60°，AB＝A'B，
∴△ABA'为等边三角形，
∴BG=12BA'=6，
∵cs∠A'BO=BGBE′=6BE′=32，
∴BE'＝22．
故答案为：22．
总结提升：本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数解三角形，解决此题的关键是作出垂线EF和AG，将12BE转化为EF．
15．（2021秋•福清市期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为3，点P为BD上动点，连接AP，则AP+12BP的最小值为 ．
思路引领：过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，故PE=12BP，故AP+12BP＝AP+PE≥AF，求出AF即可．
解：过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴PE=12BP，
∴AP+12BP＝AP+PE≥AF，
∵△ABC的面积为3，
∴34AC2=3，
∴AC＝2，
∴12BC•AF=3，
∴AF=3，
∴AP+12BP的最小值为3．
故答案为：3．
总结提升：本题主要考查了含30°角的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出垂线PE，得到PE=12BP是解决本题的关键．
16．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点A（﹣3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+12AD的最小值为 ．
思路引领：作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE=12AD，故CD+12AD＝CD+DE≥CF，求出CF即可．
解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，
过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，
∴DE=12AD，
∴CD+12AD＝CD+DE≥CF，
∵A（﹣3，0），B（1，0）．
∴AB＝4，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC=12AB＝2，
∴AC=AB2−BC2=23，
∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，
∴AF=12AC=3，
∴CF=AC2−AF2=3，
∴CD+12AD的最小值为3．
故答案为：3．
总结提升：本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG＝30°是本题的关键．
17．（2021秋•宜兴市期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合．连接DE，请你探究：BCAB= 12 ；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则PG+12MG的最小值为 ．
思路引领：由折叠的性质可得AD＝BD，BC＝BD，则有AB＝2BC；作P点关于OM的对称点P'，作P'N⊥PM交于N点，交OM于G'点，PG+12MG=P'G'+G'N≥P'N，此时PG+12MG的值最小，求出P'N的长即为所求．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵点C沿BE折叠与AB上的点D重合，
∴∠DBE＝∠CBE＝30°，
∴∠A＝∠ABE，
∵∠BDE＝∠C＝90°，
∴AD＝BD，
∵BC＝BD，
∴AB＝2BC，
∴BCAB=12，
作P点关于OM的对称点P'，作P'N⊥PM交于N点，交OM于G'点，
∴PG'＝P'G'，
∵∠M＝30°，
∴NG'=12G'M，
∴PG+12MG=P'G'+G'N≥P'N，此时PG+12MG的值最小，
∵OM＝2，
在Rt△OPM中，OP=12OM＝1，
∴PM=3，
在Rt△PDM中，PD=12PM=32，
∴PP'=3，
∵∠P'＝30°，
∴PN=32，
在Rt△PP'N中，P'N=32，
∴PG+12MG的最小值为32，
故答案为：12，32．
总结提升：本题是图形的折叠变换，熟练掌握折叠的性质，直角三角形的勾股定理，正确作出辅助线利用轴对称求路线最短是解题的关键．
18．（2021秋•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C点的坐标是 ，2PD+PC的最小值是 ．
思路引领：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据2PD+PC=2（PD+22PC）=2（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．
解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），C（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∴DH＝BD•sin45°＝22，
∵PJ⊥CB，
