中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练(全国通用)专题31与圆有关的计算(学生版+解析)

这是一份中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练(全国通用)专题31与圆有关的计算(学生版+解析)，共57页。
技巧1：圆与相似三角形的综合
技巧2：用三角函数解与圆有关问题
技巧3：圆与学科内知识的综合应用
【题型】一、求多边形中心角
【题型】二、已知正多边形中心角求边数
【题型】三、正多边形与圆
【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径
【题型】五、扇形面积的相关计算
【题型】六、圆锥侧面积的相关计算
【考纲要求】
1.掌握弧长和扇形面积计算公式，并能正确计算．
2.运用公式进行圆柱和圆锥的侧面积和全面积的计算．
3.会求图中阴影部分的面积.
【考点总结】一、弧长、扇形面积的计算
1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝.
2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝eq \f(nπr2,360)或S＝eq \f(1,2)lr.
【考点总结】二、圆柱和圆锥
1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h.如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.
2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S侧＝eq \f(1,2)l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.
【考点总结】三、不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1．直接用公式求解．
2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
【技巧归纳】
技巧1：圆与相似三角形的综合
1.【中考·衢州】如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是( )
A．3 B．4 C.eq \f(25,6) D.eq \f(25,8)
(第1题)
(第2题)
2．【中考·南通】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为( )
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为( )
A．3 B．2eq \r(3) C.eq \r(21) D．3eq \r(5)
(第3题)
(第4题)
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．
(第5题)
(第6题)
6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB，其中正确结论的序号是________．
7．【2017·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.
(1)求证：直线DM是⊙O的切线；
(2)求证：DE2＝DF·DA.
(第7题)
8．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PBPC＝12.
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AD＝3，求△ABC的面积．
(第8题)
技巧2：用三角函数解与圆有关问题
一、选择题
1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sin B＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2,3)
(第1题)
(第2题)
2．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么cs ∠AEB的值为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝eq \f(4,5).⊙O过B，C两点，且⊙O的半径r＝eq \r(10)，则OA的长为(
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
二、填空题
4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.
(第4题)
(第5题)
5．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cs E＝________.
6．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cs C的值为________．
(第6题)
(第7题)
7．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝_______.
三、解答题
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq \r(5)，tan B＝eq \f(1,2)，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到eq \(DE,\s\up8(︵)).
(1)求证：AB为⊙C的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
(第8题)
9．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证：DC＝DE；
(2)若tan∠CAB＝eq \f(1,2)，AB＝3，求BD的长．
(第9题)
技巧3：圆与学科内知识的综合应用
【类型】一：圆与三角函数的综合
1．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.
(1)求证：∠ADC＝∠ABD；
(2)求证：AD2＝AM·AB；
(3)若AM＝eq \f(18,5)，sin ∠ABD＝eq \f(3,5)，求线段BN的长．
(第1题)
【类型】二：圆与相似的综合
2．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点P在eq \(AB,\s\up8(︵))上移动，P，C分别位于AB的异侧(P不与A，B重合)，△PCD也为直角三角形，∠PCD＝90°，且Rt△PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E.
