中考数学一轮复习题型归纳专练(全国通用)专题11轴对称与旋转变换(题型归纳)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习题型归纳专练(全国通用)专题11轴对称与旋转变换(题型归纳)(原卷版+解析)，共52页。
题型演练
题型一 轴对称图形的识别
1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
题型二 线段的垂直平分线的性质与判定
6．已知直线是线段的垂直平分线，并且垂足为，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
8．如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为17，则AC为（ ）
A．9B．8C．12D．11
9．如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③
10．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型三 折叠问题
11．如图，四边形ABCD为一长条形纸带，ABCD，将四边形ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°B．72°C．65°D．75°
12．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）
A．B．C．D．
13．如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（ ）
A．B．C．D．
14．如图，纸片的对边，将纸片沿折叠，的对应边交于点G．若，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
15．如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠3的度数为（ ）
A．50°B．54°C．58°D．62°
题型四 等腰三角形的性质
16．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线交于点E．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
17．如图，点D在的边BC上，点P在射线上（不与点A，D重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
18．如图．在中，．若是的角平分线，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
19．如图，在中，，，P是上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A．B．C．D．
20．如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（ ）
A．∵（已知）∴（等角对等边）
B．∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一）
C．∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一）
D．∵，（已知）∴（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）
题型五 等腰三角形的判定
21．如图，在△ABC中，．BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于点E、F，则线段EF和BE＋CF的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
22．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，∠ABC与∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
23．如图，ABC中，AD是∠BAC的平分线，DEAB交AC于点E，若DE＝7，CE＝5，则AC＝（ ）
A．11B．12C．13D．14
24．如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，若CD＝4，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．4D．3
25．如图，是的角平分线，点是边上一点，，，交于点．以下结论：；是等腰三角形；平分；垂直平分；．其中结论正确的是（ ）
A．①②⑤B．①②③④C．②④⑤D．①②④⑤
题型六 等边三角形
26．下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形是全等形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点
D．到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点
27．如图，，，，若，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
29．如图，在中，，，于，在下列结论中：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
30．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．75°
题型七 旋转变换的性质
31．如图，中，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
32．如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
33．如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（ ）
A． B．C．D．
34．如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
35．如图，在中，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接且，则为（ ）度．
A．85B．65C．70D．75
题型八 中心对称图形的识别
36．下列图形中，为中心对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
37．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形B．圆
C．正五边形D．等腰梯形
38．若点与点关于原点对称，则的值是（ ）
A．1B．C．3D．-3
39．下列汽车车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
40．点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
题型九 尺规作图
41．先画出关于直线对称的图形，再画出关于直线对称的图形．
42．如图，已知的周长为，根据要求解答下列问题：
(1)用直尺和圆规作出的边的垂直平分线，分别交、于点E、D，连接，请写出画法并保留作图痕迹；
(2)若，求的周长．
43．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个和一点O，的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．
(1)在方格纸中，将向右平移6个单位长度得到，请画出；
(2)在方格纸中，与关于x轴对称，请画出；
(3)在方格纸中，将绕点O旋转得到，请画出．
44．如图在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于原点的中心对称图形；
(2)画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形．
