中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练(全国通用)专题28投影与视图(学生版+解析)

这是一份中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练(全国通用)专题28投影与视图(学生版+解析)，共45页。
技巧1：平行投影、中心投影、正投影间的关系
技巧2：投影规律在实际问题中的应用
技巧3：三视图与实物的互相转化
技巧4：根据物体的三视图计算其表面积和体积
【题型】一、与平行投影有关的计算
【题型】二、与中心投影有关的计算
【题型】三、确定正投影的图像
【题型】四、判断几何体的三视图
【题型】五、画三视图
【题型】六、由三视图还原原图形
【题型】七、与三视图有关的计算问题
【考纲要求】
1.了解平行投影和中心投影的含义及其简单的应用．
2.会判断简单物体的三视图．
3.能根据三视图描述基本几何体或实物原型，掌握简单几何体表面展开图与折叠.
【考点总结】一、由立体图形到视图
1．视图：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．
2．常见几何体的三种视图：
3．三视图的画法：
(1)长对正；(2)高平齐；(3)宽相等．
【考点总结】二、由视图到立体图形
由视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定，由一个视图往往可以想象出多种物体．
由视图描述实物时，需了解简单的、常见的、规则物体的视图，能区分类似的物体视图的联系与区别．如主视图是长方形，可想象出是四棱柱、三棱柱、圆柱等．俯视图是圆的可以是球、圆柱等．
【考点总结】三、物体的投影
1．平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
平行投影与视图之间的关系：当投影线与投影面垂直时，这种投影叫做正投影．物体的正投影称为物体的视图．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．
2．中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．
【技巧归纳】
技巧1：平行投影、中心投影、正投影间的关系
类型一：利用平行投影与中心投影的定义判断投影
1．如图，下列判断正确的是( )
(第1题)
A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子
B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子
C．图①和图②都是在阳光下的影子
D．图①和图②都是在灯光下的影子
2．如图，下面是北半球一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是( )
(第2题)
A．③④②① B．②④③①
C．③④①② D．③①②④
类型二：利用平行投影与中心投影的特征作图
3．如图，两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子．(用线段表示)
(第3题)
4．如图①②分别是两棵树及其影子的情形．
(第4题)
(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
(2)你是用什么方法判断的？
(3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．
类型三：正投影的识别与画法
5．如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是( )
(第5题)

6．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝EF，如图所示．若正方体的面ABCD平行于投影面P，且垂直于投影面Q，画出这个物体在两个投影面上的正投影．
(第6题)
技巧2：投影规律在实际问题中的应用
角度一：平行投影的实际应用
eq \a\vs4\al(类型1) 投影线不受限时的测量
1．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图③，测得校园景灯(灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计)的灯罩部分影长HQ为90 cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长为50 cm，未被照射到的部分KP长为32 cm.
(第1题)
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．
(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：
①求灯罩底面半径MK的长；
②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．
eq \a\vs4\al(类型2) 投影线在特定条件时的测量
2．如图，有甲、乙两幢办公楼，两幢楼都为10层，由地面向上依次为1层至10层，每层的高度均为3 m，两楼之间的距离为30 m．为了了解太阳光与水平线的夹角为30°时，甲楼对乙楼采光的影响情况，请你求出甲楼楼顶B的影子E落在乙楼的第几层．
(第2题)
角度二：中心投影的实际应用
3．如图，一位同学身高1.6 m，晚上站在路灯下A处，他在地面上的影长AB是2 m，当他沿着影长的方向移动2 m站在B处时，影长增加了0.5 m，求路灯的高度．
(第3题)
技巧3：三视图与实物的互相转化
角度一：判断物体的三视图
1．下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是( )
2．【中考·丽水】由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )
(第2题)

角度二：画物体的三视图
3．观察如图所示的几何体，画出它的三视图．
(第3题)
角度三：已知三视图想象物体的形状
4．【中考·河北】如图所示的三视图所对应的几何体是( )
(第4题)

5．请根据如图所示物体的三视图画出该物体．
(第5题)
角度四：由三视图确定小正方体的个数
6．已知由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，那么组成该几何体的小正方体有( )
(第6题)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示．这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
(第7题)
技巧4：根据物体的三视图计算其表面积和体积
类型一：利用三视图求几何体的表面积
1．如图是一个几何体的三视图．
(1)写出此几何体的名称；
(2)求此几何体的表面积S.