∴∠PJC＝90°，
∴PJ=22PC，
∴2PD+PC=2（PD+22PC）=2（DP+PJ），
∵DP+PJ≥DH，
∴DP+PJ≥22，
∴DP+PJ的最小值为22，
∴2PD+PC的最小值为4．
故答案为：（3，0），4．
总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求2PD+PC得最小值转化为求2（DP+PJ）的最小值．属于中考选择题中的压轴题．
19．（2021秋•南海区期末）如图，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的53倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为 ．
思路引领：过B点作BH⊥AC交于H点，交AO于D点，连接CD，设P点的运动时间为t，在CD上的运动速度为v，t=1v（AD53+CD），只需AD53+CD最小即可，再证明△ADH∽△ACO，可得DH=AD53，则当B、D、H点三点共线时，此时t有最小值，再由△BDO∽△ADH，求出OD即可求坐标．
解：过B点作BH⊥AC交于H点，交AO于D点，连接CD，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
设P点的运动时间为t，在CD上的运动速度为v，
∵点P在AD上的运动速度是在CD上的53倍，
∴t=AD53v+CDv=1v（AD53+CD），
∵∠AHD＝∠AOC＝90°，
∴△ADH∽△ACO，
∴ADAC=DHCO，
∵A（0，8），C（6，0），
∴OC＝6，OA＝8，
∴AC＝10，
∴AD10=DH6，
∴DH=AD53，
∴t=1v（DH+CD），
当B、D、H点三点共线时，t=1v×BH，此时t有最小值，
∵∠BDO＝∠ADH，
∴∠DBO＝∠OAC，
∴△BDO∽△ADH，
∴DOBO=OCAO，即DO6=68，
∴DO=92，
∴D（0，92），
故答案为：（0，92）．
总结提升：本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离和胡不归求最短距离的方法，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
20．（2022•无棣县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，63），点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为 ．
思路引领：过点P作直线PD与y轴的夹角∠OPD＝30°，作B点关于y轴的对称点B'，过B'点作B'E⊥PD交于点E、交y轴于点Q，12PQ+QB＝QE+B'Q＝B'E，此时12PQ+QB取最小值，求出B'E即可．
解：过点P作直线PD与y轴的夹角∠OPD＝30°，作B点关于y轴的对称点B'，过B'点作B'E⊥PD交于点E、交y轴于点Q，
∵B'E⊥PD，∠OPE＝30°，
∴QE=12PQ，
∵BQ＝B'Q，
∴12PQ+QB＝QE+B'Q＝B'E，此时12PQ+QB取最小值，
∵∠OPD＝30°，∠POD＝90°，
∴PD＝2OD，∠ODP＝60°，
∵P的坐标为（0，63），
∴PO＝63，
∴OD2+（63）2＝（2OD）2，
∴OD＝6，
∵直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OB＝4，
∴OB'＝4，
∴B'D＝10，
∵B'E⊥PD，∠ODP＝60°，
∴∠EB'D＝30°，
∴DE=12B'D＝5，
∴B'E=B′D2−DE2=102−52=53，
∴12PQ+QB取最小值为53，
故答案为：53．
总结提升：本题考查胡不归求最短路径，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，通过构造直角三角形及特殊角，将12PQ+QB的系数12进行转化是解题的关键．
21．（2022春•梁溪区校级期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上的一动点，则PB+12PD的最小值等于 ．
思路引领：过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，所以∠EDP＝∠DAB＝30°，得EP=12DP，要求PB+12PD的最小值，即求PB+EP的最小值，当点B、P、E三点共线时，PB+EP取最小值，最小值为BE的长，根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求出PB+12PD的最小值．
解：如图过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝30°，
∴EP=12DP，
要求PB+12PD的最小值，即求PB+EP的最小值，
当点B、P、E三点共线时，
PB+EP取最小值，最小值为BE的长，
∵在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝8，
∴BE=12AB＝4．
故答案为：4．
总结提升：本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握30度角所对直角边等于斜边的一半．