(1)当BA平分∠PBC时，求eq \f(BE,CD)的值；
(2)已知AC＝1，BC＝2，求△PCD面积的最大值．
(第2题)
【类型】三：圆与二次函数的综合
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．
(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式．
(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．
(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF的面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．
(第3题)
【题型讲解】
【题型】一、求多边形中心角
例1、正六边形的边长为4，则它的面积为（ ）
A．B．C．D．
例2、如图，是中心为原点，顶点，在轴上，半径为4的正六边形，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【题型】二、已知正多边形中心角求边数
例3、若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形
例4、一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于，则 n的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【题型】三、正多边形与圆
例5、半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．abcB．bacC．acbD．cba
例6、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径
例7、如图，是的直径，是弦，点在直径的两侧．若，，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
例8、一个扇形的圆心角为，扇形的弧长等于则该扇形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
例8、若扇形的圆心角是，且面积是，则此扇形的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【题型】五、扇形面积的相关计算
例9、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2
例10、如图，在⊙O中，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型】六、圆锥侧面积的相关计算
例11、一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．100πB．200πC．100πD．200π
例12、用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
例13、如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A．B．C．D．
与圆有关的计算（达标训练）
一、单选题
1．已知圆内接正六边形的半径为 则该内接正六边形的边心距为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72°B．60°C．48°D．36°
3．我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（ ）
A．正负术B．方程术C．割圆术D．天元术
4．公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率．割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．随后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可知，这两位数学家依次为（ ）
A．刘徽，祖冲之B．祖冲之，刘徽C．杨辉，祖冲之D．秦九韶，杨辉
5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．与相等
8．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．
10．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．
三、解答题
11．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
与圆有关的计算（提升测评）
一、单选题
1．如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是（ ）
A．B．C．D．
5．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1B．2C．D．2
6．如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：
①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．
以上结论正确的是（ ）
A．②③B．①③C．②D．①
7．如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．如图，正六边形内接于，若的半径为，则阴影部分的面积等于______．
10．如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ___________．
三、解答题
11．如图，已知，，．
(1)在边上求作点，连接，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在第（1）问图中，若，
求；
已知经过点的圆与相切于点，求扇形的面积．
12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
(1)求∠CPD的度数；
(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
专题31 与圆有关的计算
【专题目录】
技巧1：圆与相似三角形的综合
技巧2：用三角函数解与圆有关问题
技巧3：圆与学科内知识的综合应用
【题型】一、求多边形中心角
【题型】二、已知正多边形中心角求边数
【题型】三、正多边形与圆
【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径
【题型】五、扇形面积的相关计算
【题型】六、圆锥侧面积的相关计算
【考纲要求】
1.掌握弧长和扇形面积计算公式，并能正确计算．
2.运用公式进行圆柱和圆锥的侧面积和全面积的计算．
3.会求图中阴影部分的面积.
【考点总结】一、弧长、扇形面积的计算
1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝.
2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝eq \f(nπr2,360)或S＝eq \f(1,2)lr.
【考点总结】二、圆柱和圆锥
1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h.如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.
2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S侧＝eq \f(1,2)l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.
【考点总结】三、不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1．直接用公式求解．
2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
【技巧归纳】
技巧1：圆与相似三角形的综合
1.【中考·衢州】如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是( )
A．3 B．4 C.eq \f(25,6) D.eq \f(25,8)
(第1题)
(第2题)
2．【中考·南通】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为( )
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为( )
A．3 B．2eq \r(3) C.eq \r(21) D．3eq \r(5)
(第3题)
(第4题)
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．
5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y的最大值是________．
(第5题)
(第6题)
6．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB，其中正确结论的序号是________．
7．【2017·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.
(1)求证：直线DM是⊙O的切线；
(2)求证：DE2＝DF·DA.
(第7题)
8．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PBPC＝12.
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AD＝3，求△ABC的面积．
(第8题)
答案
1．D 2.B 3.C 4.4 5.2 6.①④
7．证明：(1)如图，连接OD.
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵)).∴OD⊥BC.
又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，
∴∠BDM＝∠DBC.
∴BC∥DM.∴OD⊥DM.
∴直线DM是⊙O的切线．
(2)如图，连接BE.
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE.
∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，
即∠BED＝∠EBD.∴DB＝DE.
∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB.
∴eq \f(DF,DB)＝eq \f(DB,DA)，即DB2＝DF·DA.
∴DE2＝DF·DA.
(第7题)
8．(1)证明：如图，连接OC.∵PE与⊙O相切，∴OC⊥PE.
∵AE⊥PE，∴OC∥AE.
∴∠CAD＝∠OCA.
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC.∴∠CAD＝∠OAC.
∴AC平分∠BAD.
(第8题)
(2)解：PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.
理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠BAC＋∠ABC＝90°.∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC.∵∠PCB＋∠OCB＝90°，
∴∠PCB＝∠PAC.
∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC.
∴eq \f(PC,PB)＝eq \f(PA,PC).∴PC2＝PB·PA.
