中考数学一轮复习题型归纳专练(全国通用)专题05分式方程(题型归纳)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习题型归纳专练(全国通用)专题05分式方程(题型归纳)(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了分式方程的解法等内容，欢迎下载使用。

题型演练
题型一 分式方程的判断
1．下列哪个是分式方程（ ）
A．B．C．D．
2．在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（ ）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
3．下列关于x的方程中，整式方程的个数是（ ）
（1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x．
A．1B．2C．3D．4
4．下列式子①，②，③中，分式方程有（ ）个
A．1B．2C．3D．0
5．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
题型二 分式方程的解法
6．方程的解为（ ）
A．B．C．D．
7．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )
A．x+2＝3B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3(2x﹣1)D．x+2＝3(2x﹣1)
8．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
9．分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．无解
10．解方程：．
11．解方程．
12．解分式方程：．
13．解分式方程：．
14．解分式方程：．
15．解方程．
题型三 分式方程的增根问题
16．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．1B．C．1或D．以上都不是
17．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
18．关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝﹣2B．m＝2C．m＝﹣3D．m＝3
19．关于的分式方程有增根，则增根是( )
A．1B．2C．-2D．-1
20．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．﹣2
21．若关于的分式方程有增根，则______．
22．关于x的分式方程无解，则m的值 ____
23．若关于的分式方程无解，则a的值为____．
24．若关于x的分式方程无解，则a的值为_________．
25．若关于x的分式方程有增根，则m的值是___________．
题型四 根据分式方程的根的情况求参数
26．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．2B．3C．7D．8
27．关于x的分式方程解为正数，且关于y的不等式组 解集为，则满足所有条件的整数的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
28．若关于 的不等式组 有解且所有的解都是正数， 且关于 的分式方程 的解为整数， 则符合条件的所有整数 的个数为（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
29．从，，，，1，3这六个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的不等式组无解，则这六个数中所有满足条件的的值之和是（ ）
A．B．-1C．D．
30．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．7B．9C．14D．16
31．已知关于x的方程﹣3＝ 有一个正数解，则m的取值范围是_________．
32．若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是______________．
33．关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．
34．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是________．
35．已知关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是______．
题型五 分式方程的应用
36．为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用厚型纸单面打印，总质量为克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用薄型纸双面打印，总质量为克．已知每页薄型纸比厚型纸轻克，求例子中的厚型纸每页的质量．墨的质量忽略不计提示：总质量每页纸的质量纸张数．
37．为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多3元，用540元购买的有机大米与用420元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？
38．某项工程，甲工程队先做天后，由于另有任务不做，由乙工程队接替，结果乙队再做天就恰好完成任务．已知乙队单独完成任务的时间是甲队的倍．请问：
(1)甲队单独做需要多少天才能完成任务？
(2)若甲工程队先做天后，由乙工程队接替，结果乙队再做天就恰好完成任务．其中，都是正整数，且甲队做的时间不到天，乙队做的时间不到天，那么两队实际各做了多少天？
39．2022年卡塔尔世界杯吉样物la’eeb，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售价的1．5倍且1200元购买小拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多5个．
(1)求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？