(第1题)
2．(1)图①是一个组合体，图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组合体的表面积．(π取3.14)
(第2题)
类型二：利用三视图求几何体的体积
3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图(如图)的尺寸计算其体积．(球的体积公式：V＝eq \f(4,3)πr3，其中r为球的半径)
(第3题)
4．如图是某工厂设计生产的某种手电筒的三视图，利用图中标出的数据求该手电筒的表面积和体积．
(第4题)
【题型讲解】
【题型】一、与平行投影有关的计算
例1、和是直立在水平地面上的两根立柱，米，某一时刻测得在阳光下的投影米，同时，测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【题型】二、与中心投影有关的计算
例2、如图，位似图形由三角板与其在灯光照射下的中心投影组成，已知灯到三角板的距离与灯到墙的距离的比为，且三角板的一边长为，则投影三角形的对应边长为（ ）
A．B．C．D．
例3、如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【题型】三、确定正投影的图像
例3、把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A．B．C．D．
例4、如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【题型】四、判断几何体的三视图
例4、如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
例5、下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是（ ）

A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．正方体
【题型】五、画三视图
例6、如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同
例7、下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型】六、由三视图还原原图形
例8、已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是
A．B．C．D．
例9、如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【题型】七、与三视图有关的计算问题
例10、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2
例11、如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（ ）
A．20πB．18πC．16πD．14π
投影与视图（达标训练）
一、单选题
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ）
A．④③②①B．③④①②C．②④③①D．①②③④
4．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是一种“工”型液压机的配件，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
6．四个几何体中，左视图不是四边形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ）．
A．B．C．D．
8．如图所示几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．校园内一棵松树在一天不同时刻的影子如图所示，按时间的顺序排列，第一个序号是__________．
三、解答题
10．下图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．
(1)这个几何体的名称为______．
(2)求该几何体的左视图中的值．
投影与视图（提升测评）
一、单选题
1．如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长B．小明的影子和小强的影子一样长
C．小明的影子比小强的影子短D．无法判断谁的影子长
6．图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（ ）
A．B．C．D．
7．由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18B．19C．20D．21
8．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．9B．10C．12D．15
二、填空题
9．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体至少有_______个小正方体组成，至多又是______个．
三、解答题
10．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；
(2)求路灯灯泡的垂直高度；
(3)如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 ．（直接用的代数式表示）
几何体
主视图
左视图
俯视图
圆柱
长方形
长方形
圆
圆锥
三角形
三角形
圆和圆心
球
圆
圆
圆
专题28 投影与视图
【专题目录】
技巧1：平行投影、中心投影、正投影间的关系
技巧2：投影规律在实际问题中的应用
技巧3：三视图与实物的互相转化
技巧4：根据物体的三视图计算其表面积和体积
【题型】一、与平行投影有关的计算
【题型】二、与中心投影有关的计算
【题型】三、确定正投影的图像
【题型】四、判断几何体的三视图
【题型】五、画三视图
【题型】六、由三视图还原原图形
【题型】七、与三视图有关的计算问题
【考纲要求】
1.了解平行投影和中心投影的含义及其简单的应用．
2.会判断简单物体的三视图．
3.能根据三视图描述基本几何体或实物原型，掌握简单几何体表面展开图与折叠.