∵PBPC＝12，
∴PC＝2PB.∴PA＝4PB.∴AB＝3PB.
(3)解：过点O作OH⊥AD于点H，如图，则AH＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(3,2)，
四边形OCEH是矩形．∴OC＝HE.∴AE＝eq \f(3,2)＋OC.
∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA.∴eq \f(OC,AE)＝eq \f(PO,PA).
∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝eq \f(3,2)PB.
∴eq \f(OC,\f(3,2)＋OC)＝eq \f(PB＋\f(3,2)PB,PB＋3PB)＝eq \f(5,8)，∴OC＝eq \f(5,2)，∴AB＝5.
∵△PBC∽△PCA，∴eq \f(PB,PC)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(1,2)，
∴AC＝2BC.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
∴(2BC)2＋BC2＝52，∴BC＝eq \r(5)，∴AC＝2eq \r(5).
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝5，即△ABC的面积为5.
技巧2：用三角函数解与圆有关问题
一、选择题
1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sin B＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2,3)
(第1题)
(第2题)
2．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么cs ∠AEB的值为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝eq \f(4,5).⊙O过B，C两点，且⊙O的半径r＝eq \r(10)，则OA的长为(
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
二、填空题
4．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.
(第4题)
(第5题)
5．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cs E＝________.
6．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cs C的值为________．
(第6题)
(第7题)
7．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝_______.
三、解答题
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝eq \r(5)，tan B＝eq \f(1,2)，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到eq \(DE,\s\up8(︵)).
(1)求证：AB为⊙C的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
(第8题)
9．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证：DC＝DE；
(2)若tan∠CAB＝eq \f(1,2)，AB＝3，求BD的长．
(第9题)
答案
一、1.D 2.C 3.A
二、4.eq \f(3,4) 5.eq \f(1,2) 6.eq \f(4,5) 7.eq \f(1,2)
三、
(第8题)
8．(1)证明：如图，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tan B＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(1,2)，∴BC＝2AC＝2eq \r(5).∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(（\r(5)）2＋（2\r(5)）2)＝5，∴CF＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(\r(5)×2\r(5),5)＝2.∴AB为⊙C的切线．
(2)解：S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝eq \f(1,2)AC·BC－eq \f(nπr2,360)＝eq \f(1,2)×eq \r(5)×2eq \r(5)－eq \f(90π×22,360)＝5－π.
9．(1)证明：连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°.
又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE.
(2)解：设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x.在Rt△EAD中，∵tan ∠CAB＝eq \f(1,2)，∴ED＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)(3＋x)．由(1)知，DC＝DE＝eq \f(1,2)(3＋x)．在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1.52＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（3＋x）))eq \s\up12(2)＝(1.5＋x)2，解得x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1.
(第9题)
技巧3：圆与学科内知识的综合应用
【类型】一：圆与三角函数的综合
1．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.
(1)求证：∠ADC＝∠ABD；
(2)求证：AD2＝AM·AB；
(3)若AM＝eq \f(18,5)，sin ∠ABD＝eq \f(3,5)，求线段BN的长．
(第1题)
【类型】二：圆与相似的综合
2．如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点P在eq \(AB,\s\up8(︵))上移动，P，C分别位于AB的异侧(P不与A，B重合)，△PCD也为直角三角形，∠PCD＝90°，且Rt△PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E.
(1)当BA平分∠PBC时，求eq \f(BE,CD)的值；
(2)已知AC＝1，BC＝2，求△PCD面积的最大值．
(第2题)
【类型】三：圆与二次函数的综合
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．
(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式．
(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．
(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF的面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．
(第3题)
答案
1．(1)证明：如图，连接OD.
(第1题)
∵直线CD切⊙O于点D，
∴∠CDO＝90°.∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵OB＝OD，
∴∠3＝∠4.∴∠1＝∠4，
即∠ADC＝∠ABD.
(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°.又∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD.∴eq \f(AM,AD)＝eq \f(AD,AB).∴AD2＝AM·AB.