45．小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形．
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D；②作直线．
则直线就是所求作的直线．
根据小红设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，
∴．（①___________）（填推理的依据）
∴．（②___________）（填推理的依据）
∵，
∴，
．
∴．
∴．（③___________）（填推理的依据）
∴和都是等腰三角形．
题型十 等腰三角形综合应用
46．在和中，，，．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若平分，，点在线段上，则 度．
47．如图，D、E在上，且，，求证：．
48．如图，△ADE 中，AD=AE，点 B、C 是直线 DE 上的两点，点 B 在点 D左侧，点 C 在点 E 右侧，且 BD=CE．
(1)求证：AB=AC；
(2)若 DA⊥AE，∠B=28°，求∠BAD的大小．
49．如图（），已知点在上，和都是等腰直角三角形，，且为的中点．
(1)求证：为等腰直角三角形；
(2)将绕点再逆时针旋转时（如图（）所示的位置），为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
50．如图，在和中，．点在边上，若．
(1)求证：；
(2)求的度数．
题型十一 旋转变换综合应用
51．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，当点E恰好在上时，求的大小．
52．如图，绕点A旋转后能与重合，且点D在上，若，，求的长．
53．如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．
(1)求证：．
(2)若，求长．
54．如图，在等腰中，，是的角平分线，过点作于点，，将围绕点旋转，使得的两边分别交直线、于点、．
(1)当围绕点旋转到如图①的位置时，易证得：；
(2)当围绕点旋转到如图②、图③的位置时，、、之间有怎样的数量关系？请写出来，并选择一种情况进行证明．
55．如图1，在中，，，作平分线交于点F，以为边作等腰直角，且，如图2将绕点F每秒的速度顺时针旋转得到三角形（当点D落在射线上时停止旋转），则旋转时间为t秒．
(1)当t＝ 秒，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为M，如图3，若为等腰三角形，求t的值；
(3)当边与边、分别交于点P、Q时，如图4，连接，设，，，试探究x，y，z之间的关系．
专题11 轴对称与旋转变换
题型分析
题型演练
题型一 轴对称图形的识别
1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项正确；
B、是轴对称图形，本选项错误；
C、是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项错误．
故选：A．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是这个图形的对称轴，对选项逐一分析判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D
3．在平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形，菱形，正方形都是轴对称图形．故轴对称图形有3个．
故选：C
4．如图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
【详解】解：等边三角形一定是轴对称图形，
直角三角形不一定是轴对称图形，
平行四边形不是轴对称图形，
正五边形是轴对称图形，
故一定是轴对称图形的有2个．
故选：B．
5．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：观察四个选项可知，除选项A外，选项B，C，D中的图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，
因此选项A不是轴对称图形，选项B，C，D是轴对称图形．
故选A．
题型二 线段的垂直平分线的性质与判定
6．已知直线是线段的垂直平分线，并且垂足为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行求解即可．
【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，并且垂足为，，
∴，
故选C．
7．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的定义得到AD=BD，即可求出答案．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵AC=5cm，BC=4cm，
∴△DBC的周长=CD+BD+BC
=CD+AD+BC
=AC+BC
=9(cm)，
故选：D．
8．如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为17，则AC为（ ）
A．9B．8C．12D．11
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵△BDC的周长为17，
∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=17，
∵BC=8，
∴AC=9，
故选：A．
9．如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．②③
【答案】B
【分析】本题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△ADC，易求解．
【详解】解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
所以∠ACB＝∠ACD，∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．
故①②正确；
在△ABD中，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，
所以BO＝DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．
故③正确；
不能推出∠ABO＝∠CBO，故④不正确．
故选：B．
10．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
题型三 折叠问题
11．如图，四边形ABCD为一长条形纸带，ABCD，将四边形ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60°B．72°C．65°D．75°
【答案】B
【分析】由翻折的性质可得∠AEF＝，由平行线的性质可得∠AEF＝∠1，设∠2＝x，易得∠AEF＝∠1＝＝2x，然后根据平角的定义构建方程即可解决问题．
【详解】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝，
∵ABCD，
∴∠AEF＝∠1，
设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝＝2x，
∵∠AEB＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：B．
12．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得∠BFE=∠DEF=22°，则在图a中，∠CFE=158°，进而可得在图b中，∠BFC=136°，进而在图c中即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴∠BFE=∠DEF=22°，
∴在图a中，∠CFE=180°-∠BFE=158°，
∴在图b中，∠BFC=158°-22°=136°，