(2)世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶500个，大拉伊卜玩偶300个，世界杯开赛第二周，该经销商决定䧄价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为75000元，求的值．
40．某网店售有A、B两款纪念品，已知每件A款纪念品的进价比B款贵10元，该商家用8000元购进的A款纪念品和用6000元购进的B款纪念品的件数相同．销售过程中发现，A款纪念品每件售价50元时，每个月可售出100件；每件售价每提高1元时，每个月少售出2件．
(1)求A款纪念品每件的进价；
(2)设A款纪念品每件售价x元（），每个月销售A款纪念品的利润为w（单位：元），求w的最大值．
41．为了节约用水，石家庄物价局于年月日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过包括时，则按规定标准2.8元（含污染费和排污费），若每月用水量超过，则超过的部分按收费（含污染费和排污费）．
(1)小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从年月起计划平均每月用水量比年月到年月平均每月用水量减少，这使小敏家在相同的月数内，从计划前的用水量变为计划后的用水量，求小敏家从年月起计划平均每月用水量；
(2)小敏家从年月到年月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的，有四个月超出现在计划月平均用水量的，其余的四个月的用水量与年月到年月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费．
42．2022年北京冬奥会是我国又一次举办的大型国际奥林匹克运动盛会．为了增加学生相关知识，某校开展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大小两种型号的吉祥物玩偶作为奖品．已知大型号的单价比小型号的单价多元，且学校用元购买小型号的数量是用元购买大型号数量的三倍．
(1)求两种型号玩偶的单价；
(2)为了让更多同学参与竞赛活动，学校决定购进这两种型号吉祥物玩偶共个，但总费用不超过元求最多可购买大型号吉祥物玩偶的个数．
43．为了提高数学素养，小启和小航相约到书店购买《数学的力量》和《数学脑探秘》这两本书．已知《数学的力量》的页数比《数学脑探秘》的页数多40页，小启计划每天读30页，22天读完这两本书．
(1)求《数学的力量》有多少页？
(2)小航按每天阅读固定的页数阅读了360页后，接下来每天多阅读50%，直到阅读完这两本书，结果比小启计划阅读的天数多用了6天，求小航一开始每天阅读多少页？
专题05 分式方程
题型分析
题型演练
题型一 分式方程的判断
1．下列哪个是分式方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：，是整式方程，故此选项不符合题意；
，是分式方程，故此选项符合题意；
，是整式方程，故此选项不符合题意；
，是整式方程，故此选项不符合题意．
2．在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（ ）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程称为分式方程，据此解题即可．
【详解】解:①分母不含未知数，故①不是分式方程；
②分母不含未知数，故②不是分式方程；
③分母含有未知数，故③是分式方程；
④分母含有未知数，故④是分式方程．
故选C．
3．下列关于x的方程中，整式方程的个数是（ ）
（1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答.分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）+x＝都符合整式方程的定义；
（4）+1＝x属于分式方程.
故选：C.
4．下列式子①，②，③中，分式方程有（ ）个
A．1B．2C．3D．0
【答案】A
【分析】根据分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐一进行判断即可．
【详解】①分母中不含未知数，所以不是分式方程，故错误；
②，符合分式方程的概念，故正确；
③，不是方程，故错误；
所以分式方程只有1个，
故选：A．
5．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程符合分式方程的定义，故本选项符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
题型二 分式方程的解法
6．方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
移项合并得：，
化系数为“1”得：，
检验，当时，，
∴是原分式方程的解．
故选：D．
7．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )
A．x+2＝3B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3(2x﹣1)D．x+2＝3(2x﹣1)
【答案】C
【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以(2x﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程．
【详解】方程两边都乘以(2x﹣1)，得
x﹣2＝3(2x﹣1)，
故选C．
8．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．
【详解】解：方程可化简为

经检验是原方程的解
故选D
9．分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】D
【详解】去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选D．
10．解方程：．
【答案】
【分析】分式方程两边同乘3(x+1)，解出x的解，再检验解是否满足.
【详解】解：方程两边都乘，
得：，
解得：，
经检验是方程的解，
原方程的解为．
11．解方程．
【答案】
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x＋1）（x−1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．
【详解】解：方程两边乘，得.
解得.
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为.