【考点总结】一、由立体图形到视图
1．视图：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．
2．常见几何体的三种视图：
3．三视图的画法：
(1)长对正；(2)高平齐；(3)宽相等．
【考点总结】二、由视图到立体图形
由视图想象实物图形时不像由实物到视图那样唯一确定，由一个视图往往可以想象出多种物体．
由视图描述实物时，需了解简单的、常见的、规则物体的视图，能区分类似的物体视图的联系与区别．如主视图是长方形，可想象出是四棱柱、三棱柱、圆柱等．俯视图是圆的可以是球、圆柱等．
【考点总结】三、物体的投影
1．平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
平行投影与视图之间的关系：当投影线与投影面垂直时，这种投影叫做正投影．物体的正投影称为物体的视图．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．
2．中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．
【技巧归纳】
技巧1：平行投影、中心投影、正投影间的关系
类型一：利用平行投影与中心投影的定义判断投影
1．如图，下列判断正确的是( )
(第1题)
A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子
B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子
C．图①和图②都是在阳光下的影子
D．图①和图②都是在灯光下的影子
2．如图，下面是北半球一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是( )
(第2题)
A．③④②① B．②④③①
C．③④①② D．③①②④
类型二：利用平行投影与中心投影的特征作图
3．如图，两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子．(用线段表示)
(第3题)
4．如图①②分别是两棵树及其影子的情形．
(第4题)
(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
(2)你是用什么方法判断的？
(3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．
类型三：正投影的识别与画法
5．如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是( )
(第5题)

6．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝EF，如图所示．若正方体的面ABCD平行于投影面P，且垂直于投影面Q，画出这个物体在两个投影面上的正投影．
(第6题)
答案
1．B 点拨：图①中影子的方向不同，是在灯光下的影子；图②中影子的方向相同，且影长与树高成正比，是在阳光下的影子．
2．C
3．解：如图，过树和影子的顶端分别画两条光线AA1，BB1.观察可知，AA1∥BB1，故两棵树的影子是在太阳光下形成的．
过旗杆的顶端C画AA1(或BB1)的平行线CC1，交地面于点C1，连接旗杆底端O和点C1，则线段OC1即为同一时刻旗杆的影子．
点拨：根据物体和影子之间的关系可以判断是平行投影，然后根据平行投影的特征即可完成题中的要求．
(第3题)
4．解：(1)题图②反映了阳光下的情形，题图①反映了路灯下的情形．
(2)题图①中过影子顶端与树顶端的直线相交于一点，符合中心投影的特点，因此题图①反映了路灯下的情形；题图②中过影子顶端与树顶端的直线平行，符合平行投影的特点，因此题图②反映了阳光下的情形．
(第4题)
(3)路灯下小丽的影子如图①所示，表示影子的线段为AB；阳光下小丽的影子如图②所示，表示影子的线段为CD.
误区诊断：平行投影和中心投影对应的光线是不同的，形成平行投影的光源发出的光线是平行光线，而形成中心投影的光源发出的光线交于一点；同一时刻，平行投影下的影子的方向总是在同一方向，而中心投影下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向．
5．C 点拨：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，故选C.
6．解：画出的正投影如图所示．这个物体在投影面P上的正投影是正方形A1B1C1D1及线段E1F1；在投影面Q上的正投影是正方形C2D2G2H2.
点拨：当物体的某个面(或某条边)与投影面平行时，这个面(或这条边)的正投影和这个面(或这条边)相同；当物体的某个面(或某条边)与投影面垂直时，这个面(或这条边)的正投影是一条线段(或一个点)．
(第6题)
技巧2：投影规律在实际问题中的应用
角度一：平行投影的实际应用
eq \a\vs4\al(类型1) 投影线不受限时的测量
1．甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80 cm的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图③，测得校园景灯(灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计)的灯罩部分影长HQ为90 cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长为50 cm，未被照射到的部分KP长为32 cm.