∴在图c中，∠CFE=136°-22°=114°，
故选：B．
13．如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由折叠可知：∠2=∠3，根据∠1+∠2+∠3=180°，可以得出∠3的度数，再根据平行线的性质可以求解．
【详解】如图：由折叠可知：∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=180°，
所以2∠3+∠1=180°，
2∠3=180°-50°，
∴∠3=65°，
在长方形ABCD中，
∴AD∥BC
∴∠AEF+∠3=180°，
∴∠AEF=180°-65°=115°，
故选：B．
14．如图，纸片的对边，将纸片沿折叠，的对应边交于点G．若，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形和平行线的性质求得，再求得，利用折叠的性质和平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
故选C
15．如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AD∥BC，将四边形ABCD沿EF折叠，C、D两点分别与C′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠3的度数为（ ）
A．50°B．54°C．58°D．62°
【答案】B
【分析】根据AD∥BC以及平角求出∠1与∠2，再利用四边形内角和求出即可求出∠3．
【详解】解：由折叠可知：，
，
，
，
，
，，
设交BC于点H，
由四边形内角和可知：，
．
故选：B．
题型四 等腰三角形的性质
16．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线交于点E．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由作图可知，再根据等腰三角形的性质可得的度数，进一步即可求出的度数．
【详解】解：由作图可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
17．如图，点D在的边BC上，点P在射线上（不与点A，D重合），连接，．下列命题中，假命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【分析】根据等腰三角形性质以及垂直平分线的性质逐项判断即可．
【详解】解：若，，则D是中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴故选项A是真命题，不符合题意；
，即，
又，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴故选项B是真命题，不符合题意；
若，，则，D是中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴故选项C是真命题，不符合题意；
若，，不能得到，故选项D是假命题，符合题意；
故选：D．
18．如图．在中，．若是的角平分线，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的三线合一性质解题．
【详解】∵，是的角平分线，
∴，，
∴．
故选D．
19．如图，在中，，，P是上的一个动点，则的度数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意利用等腰三角形性质求出以及角的度数，从而得知的取值范围即可进行判断
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，在这个范围的角度只有
故选：C．
20．如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（ ）
A．∵（已知）∴（等角对等边）
B．∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一）
C．∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一）
D．∵，（已知）∴（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）
【答案】C
【分析】对各个选项进行推理论证即可逐项判断．
【详解】解：选项C的已知条件中，没有能直接说明是等腰三角形的条件，不能用三线合一，不符合因果关系，符合题意，
故选C．
题型五 等腰三角形的判定
21．如图，在△ABC中，．BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于点E、F，则线段EF和BE＋CF的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBD=∠EDB，则ED=BE，同理可得DF=FC，则EF=BE+CF，可得答案．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE，
同理DF=FC，
∴ED+DF=BE+FC，
即EF=BE+FC，
故选：C．
22．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，∠ABC与∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F，则△AEF的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】由角平分线的定义可知，．由平行线的性质得出，，即可推出，，从而得出，．最后即可推出的周长，即可求出结果．
【详解】∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴的周长
，
∴的周长为：14，
故选C．
23．如图，ABC中，AD是∠BAC的平分线，DEAB交AC于点E，若DE＝7，CE＝5，则AC＝（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】首先根据角平分线的定义和平行线的性质得出，进而有，从而利用求解即可．
【详解】∵AD是∠BAC的平分线，
．
，
，
，
．
∵DE＝7，CE＝5，
，
故选：B．
24．如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，若CD＝4，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．4D．3
【答案】C
【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论．
【详解】解：∵∠C＝80°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∵将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，
∴∠AED＝∠C＝80°，DE＝DC＝4，
∵∠BDE＝∠AED﹣∠B＝80°﹣40°＝40°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE＝4，
故选：C．
25．如图，是的角平分线，点是边上一点，，，交于点．以下结论：；是等腰三角形；平分；垂直平分；．其中结论正确的是（ ）
A．①②⑤B．①②③④C．②④⑤D．①②④⑤
【答案】B
【分析】根据三角形全等和等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定进行依次判定即可．
【详解】解：①是的角平分线，
，
在和中，
，
≌，
故①正确；
②≌，
，
是等腰三角形；
故②正确；
③，
，
∵，
，
，
平分，
故③正确；
④，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分．
故④正确；
⑤由于无法判断和的大小，，
故⑤不正确；
故选B．
题型六 等边三角形