(3)解：∵sin ∠ABD＝eq \f(3,5)，∠ABD＝∠1，∴sin ∠1＝eq \f(3,5).∵AM＝eq \f(18,5)，∴AD＝6.
∴AB＝10.
∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝8.∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°.
∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°.∴∠DBN＝∠1.∴sin ∠DBN＝eq \f(3,5).
∴DN＝eq \f(24,5).∴BN＝eq \r(BD2－DN2)＝eq \f(32,5).
2．解：(1)连接PA.∵BA平分∠PBC，
∴∠PBA＝∠CBA＝∠ACP.
∵∠ACP＋∠PCB＝∠BCD＋∠PCB＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∴∠BCD＝∠CBA＝∠PBA.∴AB∥CD.
∴∠PBA＝∠D.∴∠BCD＝∠D.
∴BC＝BD.
又∵∠PCD＝90°，易证得PB＝BC＝BD.
又∵AB∥CD，∴PE＝EC.
∴BE是△PCD的中位线．
∴eq \f(BE,CD)＝eq \f(1,2).
(2)∵∠PCD＝∠ACB＝90°，
∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC.
∴eq \f(PC,CD)＝eq \f(AC,CB)＝eq \f(1,2).∴S△PCD＝eq \f(1,2)PC·CD＝eq \f(1,2)PC·2PC＝PC2.
∴当PC最大时，△PCD的面积最大，
即PC为⊙O的直径时，△PCD的面积最大．
∴当PC＝AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(5)时，△PCD的面积的最大值为(eq \r(5))2＝5.
3．(1)解：设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把点B(0，4)，C(－2，0)，D(－8，0)的坐标分别代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝c，,0＝4a－2b＋c，,0＝64a－8b＋c，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(5,2)，,c＝4.))
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为y＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(5,2)x＋4.
(2)证明：∵y＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(5,2)x＋4＝eq \f(1,4)(x＋5)2－eq \f(9,4)，
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，－\f(9,4))).
设直线CE的函数表达式为y＝mx＋n，
直线CE与y轴交于点G，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝－2m＋n，,－\f(9,4)＝－5m＋n，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,4)，,n＝\f(3,2)，))
∴直线CE的函数表达式为y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(3,2).
在y＝eq \f(3,4)x＋eq \f(3,2)中，令x＝0，则y＝eq \f(3,2)，
∴Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))).
如图①，连接AB，AC，AG，
则BG＝OB－OG＝4－eq \f(3,2)＝eq \f(5,2)，
CG＝eq \r(OC2＋OG2)＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \f(5,2)，
∴BG＝CG.
在△ABG与△ACG中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AC，,BG＝CG，,AG＝AG，))
∴△ABG≌△ACG.∴∠ACG＝∠ABG.
∵⊙A与y轴相切于点B(0，4)，
∴∠ABG＝90°.∴∠ACG＝∠ABG＝90°.
∵点C在⊙A上，∴直线CE与⊙A相切．
(第3题)
(3)解：存在点F，使△BDF的面积最大．
设Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(1,4)t2＋\f(5,2)t＋4))，如图②，连接BD，BF，DF，
过点F作FN∥y轴交BD于点N，
设直线BD的函数表达式为y＝kx＋d，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝d，,0＝－8k＋d，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,d＝4.))
∴直线BD的函数表达式为y＝eq \f(1,2)x＋4.
∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(1,2)t＋4)).
∴FN＝eq \f(1,2)t＋4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)t2＋\f(5,2)t＋4))＝－eq \f(1,4)t2－2t.
∴S△DBF＝S△DNF＋S△BNF＝eq \f(1,2)OD·FN＝eq \f(1,2)×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)t2－2t))＝－t2－8t＝－(t＋4)2＋16.
∴当t＝－4时，S△BDF最大，最大值是16.