12．解分式方程：．
【答案】x=4
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
方程两边乘得：，
解得：x=4，
检验：当x=4时，．
所以原方程的解为x=4．
13．解分式方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母，得，
解此方程，得，
经检验，是原分式方程的根．
14．解分式方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】方程，
，
，
，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
15．解方程．
【答案】
【分析】先将方程两边同时乘以，化为整式方程后解整式方程再检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验：将代入中得，，
∴是该分式方程的解．
题型三 分式方程的增根问题
16．若关于x的分式方程无解，则a的值为（ ）
A．1B．C．1或D．以上都不是
【答案】C
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．
【详解】解：
分式方程两边同乘以（3－x）得：
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．
当时，则，
令最简公分母为0，即
解得
∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．
综上所述可得：或时，原分式方程无解．
故选：C．
17．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先判断方程的这个增根为再把代入去分母后的方程中即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的分式方程有增根，
∴这个增根为：
，
去分母可得：
把代入
∴
解得：
故选B
18．关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（ ）
A．m＝﹣2B．m＝2C．m＝﹣3D．m＝3
【答案】C
【分析】解出分式方程的根x＝m＋5，分式方程的增根为x＝2，所以m＋5＝2，求得m的值．
【详解】解：方程两边都乘以（x﹣2）得：m＋3＝x﹣2，
解得：x＝m＋5，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴m＋5＝2，
∴m＝－3．
故选：C．
19．关于的分式方程有增根，则增根是( )
A．1B．2C．-2D．-1
【答案】A
【分析】分式方程有增根，令最简公分母为0，即可求出增根．
【详解】解：分式方程有增根，
最简公分母，
解得：．
故选：A．
20．若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】C
【分析】先去分母得到整式方程x﹣1＝m﹣（x﹣3），整理得m﹣2x＝﹣4，由于x的方程无解，则x﹣3＝0，即x＝3，然后把x＝3代入m﹣2x＝﹣4进行计算即可得到m的值．
【详解】去分母得x﹣1＝m﹣（x﹣3），
整理得m﹣2x＝﹣4，
∵关于x的方程无解，
∴x﹣3＝0，即x＝3，
∴m﹣2×3＝﹣4，
∴m＝2．
故选：C．
21．若关于的分式方程有增根，则______．
【答案】3
【分析】去分母，得，将增根代入可得，进一步求解即可．
【详解】解：去分母，得，
将增根代入，
得，
解得，
故答案为：．
22．关于x的分式方程无解，则m的值 ____
【答案】-2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得，，
由分式方程无解，得到，即，
把代入整式方程得， ，
计算得，．
故答案为：-2．
23．若关于的分式方程无解，则a的值为____．
【答案】1或-2
【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，分为整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行解题即可．
【详解】解：方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当整式方程无解时：0，解得：，
②当分式方程有增根时：0，解得：x=0或，
当0时，整式方程无解，
当：，解得：；
故答案为：1或-2．
24．若关于x的分式方程无解，则a的值为_________．
【答案】3或
【分析】先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，当x的系数为0时，方程无解，求出a的值；当x的系数不等于0时，求出方程的解，最简公分母等于0时方程无解，求出a的值即可．
【详解】解：，
去分母，得，
整理，得，
当时，方程无解，；
当时，，
因为原分式方程无解，所以，
即，
解得．
所以a的值为或3．
故答案为：或3．
25．若关于x的分式方程有增根，则m的值是___________．
【答案】－1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把增根x＝3代入整式方程，即可求得相关字母的值．
【详解】解：分式方程，
去分母得：，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：，