(第1题)
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．
(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：
①求灯罩底面半径MK的长；
②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．
eq \a\vs4\al(类型2) 投影线在特定条件时的测量
2．如图，有甲、乙两幢办公楼，两幢楼都为10层，由地面向上依次为1层至10层，每层的高度均为3 m，两楼之间的距离为30 m．为了了解太阳光与水平线的夹角为30°时，甲楼对乙楼采光的影响情况，请你求出甲楼楼顶B的影子E落在乙楼的第几层．
(第2题)
角度二：中心投影的实际应用
3．如图，一位同学身高1.6 m，晚上站在路灯下A处，他在地面上的影长AB是2 m，当他沿着影长的方向移动2 m站在B处时，影长增加了0.5 m，求路灯的高度．
(第3题)
答案
1．解：(1)根据平行投影的性质，得Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(DE,DF)，即eq \f(80,60)＝eq \f(DE,900).
解得DE＝1 200(cm)＝12 m．即学校旗杆的高度为12 m.
(2)①根据题意可知，
Rt△GPH∽Rt△KPM∽Rt△ABC，
∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(GP,GH)＝eq \f(KP,MK)，即eq \f(80,60)＝eq \f(50,GH)＝eq \f(32,MK).
解得GH＝37.5(cm)，MK＝24(cm)．
即灯罩底面半径MK的长为24 cm.
②∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠MPK＝∠NLK′，,∠MKP＝∠NK′L＝90°，,MK＝NK′，))
∴Rt△KPM≌Rt△K′LN.
∴LK′＝KP＝32 cm.
易知Rt△ABC∽Rt△GLQ，∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(LG,GQ)，
即eq \f(80,60)＝eq \f(32＋32＋50＋KK′,37.5＋90).
解得KK′＝56 cm.
∴从正面看灯罩得到的图形面积为24×2×56＝2 688(cm2)，
从上面看灯罩得到的图形面积为π×242＝576π(cm2)．
2．解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，则∠BEF＝30°，设EC＝h m.
在Rt△BFE中，EF＝AC＝30 m，AB＝10×3＝30(m)，
所以BF＝AB－AF＝AB－EC＝(30－h)m.
因为∠BEF＝30°，所以BE＝(60－2h)m.
由勾股定理得，BF2＋EF2＝BE2，
所以(30－h)2＋302＝(60－2h)2.
解得h≈12.68.(h≈47.32不合题意，舍去)
因为4＜eq \f(12.68,3)＜5，
所以甲楼楼顶B的影子E落在乙楼的第五层．
方法点拨：这道题是平行投影在实际生活中的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
3．解：设路灯高为x m.
由题意知，当人在A点时，影长AB＝2 m；当人在B点时，影长BC＝(2＋0.5)m.
易知eq \f(x,1.6)＝eq \f(OC,BC)，eq \f(x,1.6)＝eq \f(OB,AB)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,1.6)＝\f(OC,2＋0.5)，,\f(x,1.6)＝\f(OC－2.5,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,OC＝12.5.))
即路灯的高度为8 m.
技巧3：三视图与实物的互相转化
角度一：判断物体的三视图
1．下列几何体，主视图和俯视图都为矩形的是( )
2．【中考·丽水】由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是( )
(第2题)

角度二：画物体的三视图
3．观察如图所示的几何体，画出它的三视图．
(第3题)
角度三：已知三视图想象物体的形状
4．【中考·河北】如图所示的三视图所对应的几何体是( )
(第4题)

5．请根据如图所示物体的三视图画出该物体．
(第5题)
角度四：由三视图确定小正方体的个数
6．已知由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，那么组成该几何体的小正方体有( )
(第6题)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示．这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
(第7题)
答案
1．D 点拨：A中圆柱的主视图为矩形，俯视图为圆；B中圆锥的主视图为三角形，俯视图为带圆心的圆；C中三棱柱的主视图为矩形且中间有一条竖直的虚线，俯视图为三角形；D中长方体的主视图和俯视图都为矩形．故选D.