22．（2022秋•江夏区校级期末）如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 ．
思路引领：以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，则BP+2AP＝2（12BP+AP）=12（PH+AP），故当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，从而解决问题．
解；如图，以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，
∴PH=12BP，
∴BP+2AP＝2（12BP+AP）=12（PH+AP），
∴当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，
过点A作AG⊥BF于G，交BC于P'，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°+45°＝75°，
∴∠BAG＝15°，
∴当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为15°，
故答案为：15°．
总结提升：本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，胡不归问题，垂线段最短等知识，根据题意，作辅助线，将BP+2AP的最下值转化为12AG的长是解题的关键．
23．（2022•东阳市开学）如图：二次函数y=−32x2+3x+92的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）在抛物线的对称轴上找一点P，使BP﹣CP的值最大时，则点P的坐标为 ；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+1010PD的值最小时，则点P的坐标为 ．
思路引领：（1）设点C关于直线x＝1的对称点为C′，直线BC′与对称轴的交点即为点P；
（2）如图，连接AD，DB，过点Z作AF⊥BD于点F，对称轴交x轴于点E，连接AP，过点P作PH⊥BD于点H，设AF交DE于点T．求出点T的之比，证明PH=1010PD，把问题转化为垂线段最短即可解决问题．
解：（1）∵y=−32（x﹣1）2+6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点（1，6），
令y＝0，−32（x﹣1）2+6＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
令x＝0，得到y=92，
∴C（0，92），
设点C关于直线x＝1的对称点为C′，则C′（2，92），
直线BC′与对称轴的交点即为点P，
设直线BC′的解析式为y＝kx+b，则3k+b=02k+b=92，
∴k=−92b=272，
∴直线BC′的解析式为y=−92x+272，
当x＝1时，y＝9，
∴P（1，9）．
故答案为：（1，9）；
（2）如图，连接AD，DB，过点Z作AF⊥BD于点F，对称轴交x轴于点E，连接AP，过点P作PH⊥BD于点H，设AF交DE于点T．
∵D（1，6），B（3，0），A（﹣1，0），
∴AD＝DB=22+62=210，
∵∠TAE＝∠EDB，
∴tan∠TAE＝tan∠EDB=13，
∴ETAE=13，
∴ET=23，
∴T（1，23），
∴PH＝DP•sin∠EDB=1010PD，
∴PA+1010PD＝AP+PH≥AF，
∴当点P与点T重合时，PA+1010PD的值最小，此时P（1，23）．
故答案为：（1，23）．
总结提升：本题考查胡不归问题，二次函数的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．（2021秋•北碚区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，12BE+AE的最小值为 ．
思路引领：连接MN、AC，由菱形ABCD的性质和∠BAD＝120°得到AB＝AD＝CD、∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，从而得到△ADC和△ABC为等边三角形，然后得到AC＝DC，然后结合AM＝DN得证△AMC≌△DNC，得到CM＝CN、∠DCN＝∠ACM，从而得到∠MCN＝60°，得到△CMN为等边三角形，由点F是CM上靠近点C的四等分点得到S△CFN=14S△CMN，所以△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小，从而有当CN和CM最短，即CN⊥AD、CM⊥AB时△CFN的面积最小，取BE的中点为点G，连接MG，由△ABC为等边三角形和CM⊥AB得到点M是AB的中点、AE＝BE，进而有MG=12AE=12BE，所以12BE+AE=32AE，最后由点E是CM上的动点，得到AE的最小值即为AM的长度，从而求得结果．
解：如图，连接MN、AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，
∴△ADC和△ABC为等边三角形，
∴AC＝DC，∠ACD＝60°，
∵AM＝DN，
∴△AMC≌△DNC（SAS），
∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM，
∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°，
∴△CMN为等边三角形，
∵点F是CM上靠近点C的四等分点，
∴S△CFN=14S△CMN，
∴△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小，
∵S△CMN=34CM2，
∴当CN和CM长度最短时，S△CMN的面积最小，即CN⊥AD，CM⊥AB时△CFN的面积最小，
取BE的中点为点G，连接MG，
∵△ABC为等边三角形，CM⊥AB，
∴点M是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴MG=12AE=12BE，
∴12BE+AE=12AE+AE=32AE，
∵点E是CM上的动点，∠AME＝90°，
∴AE的最小值即为AM的长度，
∵CD＝4，
∴AM=12AB＝2，
∴（12BE+AE）最小值=32×2＝3，
故答案为：3．
总结提升：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、等边三角形的面积，将求三角形CFN的面积最小值转化为CM和CN的最小值是解题的关键．
25．（2022•郧西县模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为 ．
思路引领：变形2AD+CD＝2（AD+12CD），在BC的下方作∠BCL＝30°，作DE⊥CL，则DE=12CD，进而求得．
解：如图，
在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，
∴AC=ABtan30°=23，
在BC的下方作∠BCL＝30°，作AF⊥CL于F，
作DE⊥CL于E，
∴DE＝CD•sin 30°=12CD，
AF＝AC•sin∠ACL＝23×32=3，
∴AD+12CD=AD+DE≥AE≥AF，
∴当D点在D′时，（AD+12CD）最小＝AF＝3，
∴2AD+CD＝[2（AD+12CD）]最小＝2×3＝6，
故答案是6．
总结提升：本题考查了“胡不归“问题，即PA+k•PB问题，关键构造出k或1k．
26．（2022•贡井区模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是 ．
思路引领：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+55BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．
解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵tanA=BEAE=2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝25或﹣25（舍弃），
∴BE＝2a＝45，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM＝BE＝45（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55，
∴DH=55BD，
∴CD+55BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+55BD≥45，
∴CD+55BD的最小值为45．
故答案为45．
总结提升：本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
27．（2022秋•电白区期末）如图，AB＝AC，A（0，15），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A﹣D﹣C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
思路引领：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，由AHD∽△AOB，推出DH=14AD，可得14AD+CD＝CD+DH，推出当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短．
解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．
∵运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴BO＝OC＝1，
∵A（0，15），C（1，0），AB＝AC，AO⊥BC，
∴OB＝OC＝1，AB＝AC=OA2+OB2=15+1=4，
∵∠DAH＝∠BAO，∠DHA＝∠AOB＝90°，
∴△AHD∽△AOB，
∴ADAB=DHOB，
∴DH=14AD，
∴14AD+CD＝CD+DH，
∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，
∵12•BC•AO=12•AB•CM，
∴CM=152，
∴AM=AC2−CM2=42−(152)2=72，
∵AD′＝4MD′，设MD′＝m，则AD′＝4m，
则有：16m2﹣m2=494，
∴m=71530或−71530（舍弃），