解得：m＝－1，
故答案：－1．
题型四 根据分式方程的根的情况求参数
26．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．2B．3C．7D．8
【答案】A
【分析】求出不等式组的解集，即可得出，解关于y的分式方程得出且，分析求解即可．
【详解】解：将关于x的一元一次不等式组求解得出，
而不等式组的解集为，
∴，
解这个关于y的分式方程得且，
又∵分式方程的解是非负整数，
∴，，，…
即，，，，…
而，
∴，，
∴所有满足条件的整数a的值之和为，
故选：A．
27．关于x的分式方程解为正数，且关于y的不等式组 解集为，则满足所有条件的整数的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解．
【详解】解：由分式方程的解为整数可得：，
解得：
又题意得：且
∴且，
由得：，
由得：，
∵解集为，
∴，
解得：，
综上可知a的整数解有：3，4，6共3个，故D正确．
故选：D．
28．若关于 的不等式组 有解且所有的解都是正数， 且关于 的分式方程 的解为整数， 则符合条件的所有整数 的个数为（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】A
【分析】先解不等式组求得，再解分式方程得，再由方程的解为整数，可得a是2的倍数，由于，则，可求a的值为2．
【详解】解：不等式组，
由(1)得，
由(2)得，
∵不等式组有解且所有的解都是正数，
，
，
解分式方程，
得，
，
，
∵方程的解为整数，
∴a是2的倍数，
∴a的值为2，
∴符合条件的所有整数a的个数为1个，
故选：A．
29．从，，，，1，3这六个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于的分式方程有整数解，且使得关于的不等式组无解，则这六个数中所有满足条件的的值之和是（ ）
A．B．-1C．D．
【答案】C
【分析】解分式方程，利用分式方程的解为整数，可能产生增根的情形，分母不等于0，解不等式组，利用已知条件确定的范围，从而将不符合题意的值排除，得到符合条件的的值，则结论可求．
【详解】解：分式方程的解为：，
分式方程有可能产生增根2，
，
．
关于的分式方程有整数解，
，
要使分式有意义，
．
关于的不等式组无解，
，
．
综上，符合条件的值有：，，
所有满足条件的的值之和是，
故选：C．
30．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．7B．9C．14D．16
【答案】A
【分析】根据x的一元一次不等式组有解，得到，再计算y的分式方程，得到，再根据y为整数，得到的所有取值，最后根据分式方程的性质，得到的最后取值，即可计算所有满足条件的整数a的值之和．
【详解】解：∵不等式
解得：，
∵不等式，
解得：，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
又∵关于y的分式方程的解是，，
∵y为整数，
∴或或或，
∵当a＝1时，方程无解，即，
∴且，
∴且，
又∵，
∴或，
所以所有满足条件的整数a的值之和为，
故选：A．
31．已知关于x的方程﹣3＝ 有一个正数解，则m的取值范围是_________．
【答案】m＜10且m≠1
【分析】根据解分式方程的一般步骤解出方程的解，再根据分式方程有意义的条件可得，又利用原方程有一个正数解，可得一元一次不等式，解出不等式即可求得答案．
【详解】解：等式两边同时乘以得：
，即，
解得：，
由∵，
∴，
∵原方程有一个正数解，
∴，
解得，
综上所述：m＜10且m≠1，
故答案为：m＜10且m≠1．
32．若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是______________．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
33．关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．
【答案】且
【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∵有解，
则或，
∴，
当时，，
故a的取值是1，
当时，，
两边同乘，，
∴，
当2-a=0时，方程无解，此时a=2，
故答案为：且．
34．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是________．
【答案】m≤6且m≠4
【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：关于x的分式方程的解为：x＝6−m，
∵分式方程有可能产生增根2，
∴6−m≠2，
∴m≠4，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴6−m≥0，
解得：m≤6，
综上，m的取值范围是：m≤6且m≠4．
故答案为：m≤6且m≠4．
35．已知关于x的分式方程的解为非正数，则k的取值范围是______．
【答案】且
【分析】先将分式方程化成整式方程，求出方程的解为，再根据方程的解为非正数确定k的取值范围，要注意分式分母不为零的情况．
【详解】解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
由分式方程的解为非正数，得到，且，
解得：且．