2．A
3．解：如图所示．
(第3题)
方法点拨：画三视图时，要根据几何体合理想象，看得见的轮廓线用实线画，看不见的轮廓线用虚线画．
(第5题)
4．B
5．解：如图所示．
技巧点拨：该物体是一个长方体切去了右上角后剩余的部分，还原物体时，还要根据实线和虚线确定切去部分的位置．
6．C
7．解：这样的几何体不是只有一种，最少需要10个小立方块，最多需要16个小立方块．
技巧4：根据物体的三视图计算其表面积和体积
类型一：利用三视图求几何体的表面积
1．如图是一个几何体的三视图．
(1)写出此几何体的名称；
(2)求此几何体的表面积S.
(第1题)
2．(1)图①是一个组合体，图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组合体的表面积．(π取3.14)
(第2题)
类型二：利用三视图求几何体的体积
3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图(如图)的尺寸计算其体积．(球的体积公式：V＝eq \f(4,3)πr3，其中r为球的半径)
(第3题)
4．如图是某工厂设计生产的某种手电筒的三视图，利用图中标出的数据求该手电筒的表面积和体积．
(第4题)
答案
1．解：(1)圆锥．
(2)由题图可知，圆锥高为8 cm，底面直径为12 cm，易求得母线长为10 cm.
∴S＝πr2＋πrl＝36π＋60π＝96π(cm2)．
2．解：(1)主；俯
(2)表面积＝2×(11×7＋11×2＋7×2)＋4×π×6≈301.36(cm2)．
点拨：(1)找到从正面和上面看所得到的图形即可得答案．(2)根据题目所给尺寸，计算出下面长方体的表面积＋上面圆柱的侧面积即可得解．
3．解：圆锥的高为：eq \r(132－52)＝12(cm)，
则不倒翁的体积为：eq \f(1,3)π×52×12＋eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×53＝100π＋eq \f(250π,3)＝eq \f(550π,3)(cm3)．
4．解：先求圆台的表面积和体积．
(第4题)
构造如图所示的三角形，OA＝OB，CD∥AB，AB＝6 cm，CD＝4 cm，EF＝CG＝5 cm，则梯形ABDC可表示圆台的主视图．
∴AE＝eq \f(1,2)AB＝3 cm，EG＝eq \f(1,2)CD＝2 cm，
∴AG＝AE－EG＝3－2＝1(cm)．
在Rt△ACG中，AC＝eq \r(CG2＋AG2)＝eq \r(52＋12)＝eq \r(26)(cm)．
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB.
∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(OF,OE)＝eq \f(OF,OF＋EF)，
即eq \f(4,6)＝eq \f(OF,OF＋5).解得OF＝10 cm.
∴OE＝OF＋EF＝10＋5＝15(cm)．
由eq \f(OC,AC)＝eq \f(OF,EF)＝eq \f(2,1)，得OC＝2AC＝2eq \r(26)cm.
∴OA＝3eq \r(26) cm.
∴手电筒圆台部分的表面积为S1＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))eq \s\up12(2)＋(π×eq \f(6,2)×3eq \r(26)－π×eq \f(4,2)×2eq \r(26))＝(9＋5eq \r(26))π(cm2)，
圆台的体积为V1＝eq \f(1,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))eq \s\up12(2)×15－eq \f(1,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))eq \s\up12(2)×10＝eq \f(95,3)π(cm3)．
又∵手电筒圆柱部分的表面积为S2＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))eq \s\up12(2)＋π×4×12＝52π(cm2)，
圆柱的体积为V2＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))eq \s\up12(2)×12＝48π(cm3)，
∴该手电筒的表面积S＝S1＋S2＝(9＋5eq \r(26))π＋52π＝(61＋5eq \r(26))π(cm2)，
该手电筒的体积V＝V1＋V2＝eq \f(95,3)π＋48π＝eq \f(239,3)π(cm3)．
【题型讲解】
【题型】一、与平行投影有关的计算
例1、和是直立在水平地面上的两根立柱，米，某一时刻测得在阳光下的投影米，同时，测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【提示】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m
∴，
∴，
∴DE=（m）
故选：B．
【题型】二、与中心投影有关的计算
例2、如图，位似图形由三角板与其在灯光照射下的中心投影组成，已知灯到三角板的距离与灯到墙的距离的比为，且三角板的一边长为，则投影三角形的对应边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】根据位似图形的性质得出相似比为2：5，则对应边的比为2：5，即可得出投影三角形的对应边长．
【详解】由于三角板与其在灯光照射下的投影是位似图形，且相似比为，三角板的一边长为，所以投影三角形的对应边长为.
