中考数学一轮复习题型归纳专练(全国通用)专题14与圆有关的性质(题型归纳)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习题型归纳专练(全国通用)专题14与圆有关的性质(题型归纳)(原卷版+解析)，共49页。
题型演练
题型一 圆的基本概念辨析
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．过圆心的直线是圆的直径
B．直径是圆中最长的弦
C．相等长度的两条弧是等弧
D．顶点在圆上的角是圆周角
2．如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
3．下列说法正确的是（ ）
A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦
C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦
4．如图在矩形中，，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，则的最小值是________．
5．某校计划在校园内修建一座周长为20m的花坛，同学们设计出正三角形，正方形和圆三种图案，通过计算说明使花坛面积最大的图案是_______ （填图形）．
6．如图，在中，点A、B在圆上，且，则的度数为_______°．
7．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，若，试求的度数．
8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上．
(1)线段的长等于______；
(2)以为直径的半圆的圆心为，在圆上找一点，使平分请用无刻度的直尺作图；
(3)以为直径的半圆的圆心为，在线段上有一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点．
题型二 垂径定理的应用
9．如图的周长是，是的弦，，垂足为M，若，则的长为（ ）
A．8B．12C．15D．16
10．如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径为（ ）
A．4B．5C．3D．7
11．在中，是直径，是弦，，将圆沿着翻折，使弧与直径相交于点E和F，且，的长为 _____．
12．如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（为的中点，为弧的中点）．则桥拱所在圆的半径为_____________米．
13．如图，在中，．
(1)尺规作图：作的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹）；
(2)求外接圆的半径．
14．已知：的半径为5，点在直径上，过点作的弦，过点作直线的垂线，垂足为点．
(1)如图1，当时，求线段的长；
(2)当点是线段的中点时，求的长；
(3)如果，求线段的长．
题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解
15．如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
16．下列说法中正确的是（ ）
A．经过三点一定可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴D．等弧所对的圆周角相等
17．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为_____．
18．如图，点A在半圆O上，是直径，．若，则的长为 __．
19．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，求的度数．
20．如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．
题型四 利用弧、弦、圆心角的关系证明
21．下列命题中，正确的是（ ）
①同弧所对的圆周角相等；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等
A．①②B．①③C．①④D．①②③④
22．如图，在中，，，则下列结论错误的是（ ）
A．弦的长等于圆内接正六边形的边长B．弦的长等于圆内接正十二边形的边长
C．D．
23．如图，点A，B，C，D，E都是上的点，，，则______°．
24．如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径为__．
25．如图，在中，弦相交于点P，且，求证：．
26．如图，是的外接圆，平分，交于点F，交于点D，平分，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点A是的中点，求证：．
题型五 圆心角的概念辨析
27．下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角α的取值范围是
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
28．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
29．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________.
30．如图，是的弦，，则________．
31．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．
32．如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且．
（1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出．
（2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出．
题型六 圆周角的概念辨析
33．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
34．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（ ）
A．B．C．D．1
35．如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
36．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________．
37．如图，点均在圆上，则图中有________个圆周角．
题型七 圆周角的性质应用
38．如图，四边形内接于．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
39．如图，已知四边形是的内接四边形，且，，，下列命题错误的是（ ）
A．B．
C．D．图中全等的三角形共有2对
40．如图，点，在上，连结，，且，若点是圆上异于，的另一点，则___________．
41．如图，在圆内接正六边形中，，交于点G，已知半径为，则的长为________．
42．如图，四边形内接于以为直径的圆，圆心为，且，延长、交于，连接．
(1)求证：；
(2)过点作的垂线交的延长线于，且．