26．下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形是全等形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点
D．到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定知两个等边三角形不一定全等即可判定A错误；面积相等的三角形不一定是全等三角形可判定B错误； 根据到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点，可判定C错误； 根据到三角形三个顶点距离相等的点是三边中垂线的交点即可判定D正确．
【详解】解：A、两个等边三角形不一定全等，故此选项不符合题意；
B、面相等的三角形不一定是全等三角形，故此选项不符合题意；
C、到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点， 故此选项不符合题意；
D、到三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点，故此选项符合题意；
故选：D．
27．如图，，，，若，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】作于，证明，结合计算判断即可．
【详解】解：如图，作于，
平分，，，
，
，
，
，
，
中，．
故选：A．
29．如图，在中，，，于，在下列结论中：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】分别说明∠B=30°、∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°边所对的直角边是斜边的一半．
【详解】解：∵在中，，
∴∠B=30°
∴，即②正确；
∵
∴，∠BCD=60°，即①正确；
∴∠ACD=30°
∴，即③正确．
故选A．
30．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
题型七 旋转变换的性质
31．如图，中，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵绕点C逆时针旋转到的位置，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
故选：D．
32．如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵将∠ABC绕点逆时针旋转80°得到△ADE，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
33．如图，点是等边三角形内一点，若，，，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】将绕点逆时针旋转得，连接，根据旋转的性质得，，则为等边三角形，得到，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
如下图，将绕点逆时针旋转得，连接，则，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴．
故选：C．
34．如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据旋转的性质求出的度数，然后求出的度数即可．
【详解】解：由题意得:，
又∵，
∴．
故选：C．
35．如图，在中，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，连接且，则为（ ）度．
A．85B．65C．70D．75
【答案】D
【分析】根据旋转得到对应边、对应角相等，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质将角度进行转化，最后利用三角形内角和求出的度数，即可求出答案．
【详解】解：绕点A逆时针旋转到，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴
故选：D．
题型八 中心对称图形的识别
36．下列图形中，为中心对称图形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．旋转不能和原图形重合，不是中心对称图形，不合题意；
B．可以看出是一个轴对称图形，却不是中心对称图形，不合题意；
C．是中心对称图形，符合题意；
D．不是中心对称图形，不合题意；
故选：C．
37．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形B．圆
C．正五边形D．等腰梯形
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
B．能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形；
C．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
D．不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
故选：B．
38．若点与点关于原点对称，则的值是（ ）
A．1B．C．3D．-3
【答案】B
【分析】根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，求出a和b的值，即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴．
故选：B．
39．下列汽车车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：B．
40．点关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数可得答案．
【详解】解：因为点关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，
所以对称点的坐标是，
故选：C．
题型九 尺规作图
41．先画出关于直线对称的图形，再画出关于直线对称的图形．
【答案】见详解
【分析】根据轴对称图形的特点，按要求作图即可．
【详解】作图如下：
、即为所求．
42．如图，已知的周长为，根据要求解答下列问题：
(1)用直尺和圆规作出的边的垂直平分线，分别交、于点E、D，连接，请写出画法并保留作图痕迹；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）如图，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线．
（2）利用线段的垂直平分线的性质得从而解决问题即可．
【详解】（1）如图，直线即为所求作．
（2）直线是的垂直平分线，
，，
，
又∵，
，
，
即的周长为．
43．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个和一点O，的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．
(1)在方格纸中，将向右平移6个单位长度得到，请画出；
(2)在方格纸中，与关于x轴对称，请画出；
(3)在方格纸中，将绕点O旋转得到，请画出．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（3）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如（1）图所示，即为所求；
（3）解：如（1）图所示，即为所求．
44．如图在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
(1)画出关于原点的中心对称图形；
(2)画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用中心对称的性质，分别作出的对应点即可．
（2）利用旋转变换的性质，分别作出的对应点即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作.
（2）解：如图，即为所求作.