故选A.
例3、如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3B．5C．6D．7
【答案】C
【提示】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即
∴A′B′＝6，
故选：C．
【题型】三、确定正投影的图像
例3、把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．
把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．
例4、如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】根据正投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解．
【详解】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．故选C．
【题型】四、判断几何体的三视图
例4、如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】A
【提示】首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可得答案．
【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，
所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A正确，
该圆锥的主视图是中心对称图形，故B错误，
该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C错误，
该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D错误，
故选A．
例5、下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是（ ）

A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．正方体
【答案】D
【提示】分别得出圆锥体、圆柱体、三棱柱、正方体的三视图的形状，再判断即可．
【详解】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；
圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；
三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；
正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；
故选：D．
【题型】五、画三视图
例6、如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）
A．仅主视图不同B．仅俯视图不同
C．仅左视图不同D．主视图、左视图和俯视图都相同
【答案】D
【提示】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案．
【详解】第一个几何体的三视图如图所示：
第二个几何体的三视图如图所示：
观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同，
故选D．
例7、下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【提示】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】
解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故A错误；
B、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故B错误；
C、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C错误；
D、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故D正确；
故选D．
【题型】六、由三视图还原原图形
例8、已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】本题可利用排除法解答.从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除A，C，D.
【详解】从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除A选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故C、D选项不符合题意，
故选B．
例9、如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【提示】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项．
【详解】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．
故选：B．
【题型】七、与三视图有关的计算问题
例10、如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2
【答案】B
【提示】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【详解】
解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．
故选：B．
例11、如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（ ）
A．20πB．18πC．16πD．14π
【答案】B
【提示】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可．
【详解】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为，
∴这个几何体的表面积
=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积
=22π+222π+32π=18π，
故选：B．
投影与视图（达标训练）
一、单选题
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【详解】由图可知，该几何体左视图为完整长方形，右侧有突出正方形．
故选：B
【点睛】本题考查了简单立体图形的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
3．下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ）
A．④③②①B．③④①②C．②④③①D．①②③④
【答案】D
【分析】太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断．
【详解】解：按时间先后顺序排列为①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
4．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形等长．
∴左视图是：
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图是解本题的关键．
5．如图是一种“工”型液压机的配件，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．
【详解】解：从物体左面看，是一个长方形，长方形的内部有两条横向的实线．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有看到的棱都应表现在三视图中．
6．四个几何体中，左视图不是四边形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据从左边看到的图形进行判断即可．
【详解】解：∵左视图是从左边看到的图形，圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，
∴左视图不是四边形的几何体是圆锥和球共2个．
故选B．
【点睛】此题考查了左视图，熟练掌握左视图的定义是解题的关键．
7．下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据几何体的三视图的定义以及性质进行判断即可．
【详解】解：根据几何体的左视图的定义以及性质得，
这个几何体的左视图为：
故选：D
【点睛】本题考查了几何体的三视图；掌握几何体三视图的性质是解题的关键．
8．如图所示几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据主视图的定义即可得出答案．
【详解】从正面看，共有两行，第一行有一个小正方形，第二行有三个小正方形，在下方，只有选项A符合
故选：A．
【点睛】本题考查的是三视图，比较简单，解题的关键是熟练掌握三视图的画法．
二、填空题
9．校园内一棵松树在一天不同时刻的影子如图所示，按时间的顺序排列，第一个序号是__________．
【答案】②
【分析】根据影子的方向，可以判断出太阳光的方向，再根据太阳东升西落，判断出太阳所在的方向，进而得出时间.