当t＝－4时，eq \f(1,4)t2＋eq \f(5,2)t＋4＝－2，
∴F(－4，－2)．
【题型讲解】
【题型】一、求多边形中心角
例1、正六边形的边长为4，则它的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OG的长，再由△OAB的面积即可求解．
【详解】解：如图，过正六边形中心O作OG⊥AB于G
∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB==60°；
∵OA=OB，∠AOB=60°,OG⊥AB
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴OG=OA•cs30°=4×=2，
∴S△OAB=×AB×OG=×4×2=4，
∴S六边形=6S△OAB=6×4=24
故选：B．
例2、如图，是中心为原点，顶点，在轴上，半径为4的正六边形，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】连接OF，设EF交y轴于G，那么∠GOF=30°；在Rt△GOF中，根据30°角的性质求出GF，根据勾股定理求出OG即可．
【详解】
解：连接OF，
在Rt△OFG中，∠GOF=，OF=4．
∴GF=2，OG=2．
∴F（-2，2）．
故选C．
【题型】二、已知正多边形中心角求边数
例3、若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形
【答案】C
【提示】
一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是，用除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【详解】
由题意可得：
边数为．
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
例4、一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于，则 n的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【提示】
先利用弧长公式求出中心角的度数，由此即可得出答案．
【详解】
设圆内接正n边形的中心角的度数为
由弧长公式得：
解得
即圆内接正n边形的中心角的度数为
则
故选：B．
【题型】三、正多边形与圆
例5、半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．abcB．bacC．acbD．cba
【答案】A
【提示】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形 利用三角函数求解边心距，再比较大小即可．
【详解】解：设圆的半径为R，
如图，
由为圆内接正三角形，

则正三角形的边心距为a＝R×cs60°＝R．
如图，四边形为圆的内接正方形，

四边形的边心距为b＝R×cs45°＝R，
如图，六边形为圆的正内接六边形，

正六边形的边心距为c＝R×cs30°＝R．
∵RRR，
∴＜b＜，
故选：．
例6、如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】解：正六边形的面积为：，
六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：A．
【题型】四、利用弧长公式求弧长、圆心角、半径
例7、如图，是的直径，是弦，点在直径的两侧．若，，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
根据求出的度数，根据得到半径，运用弧长公式计算即可．
【详解】
∵，，
∴，
又∵，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
∴CD=．
故答案选D．
例8、一个扇形的圆心角为，扇形的弧长等于则该扇形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】根据弧长公式，代入求出r的值，即可得到结论．
【详解】解：由题意得，4π＝，
解得：r＝6，
∴S＝＝12π．
故选：C.
例8、若扇形的圆心角是，且面积是，则此扇形的弧长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】
先根据S扇形=求出该扇形的半径R，然后再根据S扇形=即可求得弧长．
【详解】
解：由S扇形=，n=150°，可得240π=，解得R=24；
又由S扇形=可得240π=，解得=20π．
故答案为B．
【题型】五、扇形面积的相关计算
例9、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2
【答案】B
【提示】
先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【详解】
解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．
故选：B．
例10、如图，在⊙O中，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S阴影=S扇形OAB-S△OAB算出结果.
【详解】
解：∵∠C=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB==，
故选D.