45．小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形．
已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．
下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D；②作直线．
则直线就是所求作的直线．
根据小红设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，
∴．（①___________）（填推理的依据）
∴．（②___________）（填推理的依据）
∵，
∴，
．
∴．
∴．（③___________）（填推理的依据）
∴和都是等腰三角形．
【答案】(1)图见详解
(2)①线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；②等边对等角；③等角对等边
【分析】（1）根据题意即可作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质即可完成证明．
【详解】（1）解：补全的图形如下：
（2）证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，
∴．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等），
∴．（等边对等角），
∵，
∴，
．
∴．
∴．（等角对等边），
∴和都是等腰三角形，
故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；②等边对等角；③等角对等边．
题型十 等腰三角形综合应用
46．在和中，，，．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若平分，，点在线段上，则 度．
【答案】(1)见解析
(2)30
【分析】（1）利用证明，即可得出结论；
（2）证明是等边三角形，，利用（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
故答案为：30．
47．如图，D、E在上，且，，求证：．
【答案】见解析
【分析】方法一：根据等腰三角形的性质，可得与的关系，与的关系，根据补角的性质，可得与的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
方法二：利用三线合一解决问题即可．
【详解】证法一：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
证法二：如图，过点A作于H．
∵，，，
∴，，
∴．
48．如图，△ADE 中，AD=AE，点 B、C 是直线 DE 上的两点，点 B 在点 D左侧，点 C 在点 E 右侧，且 BD=CE．
(1)求证：AB=AC；
(2)若 DA⊥AE，∠B=28°，求∠BAD的大小．
【答案】(1)见解析
(2)17°
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE，可得AB=AC；
（2）利用等边对等角求出∠ADE，再利用外角的性质可得结果．
【详解】（1）解：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠AEC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AB=AC；
（2）∵AD⊥AE，AD=AE，
∴∠ADE=45°，
∵∠B=28°，
∴∠BAD=∠ADE-∠B=17°．
49．如图（），已知点在上，和都是等腰直角三角形，，且为的中点．
(1)求证：为等腰直角三角形；
(2)将绕点再逆时针旋转时（如图（）所示的位置），为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【分析】（1）连接并延长交于N，证明，得，再由，可得，从而可得是等腰直角三角形，且是底边上的中线，再利用等腰三角形的三线合一的性质和直角三角形的性质即可得到为等腰直角三角形；
（2）作交的延长线于N，连接，根据平行线的性质求出，根据证，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出为等腰直角三角形．
【详解】（1）如图，延长交于点．
，
．
．
在和中，

，．
，
．
是等腰直角三角形，且是底边的中线．
，．
为等腰直角三角形．
（2）为等腰直角三角形．理由如下：
如图（），作交的延长线于点，连接，
．
，，

，．
在和中，
，．
，
是等腰直角三角形，且是底边的中线．
，．
为等腰直角三角形．
50．如图，在和中，．点在边上，若．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）利用证明，即可得证；
（2）根据，可得出的度数，再根据，即可得出，由可得出即可得出．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型十一 旋转变换综合应用
51．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E，连接，当点E恰好在上时，求的大小．
【答案】
【分析】根据旋转的性质得，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后计算即可．
【详解】解：
绕点C顺时针旋转得到，点E恰好在上，
．
，
52．如图，绕点A旋转后能与重合，且点D在上，若，，求的长．
【答案】6
【分析】先根据旋转的性质得到，再根据全等三角形的性质计算即可．
【详解】解：绕点旋转后能与重合，
，
，，
53．如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．
(1)求证：．
(2)若，求长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得出，可得，根据，得出，继而根据三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质即可得证；
（2）过作于，先证，再证得出，然后勾股定理解，即可求解．
【详解】（1）证明：∵将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
设
∴
∵
∴
∴
（2）解：如图，过作于，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．，
在中，，
∴,
∴，
在中，，
∴．
54．如图，在等腰中，，是的角平分线，过点作于点，，将围绕点旋转，使得的两边分别交直线、于点、．
(1)当围绕点旋转到如图①的位置时，易证得：；
(2)当围绕点旋转到如图②、图③的位置时，、、之间有怎样的数量关系？请写出来，并选择一种情况进行证明．
【答案】(1)证明见详解
(2)图②；图③BM＝CF﹣BE，证明见详解
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
在四边形中，，
∵，
∴，且，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：图②，同（1）的方法得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
图③，同（1）的方法得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
55．如图1，在中，，，作平分线交于点F，以为边作等腰直角，且，如图2将绕点F每秒的速度顺时针旋转得到三角形（当点D落在射线上时停止旋转），则旋转时间为t秒．
(1)当t＝ 秒，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为M，如图3，若为等腰三角形，求t的值；
(3)当边与边、分别交于点P、Q时，如图4，连接，设，，，试探究x，y，z之间的关系．
【答案】(1)5
(2)10或25或40
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，，再利用三角形外角的性质得的度数，从而得出旋转的角度，可得答案；
（2）分或或，分别求出旋转的角度，从而解决问题；
（3）利用三角形外角的性质知，，再根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
∵起始状态，
∴，
故答案为：5；
（2）解：当，
，
当时，
，
当时，，
，
综上：t＝10或25或40；
（3）解：∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
在中，，
∴．