∴AD′=141515，
∴D（0，1515），
故答案为（0，1515）．
总结提升：本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共3小题）
28．（2021秋•梅江区校级期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，当△PAB的面积最大值时，求出此时P点的坐标；
（3）点Q是线段AO上的动点，直接写出12AQ+BQ的最小值为 ．
思路引领：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PG∥y轴交AB于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），则S△PAB=−32（t−32）2+278，再由此求解即可；
（3）作∠OAK＝30°，过点B作BK⊥AK交于K点，交x轴于点Q，则12AQ+BQ＝BK，求出BK的长即可．
解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴−9+3b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴3k+m=0m=3，
解得k=−1m=3，
∴y＝﹣x+3，
过点P作PG∥y轴交AB于点G，
设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），
∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴S△PAB=12×3×（﹣t2+3t）=−32（t−32）2+278，
当t=32时，△PAB的面积有最大值278，
此时P（32，154）；
（3）作∠OAK＝30°，过点B作BK⊥AK交于K点，交x轴于点Q，
∵∠OAK＝30°，
∴QK=12AQ，
∴12AQ+BQ＝QK+QB＝BK，
∵∠BKA＝∠BOA＝90°，∠BQO＝∠AQK，
∴∠BOQ＝∠OAK＝30°，
∵OB＝3，
∴OQ=3，BQ＝23，
∵OA＝3，
∴AQ＝3−3，
∴QK=12（3−3）=32−32，
∴BK＝23+32−32=332+32，
∴12AQ+BQ的最小值为332+32，
故答案为：332+32．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．
29．（2022春•九龙坡区校级月考）在△ABC中，∠A＝45°，点D是边AB上一动点，连接CD．
（1）如图1，若∠ADC＝30°，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE．若CE＝12，求AD的长；
（2）如图2，过点C作CF⊥AB于F，当点D在线段BF上时，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE，过点E作EG∥AC交AB于点G．求证：AG＝2DF；
（3）如图3，若∠ABC＝15°，AB＝3+33，将线段CD绕着D逆时针旋转120°得到ED，连接CE．请直接写出DE+12BD的最小值．
思路引领：（1）过点C作CH⊥AB交于点H，先求出CD＝62，在Rt△CDH中，求出CH＝32，DH＝36，在Rt△ACH中，求出AH＝HC＝32，即可得AD＝AH+DH＝32+36；
（2）过E点作EK⊥AB交于点K，证明△EDK≌△DCF（AAS），可得DK＝CF，EK＝DF，根据∠A＝45°，推导DK＝AF，再由GE∥AC，推导出GD＝KF，即可证明AG＝2DF；
（3）过点C作CF⊥AB交于F点，过点B作∠ABG＝30°，过点D作DM⊥BG交于点M，过点C作CN⊥BG交于点N，当DE+12BD＝CN时，DE+12BD有最小值；过A作AQ⊥BC交延长线于点Q，设CQ＝x，则AC＝2x，AQ=3x，在Rt△ACF中，AF＝CF=2x，利用△ABC的面积求出BC=3+333•2，在等腰直角三角形BCN中求出CN=22BC=3+3，即可得DE+12BD的最小值是3+3．
（1）解：过点C作CH⊥AB交于点H，
由旋转可知，DE＝CD，∠CDE＝90°，
∵CE＝12，
∴CD＝62，
在Rt△CDH中，∠ADC＝30°，
∴CH＝32，DH＝36，
在Rt△ACH中，∠A＝45°，
∴AH＝HC＝32，
∴AD＝AH+DH＝32+36；
（2）证明：过E点作EK⊥AB交于点K，
由旋转可知，DE＝CD，∠CDE＝90°，
∴∠EDK+∠FDC＝∠FDC+∠DCF，
∴∠EDK＝∠DCF，
∴△EDK≌△DCF（AAS），
∴DK＝CF，EK＝DF，
∵∠A＝45°，
∴CF＝AF，
∴DK＝AF，
∵GE∥AC，
∴∠EGK＝∠A＝45°，
∴GK＝EK＝DF，
∴GD＝KF，
∴DF＝DK+KF＝AF+GD，
∴AG＝2DF；
（3）解：过点C作CF⊥AB交于F点，过点B作∠ABG＝30°，过点D作DM⊥BG交于点M，
∴MD=12BD，
∵CD＝ED，
∴DE+12BD＝DE+MD＝CD+MD≥CM，
过点C作CN⊥BG交于点N，
当DE+12BD＝CN时，DE+12BD有最小值；
过A作AQ⊥BC交延长线于点Q，
∵∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，
∴∠ACQ＝60°，