①求线段的值；
②若，求的长．
43．如图，是的直径，D是的中点，且交于点E，连接并延长交的延长线于点F．
(1)当，求的大小．
(2)当的半径为6，，求的长．
题型八 半圆或直径所对的圆周角为90°及其逆应用
44．如图，AB为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
45．如图，中，弦，，，则直径的长是（ ）．
A．B．C．D．
46．如图，是的外接圆，，则的半径是__________．
47．如图，平面直角坐标系中，将含的三角尺的直角顶点落在第二象限．其斜边两端点、分别落轴、轴上，且，点与点的距离的最大值______．
48．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
49．如图，是的直径，是弦．
(1)若，求的度数．
(2)若，的半径，求的长．
专题14 与圆有关的性质
题型分析
题型演练
题型一 圆的基本概念辨析
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．过圆心的直线是圆的直径
B．直径是圆中最长的弦
C．相等长度的两条弧是等弧
D．顶点在圆上的角是圆周角
【答案】B
【分析】根据直径，弦，等弧，圆周角的定义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、过圆心的弦是圆的直径，故此选项不符合题意；
B、直径是圆中最长的弦，故此选项符合题意；
C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故此选项不符合题意；
D、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，图中⊙O的弦共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦．
【详解】解：图中有弦共3条，
故选C．
3．下列说法正确的是（ ）
A．弧长相等的弧是等弧B．直径是最长的弦
C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【分析】根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理判断即可．
【详解】A、能够重合的弧是等弧，弧长相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．如图在矩形中，，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，则的最小值是________．
【答案】
【分析】根据矩形折叠的性质得到，确定出当点在线段上时，有最小值，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵M是的中点，
∴．
∵将沿所在直线折叠，
∴，
∴点在以点M为圆心，为半径的圆上，
∴如图，当点在线段上时，有最小值，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
5．某校计划在校园内修建一座周长为20m的花坛，同学们设计出正三角形，正方形和圆三种图案，通过计算说明使花坛面积最大的图案是_______ （填图形）．
【答案】圆
【分析】分别求出正三角形，正方形和圆三种图案的面积，即可求解．
【详解】解：当设计成正三角形，则边长是，则面积是；
当设计成正方形时，边长是5m，则面积是；
当设计成圆时，半径是，则面积是．
∵这三个数中最大，
∴使花坛面积最大的图案是圆．
故答案为：圆．
6．如图，在中，点A、B在圆上，且，则的度数为_______°．
【答案】60
【分析】连接，证明是等边三角形，可得结果．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：60．
7．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，若，试求的度数．
【答案】．
【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到，即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上．
(1)线段的长等于______；
(2)以为直径的半圆的圆心为，在圆上找一点，使平分请用无刻度的直尺作图；
(3)以为直径的半圆的圆心为，在线段上有一点，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点．
【答案】(1)
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；
（2）如图，取与网格线的交点D，连接并延长交于点E，则E即为所求，
（3）记交于点G，连接，延长交的延长线于F，连接延长交 于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）解：由勾股定理可得：
．
（2）如图，取与网格线的交点D，连接并延长交于点E，则E即为所求，
理由如下：由格线，，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分．
（3）记交于点G，连接，延长交的延长线于F，连接延长交 于点P，则点P即为所求．
由，，
同理可得：为的中位线，
∴，而，
∴，
∵平分，
∴是的垂直平分线，
∴，与关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，则点P即为所求．
题型二 垂径定理的应用
9．如图的周长是，是的弦，，垂足为M，若，则的长为（ ）
A．8B．12C．15D．16
【答案】D
【分析】连接，先根据的周长是，可求得半径为，根据可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，根据垂径定理进而得出结论．
【详解】解：如图：连接，
的周长是，
的半径，
，
，
是的弦，，
，
，
故选：D．
10．如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径为（ ）
A．4B．5C．3D．7
【答案】B
【分析】由垂径定理可得的长，利用勾股定理即可求出的长，即为圆的半径．
【详解】解：作于E，连接，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
11．在中，是直径，是弦，，将圆沿着翻折，使弧与直径相交于点E和F，且，的长为 _____．
【答案】
【分析】设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，根据垂径定理以及翻折的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，如图：
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
即的长为．
故答案为：．
12．如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（为的中点，为弧的中点）．则桥拱所在圆的半径为_____________米．
【答案】26
【分析】根据垂径定理得，设圆的半径为R，根据勾股定理列方程求出R即可.