【题型】六、圆锥侧面积的相关计算
例11、一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．100πB．200πC．100πD．200π
【答案】C
【提示】
先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【详解】
解：这个圆锥的母线长＝＝10，
这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．
故选：C．
例12、用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•3=3π，然后解方程即可．
【详解】
解：根据题意得•2π•r•3=3π，
解得r=1．
故选：D．
例13、如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】
首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．
【详解】
解：设圆锥的底面周长是l，则l=m，
则圆锥的底面半径是：m，
则圆锥的高是：m．
故选：C．
与圆有关的计算（达标训练）
一、单选题
1．已知圆内接正六边形的半径为 则该内接正六边形的边心距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【详解】解：连接OA，作OM⊥AB于M，得到∠AOM=30°，AB=2，
则AM=，
因而OM=OA•cs30°=3，
∴正六边形的边心距是3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、解直角三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
2．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72°B．60°C．48°D．36°
【答案】A
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键．
3．我国魏晋时期的数学家刘徽发现在圆的内接正多边形边数加倍的过程中，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，他首创了利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为（ ）
A．正负术B．方程术C．割圆术D．天元术
【答案】C
【分析】根据我国利用“割圆术”求圆周率的近似值解答即可．
【详解】解：由题意可知：利用圆的内接正多边形确定圆周率．这种确定圆周率的方法称为“割圆术”．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是了解我国古代用“割圆术”求圆周率的近似值，即在一个圆中，它的内接正多边形的边数越多，正多边形就越像圆，它的周长和面积就更接近圆的周长和面积．
4．公元263年，我国数学家利用“割圆术”计算圆周率．割圆术的基本思想是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．随后，公元480年左右，我国另一位数学家又进一步得到圆周率精确到小数点后7位，由此可知，这两位数学家依次为（ ）
A．刘徽，祖冲之B．祖冲之，刘徽C．杨辉，祖冲之D．秦九韶，杨辉
【答案】A
【分析】掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．
【详解】解：3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．圆周率不是某一个人发明的，而是在历史的进程中，不同的数学家经过无数次的演算得出的．古希腊大数学家阿基米德(公元前287-212年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河．公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值31415927，还得到两个近似分数值．
故选：A．
【点睛】本题考查了割圆术和圆周率的发明过程和发明人，熟练掌握割圆术和圆周率的发明过程是解题的关键．
5．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长．
【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”．
6．如图，将正六边形放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先连接，由于正六边形是轴对称图形， 并设交轴于，那么；在中， 则，． 即可求得的坐标．
【详解】解：连接，设交轴于，如图所示，
∵点的坐标为，
∴，
由正六边形是轴对称图形知：
在中，，．
，，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标，熟练掌握正多边形的性质、含30度直角三角形的性质及图形与坐标是解题的关键．
7．如图，点是正六边形的中心，的两边，分别与，相交于点，，当时，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．与相等
【答案】C
【分析】根据正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质逐项进行证明即可．
【详解】解：如下图所示，连接．
点O是正六边形的中心，
，，，，．
，．
．
，
，．
故A选项不符合题意．
，
．
（AAS）．
，．
故D选项不符合题意．
．
故B选项不符合题意．
．
．
故C选项符合题意．
故选：C
【点睛】此题考查正六边形的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
8．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出的度数及的长，再由的面积即可求解．
【详解】解：如图，过正六边形中心O作于G
∵此多边形为正六边形，
∴；
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
．
【点睛】本题考查了正多边形的计算问题，关键是由正六边形的特点求出中心角的度数及三角形的高的长．
二、填空题
9．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．
【答案】54
【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=×（180°-72°）=54°，
故答案为：54．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中心角的度数．
10．一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．
【答案】十二
【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．
【详解】解：∵一个正多边形的中心角是30°，
∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，
故答案为：十二．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．
三、解答题
11．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．
与圆有关的计算（提升测评）
一、单选题
1．如图，工人师傅准备从一块斜边长为的等腰直角材料上裁出一块以直角顶点为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥接缝处忽略，则圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作于点，首先求出扇形的半径的长，再根据弧长公式，求出弧长，然后再根据圆的周长公式，即可求出底面半径．
【详解】解：如图，作于点，
∵是斜边长为的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴扇形的弧长，
设底面半径为，
则，
解得：，
∴圆锥的底面半径为．
故选：A
【点睛】本题考查了等腰直三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数、弧长公式，解本题的关键在理解扇形的弧长等于圆锥底面的周长．
2．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】已知为直径，则，在等腰直角三角形中，垂直平分，，为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差．
【详解】解：在中，AB2，
∵是半圆的直径，
∴，
在等腰中，垂直平分，，
∴D为半圆的中点，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．
3．如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，求出弓形的面积，然后根据阴影部分的面积等于的面积减去弓形的面积求解即可．
【详解】连接．
∵正方形的边长为2，
∴.