故答案为：且
题型五 分式方程的应用
36．为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用厚型纸单面打印，总质量为克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用薄型纸双面打印，总质量为克．已知每页薄型纸比厚型纸轻克，求例子中的厚型纸每页的质量．墨的质量忽略不计提示：总质量每页纸的质量纸张数．
【答案】例子中的厚型纸每页的质量为4克
【分析】设例子中的厚型纸每页的质量为x克，由题意得，，进行计算即可得．
【详解】解：设例子中的厚型纸每页的质量为x克，
由题意得，
方程两边同时乘，得
整理，得，
解得，，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即例子中的厚型纸每页的质量为4克．
37．为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多3元，用540元购买的有机大米与用420元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？
【答案】13.5元
【分析】设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为元，由题意：用540元购买的有机大米与用420元购买的普通大米的重量相同．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为元，
依题意得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每千克有机大米的售价为13.5元．
38．某项工程，甲工程队先做天后，由于另有任务不做，由乙工程队接替，结果乙队再做天就恰好完成任务．已知乙队单独完成任务的时间是甲队的倍．请问：
(1)甲队单独做需要多少天才能完成任务？
(2)若甲工程队先做天后，由乙工程队接替，结果乙队再做天就恰好完成任务．其中，都是正整数，且甲队做的时间不到天，乙队做的时间不到天，那么两队实际各做了多少天？
【答案】(1)答：甲队单独做需要40天才能完成任务；
(2)答：甲队实际做了天，乙队做了天．
【分析】（1）甲队单独做需要天才能完成任务，则乙队单独做需要天才能完成任务，总任务量为1，根据题意列分式方程，求解即可得到答案；
（2）根据题意列分式方程，整理得到，再根据、的取值范围得不等式，求整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：甲队单独做需要天才能完成任务，则乙队单独做需要天才能完成任务，由题意得：，
解得：，，
经检验，是原方程的解，
答：甲队单独做需要40天才能完成任务；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
，
，
，
且为整数，
或，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
答：甲队实际做了天，乙队做了天．
39．2022年卡塔尔世界杯吉样物la’eeb，中文名是拉伊卜，代表着技艺高超的球员．随着世界杯的火热进行，吉祥物拉伊卜玩偶成为畅销商品．某经销商售卖大、小两种拉伊卜玩偶，大拉伊卜售价是小拉伊卜售价的1．5倍且1200元购买小拉伊卜玩偶的数量比购买大拉伊卜玩偶的数量多5个．
(1)求小、大拉伊卜玩偶售价分别为多少元？
(2)世界杯开赛第一周该经销商售出小拉伊卜玩偶500个，大拉伊卜玩偶300个，世界杯开赛第二周，该经销商决定䧄价出售两种拉伊卜玩偶．已知：两种拉伊卜玩偶都降价元，小拉伊卜玩偶售出数量较世界杯开赛第一周多了个；大拉伊卜玩偶售出数量与世界杯开赛第一周相同，该经销商世界杯第二周总销售额为75000元，求的值．
【答案】(1)80元，120元
(2)10
【分析】（1）设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是元，根据题意，得，解分式方程即可．
（2）根据题意，第二周大拉伊卜售价是元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是元，销售数量为个，根据题意，得，解方程即可．
【详解】（1）设小拉伊卜售价为x元，则大拉伊卜售价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
所以，
答：小拉伊卜玩偶售价为80元，大拉伊卜玩偶售价是120元．
（2）根据题意，第二周大拉伊卜售价是元，销售数量为300个；第二周小拉伊卜售价是元，销售数量为个，
根据题意，得，
解得（舍去）．
故a的值为10．
40．某网店售有A、B两款纪念品，已知每件A款纪念品的进价比B款贵10元，该商家用8000元购进的A款纪念品和用6000元购进的B款纪念品的件数相同．销售过程中发现，A款纪念品每件售价50元时，每个月可售出100件；每件售价每提高1元时，每个月少售出2件．
(1)求A款纪念品每件的进价；
(2)设A款纪念品每件售价x元（），每个月销售A款纪念品的利润为w（单位：元），求w的最大值．
【答案】(1)40元
(2)A款纪念品每件售价65元时，w有最大值，为1750元
【分析】（1）设A款纪念品每件的进价为a元，则B宽纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，即可作答；
（2）设A款纪念品每件售价x元，则销售量为：件，根据题意列出二次函数，再根据二次函数的性质即可作答．