【详解】解：如图，桥拱所在圆的圆心为O，半径为R，连接
∵为的中点，为弧的中点，
∴三点共线，且
,
在Rt中，根据勾股定理得
解得
故答案为：26
13．如图，在中，．
(1)尺规作图：作的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹）；
(2)求外接圆的半径．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）首先画出和的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，长为半径画圆即可；
（2）过A作，连接， 设的外接圆的半径，首先利用勾股定理计算出的长，然后再利用勾股定理计算出r即可．
【详解】（1）解：如下图，
画出和的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，长为半径画圆，即为所求；
（2）如上图，过A作，连接，
设的外接圆的半径，
，
，
，
，
解得：．
14．已知：的半径为5，点在直径上，过点作的弦，过点作直线的垂线，垂足为点．
(1)如图1，当时，求线段的长；
(2)当点是线段的中点时，求的长；
(3)如果，求线段的长．
【答案】(1)；(2)；(3)或
【分析】（1）连接，利用垂径定理和勾股定理解答即可；
（2）连接，利用垂径定理和线段垂直平分线的性质得到为等边三角形， 利用等边三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分∶①当点F在线段上时，连接，设，则，证明得，即可求得结论；②当点F在线段的延长线上时，连接，同理解答即可．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵的半径为5，
∴，，
∴，．
∵，
∴
∴；
（2）解：连接，如图，
∵点F是线段的中点时，
∴经过点圆心O，，垂直平分，
∴
∵，AB是直径，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∴．
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①当点F在线段上时，连接，如图，
设，则，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ (不合题意，舍去)或，
∴；
②当点F在线段的延长线上时，连接，如图，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，AB是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（不合题意，舍去）或，
综上，如果，线段的长为或．
题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解
15．如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，可得结论．
【详解】解：∵的度数为，
∴，
∴的度数为，
故选D．
16．下列说法中正确的是（ ）
A．经过三点一定可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴D．等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【分析】根据确定一个圆的条件，圆周角定理，圆心角定理，圆的对称轴的知识即可判断正误．
【详解】A．经过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，A选项错误，所以A选项不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，B选项错误，所以B选项不符合题意；
C．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，C选项错误，所以C选项不符合题意；
D．等弧所对的圆周角相等，D选项正确，所以D选项符合题意．
故选：D
17．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为_____．
【答案】
【分析】根据题意得到等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如下图，
圆心角，
是等腰直角三角形，，
又 ，
作，
，
，
，
弧所对的弦长，
故答案为：
18．如图，点A在半圆O上，是直径，．若，则的长为 __．
【答案】
【分析】连接，由圆心角，弦，弧的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求解的长，进而可求解的长．
【详解】解：连接，
∵ ，是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴ ．
故答案为：．
19．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，求的度数．
【答案】
【分析】连接，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，再根据直角的性质求出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
【详解】解：如下图，连接，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
20．如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据弧与弦的关系，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，是四边形的一个外角，得出，进而得出，根据，即可得证．
【详解】证明：，
∴
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
由圆周角定理得，，
．
题型四 利用弧、弦、圆心角的关系证明
21．下列命题中，正确的是（ ）
①同弧所对的圆周角相等；②相等的圆心角，所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等
A．①②B．①③C．①④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据所学定理和推论可知①④正确，②③错误．
【详解】解：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故①正确．
②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误．
③在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误．
④根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，弦也不等；故④正确．
故选：C．
22．如图，在中，，，则下列结论错误的是（ ）
A．弦的长等于圆内接正六边形的边长B．弦的长等于圆内接正十二边形的边长
C．D．
【答案】D
【分析】根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析．
【详解】解：A．因为，，
所以，
所以为等边三角形，，
以为一边可构成正六边形，故结论正确，该选项不符合题意；
B．因为，
根据垂径定理可知，；
再根据A中结论，弦的长等于圆内接正十二边形的边长，故结论正确，该选项不符合题意；
C．根据垂径定理，，故结论正确，该选项不符合题意；
D．根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，
，故结论错误，该选项符合题意．
故选：D．
23．如图，点A，B，C，D，E都是上的点，，，则______°．
【答案】116
【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接、，
∵点A、C、D、E都是上的点，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴，
∴，
故答案为：116．
24．如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径为__．
【答案】
【分析】过作于，于，连接，由推出，根据正方形的判定推出是正方形，再求出的长，最后在中，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：过作于，于，连接，
，
，
过圆心，，
，
，
，，，
，
，
四边形是正方形，
，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
25．如图，在中，弦相交于点P，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，得到，推出，得到，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．如图，是的外接圆，平分，交于点F，交于点D，平分，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若点A是的中点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得到，再利用角平分线平分角以及三角形外角的性质，得到，即可得证；
（2）根据等弧对等弦，得到，证明，得到，再根据等角对等边，得到，即可得到．
【详解】（1）证明：如图
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
即；
（2）证明：∵点A是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型五 圆心角的概念辨析
27．下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角α的取值范围是
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
【答案】C
【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案．
【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，
∴A、D错误，C正确；
∵圆心角α的取值范围是，
∴B错误．
故选：C．
28．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．
【详解】解：如图，连接
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的度数为：
故选B．
29．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________.