设CQ＝x，则AC＝2x，AQ=3x，
在Rt△ACF中，AF＝CF=2x，
∴AB•CF＝BC•AQ，
∴（3+33）•2x＝BC•3x，
解得BC=3+333•2，
∵∠CBN＝45°，
∴CN=22BC=3+3，
∴DE+12BD的最小值是3+3．
总结提升：本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．
30．（2022秋•碑林区校级期末）问题提出
（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于H，则PHAP的值为 ；
问题探究
（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+23与x轴、y轴分别交于点 A、B．若点P是直线AB上一个动点，过点P作PH⊥OB于H，求OP+PH的最小值．
问题解决
（3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B（6，8）．点D在OA边上，且OD＝2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′处，那么在折痕DE上是否存在点P使得22EP+A′P最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）证明△PHA是等腰直角三角形，即得PHAP=12=22；
（2）作O关于直线AB的对称点K，过K作KH⊥y轴于H，交AB于P，作KT⊥x轴于T，连接AK，由y=−3x+23得OA＝2，OB＝23，AB=OA2+OB2=4，即得∠ABO＝30°，∠OAB＝60°，根据O，K关于直线AB对称，有AK＝OA＝2，∠OAB＝∠KAB＝60°，OP＝KP，可知K，P，H共线时，OP+PH最小，最小值为KH的长，求出KH＝OT＝3，即得答案；
（3）以E为顶点，ED为一边，在ED右侧作∠DEM＝45°，过P作PG⊥EM于G，过A'作A'G'⊥EM于G'，交ED于P'，作A'H⊥ED于H，由∠DEM＝45°，PG⊥EM，得△EPG是等腰直角三角形，PG=22EP，故当A'，P，G共线时，PG+A'P最小，即22EP+A'P最小，此时P与P'重合，G与G'重合，22EP+A'P的最小值为A'G'的长度，再根据已知求出A'G'即可．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∵AE为高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝45°，
∵PH⊥AC，
∴∠PHA＝90°，
∴△PHA是等腰直角三角形，
∴PHAP=12=22；
故答案为：22；
（2）作O关于直线AB的对称点K，过K作KH⊥y轴于H，交AB于P，作KT⊥x轴于T，连接AK，如图：
在y=−3x+23中，令x＝0得y＝23，令y＝0得x＝2，
∴OA＝2，OB＝23，
∴AB=OA2+OB2=4，
∴OA=12AB，
∴∠ABO＝30°，∠OAB＝60°，
∵O，K关于直线AB对称，
∴AK＝OA＝2，∠OAB＝∠KAB＝60°，OP＝KP，
∴∠KAT＝60°，OP+PH＝KP+PH，
∴∠AKT＝30°，
∵K，P，H共线，
∴此时OP+PH最小，最小值为KH的长，
在Rt△AKT中，AT=12AK=12×2＝1，
∴OT＝OA+AT＝2+1＝3，
∵∠HOT＝∠OTK＝∠KHO＝90°，
∴四边形HOTK是矩形，
∴KH＝OT＝3，
∴OP+PH最小值为3；
（3）在折痕DE上存在点P，使得22EP+A′P最小，理由如下：
以E为顶点，ED为一边，在ED右侧作∠DEM＝45°，过P作PG⊥EM于G，过A'作A'G'⊥EM于G'，交ED于P'，作A'H⊥ED于H，如图：
∵∠DEM＝45°，PG⊥EM，
∴△EPG是等腰直角三角形，
∴PG=22EP，
∴22EP+A'P＝PG+A'P，
当A'，P，G共线时，PG+A'P最小，即22EP+A'P最小，此时P与P'重合，G与G'重合，22EP+A'P的最小值为A'G'的长度，
∵四边形OABCB是长方形，B（6，8），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝4，
∵将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′处，
∴A'D＝AD＝4，
∴OD=12A'D，
∴∠OA'D＝30°，∠ODA'＝60°，
∴∠A'DE＝∠ADE＝（180°﹣∠ODA'）÷2＝60°，
∴∠DA'H＝30°，∠AED＝30°，
∴DH=12A'D＝2，A'H=3DH＝23，DE＝2AD＝8，
∵∠P'EG'＝45°，∠P'G'E＝90°，
∴△P'G'E是等腰直角三角形，
∴∠EP'G'＝45°，
∴∠A'P'H＝45°，
∴△A'P'H是等腰直角三角形，
∴P'H＝A'H＝23，A'P'=2A'H＝26，
∴P'E＝DE﹣DH﹣P'H＝8﹣2﹣23=6﹣23，
∴P'G'=22P'E＝32−6，
∴A'G'＝A'P'+P'G'＝26+32−6=6+32，
∴22EP+A'P的最小值为6+32．
总结提升：本题考查一次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形，胡不归问题等，解题的关键是掌握胡不归问题的解决方法