【详解】（1）设A款纪念品每件的进价为a元，则B宽纪念品的进价为元，
根据题意有：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：A款纪念品每件的进价为40元；
（2）设A款纪念品每件售价x元，则销售量为：件，
由（1）可知：A款纪念品每件的进价为40元，
则总的利润为：，
整理：，
即：当时，利润w随着x的增大而增大，
又∵，
∴当时，w达到最大，最大为（元），
答：A款纪念品每件售价65元时，w有最大值，为1750元．
41．为了节约用水，石家庄物价局于年月日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过包括时，则按规定标准2.8元（含污染费和排污费），若每月用水量超过，则超过的部分按收费（含污染费和排污费）．
(1)小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从年月起计划平均每月用水量比年月到年月平均每月用水量减少，这使小敏家在相同的月数内，从计划前的用水量变为计划后的用水量，求小敏家从年月起计划平均每月用水量；
(2)小敏家从年月到年月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的，有四个月超出现在计划月平均用水量的，其余的四个月的用水量与年月到年月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费．
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）设小敏家从年月起计划平均每月用水量为，则从年月到年月平均每月用水量为，依题意可列出关于x的分式方程，解出x，并检验，即可得出结果；
（2）由题意可求出超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，
这四个月的水费为元，超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，这四个月的水费为元．设年月到年月的平均每月用水量为，根据题意可列出关于y的方程，解出y的值，即可求出这四个月的水费，最后将水费相加即得出总水费．
【详解】（1）解：设小敏家从年月起计划平均每月用水量为，则从年月到年月平均每月用水量为，
依题意有：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴小敏家从年月起计划平均每月用水量为；
（2）解：超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，
∴这四个月的水费为元；
超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为，
∴这四个月的水费为元；
设年月到年月的平均每月用水量为，
根据题意有：，
解得：
∴其余四个月的平均用水量为，
∴这四个月的水费为元．
∴小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费为元．
42．2022年北京冬奥会是我国又一次举办的大型国际奥林匹克运动盛会．为了增加学生相关知识，某校开展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大小两种型号的吉祥物玩偶作为奖品．已知大型号的单价比小型号的单价多元，且学校用元购买小型号的数量是用元购买大型号数量的三倍．
(1)求两种型号玩偶的单价；
(2)为了让更多同学参与竞赛活动，学校决定购进这两种型号吉祥物玩偶共个，但总费用不超过元求最多可购买大型号吉祥物玩偶的个数．
【答案】(1)小型号玩偶的单价为元，大型号玩偶的单价为元
(2)
【分析】（1）设小型号玩偶的单价为元，则大型号玩偶的单价为元，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设最多购买大型号吉祥物玩偶个，根据题意列出一元一次不等式即可求解．
【详解】（1）解：设小型号玩偶的单价为元，则大型号玩偶的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
∴小型号玩偶的单价为元，大型号玩偶的单价为元；
（2）设最多购买大型号吉祥物玩偶个，
根据题意，得，
解得，
∴最多可购买大型号吉祥物玩偶个．
43．为了提高数学素养，小启和小航相约到书店购买《数学的力量》和《数学脑探秘》这两本书．已知《数学的力量》的页数比《数学脑探秘》的页数多40页，小启计划每天读30页，22天读完这两本书．
(1)求《数学的力量》有多少页？
(2)小航按每天阅读固定的页数阅读了360页后，接下来每天多阅读50%，直到阅读完这两本书，结果比小启计划阅读的天数多用了6天，求小航一开始每天阅读多少页？
【答案】(1)《数学的力量》有页．
(2)小航原来每天阅读页．
【分析】（1）设《数学的力量》有页，则《数学脑探秘》有页，再利用两本书的页数之和为，再列方程可得答案；
（2）设小航原来每天阅读页，结合原来阅读时间加上提高速度后的阅读时间等于28天，可列方程，从而可得答案．
【详解】（1）解：设《数学的力量》有页，则《数学脑探秘》有页，
∴，
解得：，
答：《数学的力量》有页．
（2）设小航原来每天阅读页，则
，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
答：小航原来每天阅读页．