【答案】
【分析】的度数即为所对圆心角的度数；
【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数；
∴
故答案为：
30．如图，是的弦，，则________．
【答案】
【分析】根据同圆中半径相等，可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得结果．
【详解】解：∵，
∴，又，
∴，
故答案为：．
31．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．
【答案】
【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到．
【详解】解：连接，如图，
∵弧的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵弦，
∴．
32．如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且．
（1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出．
（2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由于圆被12等分，可得每小格为30°，则120°为4小格，据此画图即可；
（2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）AB=，
如图所示，即为所求．
题型六 圆周角的概念辨析
33．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．
【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项C中的角是圆周角．故选：C．
34．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】由图，与为同弧所对的角，根据同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的关系即可求得答案．
【详解】解：A、B、O是小正方形顶点，
，
（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
，
故选：B．
35．如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A．∠APBB．∠ABDC．∠ACBD．∠BAC
【答案】C
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，故选C．
36．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________．
【答案】①②③⑤
【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可
【详解】解：，都是大于半圆的弧，故①②正确，
在圆上，则线段是弦；故③正确；
都在圆上，
是圆周角
而点不在圆上，则不是圆周角
故④不正确；
是圆心，在圆上
是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
37．如图，点均在圆上，则图中有________个圆周角．
【答案】8
【分析】根据圆周角的定义，圆周角的顶点必在圆周上，据此可把顶点分别为A、B、C、D的圆周角数出来，即可得到答案．
【详解】解：以点为顶点的圆周角各有3个，以点为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆周角．
故答案为8．
题型七 圆周角的性质应用
38．如图，四边形内接于．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，以及圆内接四边形的内对角互补，进行求解即可．
【详解】解：四边形ABCD内接于，，
∴，，
∴；
故选C．
39．如图，已知四边形是的内接四边形，且，，，下列命题错误的是（ ）
A．B．
C．D．图中全等的三角形共有2对
【答案】D
【分析】根据等弧对等角、证，利用全等的性质得到,,结合已知利用勾股定理逆定理证，然后利用等腰三角形和三角形面积公式进行分析即可．
【详解】解：四边形是的内接四边形
即
且，，
故A正确，不符合题意；
,,
在中，
故B正确，不符合题意；
故C正确，不符合题意；
图中全等三角形有：
，，，
共有3对
故D错误，符合题意；
故选：D
40．如图，点，在上，连结，，且，若点是圆上异于，的另一点，则___________．
【答案】或
【分析】分别从点在优弧上与点在劣弧上去分析求解即可求得答案．
【详解】解：∵，
若在优弧上，如图，
则：；
若点在劣弧上，如图，
则：；
故答案为：或．
41．如图，在圆内接正六边形中，，交于点G，已知半径为，则的长为________．
【答案】2
【分析】连接、，则三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接、、，则经过O点，且O是的中点，
∵六边形是正六边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∴，
解得：或（舍去）．
故答案为：2．
42．如图，四边形内接于以为直径的圆，圆心为，且，延长、交于，连接．
(1)求证：；
(2)过点作的垂线交的延长线于，且．
①求线段的值；
②若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）先利用圆心角定理的推论证明，得到再利用圆周角定理得到，即可求证．
（2）①先证明，得到对应线段的比例，再求解即可；
②分别求出和，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴设，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，即，
∴．
43．如图，是的直径，D是的中点，且交于点E，连接并延长交的延长线于点F．
(1)当，求的大小．
(2)当的半径为6，，求的长．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先求出，再利用三角形外角的性质求解；
（2）先利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵半圆所对的圆周角是
∴，
∵
∴，
∴．
（2）∵D是的中点，
∴垂直平分，
如图，连接，
在中，，
∴在中，，
∴的长为．
题型八 半圆或直径所对的圆周角为90°及其逆应用
44．如图，AB为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【答案】C
【分析】连接，利用圆周角定理得到，，然后利用三角形内角和计算的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
45．如图，中，弦，，，则直径的长是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，由可知为直径，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图：
∵，
∴，
∴为直径，
由勾股定理可得：，
故选：A
46．如图，是的外接圆，，则的半径是__________．
【答案】4
【分析】作直径，如图，连接，根据圆周角定理得到，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的半径．
【详解】解：作直径，如图，连接，
∵为直径，
，
∴，
，
即⊙O的半径是4．
故答案为4．
47．如图，平面直角坐标系中，将含的三角尺的直角顶点落在第二象限．其斜边两端点、分别落轴、轴上，且，点与点的距离的最大值______．
【答案】13
【分析】先证明四点共圆，再根据圆中直径最大即可求解．
【详解】解：取的中点，连接，，如图：
，
，
、、、在以为圆心，为半径的圆上，
当弦过圆心时，最大，此时，
故答案为：．
48．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【分析】（1）连接，由圆的基本性质结合等腰三角形的性质即可得出．根据角平分线的定义可得出，即推出，即证明．再根据，即可证，即说明直线是的切线；
（2）结合（1）易证，即得出；
（3）由，结合直径所对圆周角为直角和角平分线的定义易证 为等边三角形，即得出，．又可求出，即可利用含30度角的直角三角形的性质求出，从而可求出，进而可求出，最后即可求出，并利用可求出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵在和中，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
49．如图，是的直径，是弦．
(1)若，求的度数．
(2)若，的半径，求的长．
【答案】(1)；(2)4
【分析】（1）利用圆周角定理得到，，然后利用互余求的度数．
（2）根据圆周角定理和直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：是的直径，
，
，
；
（2）解：是的直径，
，
，，
．