∵，
，
，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
4．如图，中，，点是边上的一点，与、分别相切于点、，点为上一点，连，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设与相交于点，利用菱形的性质可得，，利用圆的切线性质可得，从而可得，进而可得，然后求出，从而求出，，，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，的度数，最后根据阴影部分面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：设与相交于点，
四边形是菱形，
，，
与、分别相切于点、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
阴影部分面积的面积扇形的面积
，
阴影部分面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
5．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（ ）
A．1B．2C．D．2
【答案】C
【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF=x，B'F=x，从而BC=x+x+x=2+，即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG=x，则GF=x，B'F=x，
∴BG=B'G=x+x，
∴BC=x+x+x=2+，
∴x=1，
∴GF=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质等知识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．
6．如图1所示的正六边形（记为“图形”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形”），作出图形的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：
①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形”，则图形的周长之比为3：2：；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+．
以上结论正确的是（ ）
A．②③B．①③C．②D．①
【答案】A
【分析】①根据题意可知过点作于，根据正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求得，即可判断①；
②根据正六边形的性质，结合①的结论，分别求得三个正六边形的边长，即可判②；
③依题意可知图形的内接圆的半径与外接圆的半径之和即为所求，根据正六边形的性质，等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：标注字母如图，过点作于
，为的三等分点，为是三等分点
，
∵正六边形的每一个内角为
∴中，，
在中
，
，
①不正确，
图形，边长为6，所以图形的周长为
如图，依题意可得
则，依题意，是正六边形，

所以图形的周长为
把图2中空白部分记作“图形”，由①可得，
是正六边形，
所以图形的周长为
∴图形的周长之比为=3：2：；
故②正确；
如图，过点作于点， 交内切圆于点，则即为所求，
根据正六边形的性质可得是等边三角形，
，
，
，
，
故③正确，
故选A．
【点睛】本题考查了正六边形与内切圆的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，理解题意求得各线段长是解题的关键．
7．如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据正五边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判断即可．
【详解】五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，故A不符合题意；
，
，故B不符合题意；
连接，过点A作于点H，则，
，，
，
，故C符合题意；
连接，
五边形是正五边形，
，
，
，
相切于，
，
，
，
，
，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键．
8．如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】解：如下图，正六边形由六个等边三角形组成，过点作于点，于点，
根据题意，正六边形纸片边长为，即，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
同理，，
∴，
∴正六边形的面积，
∵将上面一张纸片六边形沿水平方向向左平移个单位长度，
又∵，
∴阴影部分的面积，
∴空白部分与阴影部分面积之比是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、平移变换等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
9．如图，正六边形内接于，若的半径为，则阴影部分的面积等于______．
【答案】
【分析】首先连接，，分别交，于点M，N，易证得，同理：，则可得．
【详解】
解：连接，，分别交，于点M，N，
∵正六边形内接于
∴
，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴∠OCD=∠OCB，
∵，
∴
，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
故答案为∶．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的知识以及扇形的面积公式．注意证得是关键．
10．如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为的锐角顶点在圆心上，这个角绕点任意转动，在转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为，求 ___________．
【答案】##度
【分析】根据题意可得出扇形与扇形有重叠的概率即为组成的扇形圆心角与的比值，进而得出答案．
【详解】解：∵在圆中内接一个正五边形，
∴每个正五边形的中心角为，
∵转动过程中，扇形与扇形有重叠的概率为
∴
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了几何概率以及正五边形的性质，根据已知得出概率与圆心角的关系是解题关键．
三、解答题
11．如图，已知，，．
(1)在边上求作点，连接，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在第（1）问图中，若，
求；
已知经过点的圆与相切于点，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)；π
【分析】（1）作的垂直平分线交于，交于，则，所以；
（2 ）过点作于，于，如图，则，，利用含角的直角三角形三边的关系得到，则，所以，再计算出，则，，然后在Rt中利用正切的定义计算出，然后根据三角形面积公式计算出；
先根据切线的性质得到，再证明为等边三角形得到，然后利用扇形的面积公式计算．
【详解】（1）解：如图，点为所作：
（2）解：过点作于，于，如图，
，
在Rt中，
，
，
，
，
，
，
在Rt中，
，
，
；
与相切于点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
扇形的面积π．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了圆周角定理、切线的性质和解直角三角形．
12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
(1)求∠CPD的度数；
(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．
【详解】（1）解：连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°，
∴．
（2）解：连接PO，OB，如图所示：
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．