【详解】解：图①根据影子的方向即可求出太阳光在南西靠近南的方向上，图②根据影子可以判断太阳光在东侧，图③根据影子的方向可以判断太阳光在在西南方向靠近西的方向上，图④根据影子可以判断东南方向靠近东的方向上.
按照时间顺序应为：②④①③
∴第一个序号应该是②
故答案为：②.
【点睛】本题考查的是根据树的影子判断时间，理解方位角的概念是解题的关键.
三、解答题
10．下图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．
(1)这个几何体的名称为______．
(2)求该几何体的左视图中的值．
【答案】(1)正三棱柱
(2)
【分析】（1）根据俯视图为正三角形和棱柱的概念解答即可；
（2）由条件可知所求的的值是等边三角形的高，据此求解即可．
【详解】（1）这个几何体的名称为正三棱柱；
故答案为正三棱柱．
（2）如图，过点作于．
∵是正三角形，
∴，
∴，
∴，
∴左视图中的值为．
【点睛】本题考查了几何体的三视图和等边三角形的相关知识，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．
投影与视图（提升测评）
一、单选题
1．如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】首先根据组合体画出它的俯视图，再求俯视图的面积即可求得．
【详解】解：该组合体的俯视图为：
故该组合体的俯视图的面积为：
故选：B
【点睛】本题考查了组合体的俯视图，熟练掌握和运用画组合体的俯视图的方法是解决本题的关键．
2．如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：从上往下看，除了看到三条棱之外，还有两条隐藏的棱，
所以俯视图为，
故选：C．
【点睛】本题考查三视图，，俯视图指的是从上往下看到的图形，注意看得到的线用实线，看不到的线用虚线．
3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】从上面看,底层左边是一个小正方形，中层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，
如图所示：．
故选C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟练掌握从上面看得到的图形是俯视图．
4．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．
【详解】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了根据三视图求侧面积，掌握三视图以及圆锥的侧面积公式是解题的关键．
5．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长B．小明的影子和小强的影子一样长
C．小明的影子比小强的影子短D．无法判断谁的影子长
【答案】D
【分析】根据中心投影和平行投影的特点即可进行作答．
【详解】在同一时刻的阳光下，此时属于平行投影，小明的影子比小强的影子长，
∴小明的身高比小强高，
在同一路灯下,此时属于中心投影，影子的长度不仅与二人的身高相关，还有他们所处的位置相关，
两人由于离路灯的远近不同，影子的长度也就不同，
∴无法判断谁的影子长，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的知识．熟知离路灯的距离不同，影子的长度就不同是解本题的关键．
6．图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴俯视图的长为 ，宽为，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
7．由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18B．19C．20D．21
【答案】D
【分析】结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可.
【详解】解：由俯视图可知最少有8个小正方体，
∵有主视图可知最左边最多有3个小正方体，中间最多有个小正方体，最右边最多有个小正方体，
∴n的最大值为6+6+9=21.
故选：D
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相等”来确定其立体图形.
8．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．9B．10C．12D．15
【答案】C
【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为33的正方形，所以最底下一层必须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为33的正方形，为保证主视图与左视图也为33的正方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数.
【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为33的正方形，
则最多能拿掉小立方块的个数为6 +6 = 12个，
故选：C.
【点睛】此题考查简单组合体的三视图，空间想象能力，能依据立体图形想象出拿掉小立方块后的三视图是解题的关键.
二、填空题
9．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体至少有_______个小正方体组成，至多又是______个．
【答案】 9 11
【分析】对俯视图各位置标号，如图，观察俯视图，可知几何体类似九宫格，a位置对应主视图中最右列，只能是3个正方体；b，c位置对应主视图中间列，只能是1个正方体。俯视图中的d，e，f位置不确定，三个位置中至少有一个是2个小正方体，其他位置为1到2个，即可求解．
【详解】解：对俯视图各位置标号，
观察俯视图，可知几何体类似九宫格，a位置对应主视图中最右列，只能是3个正方体；b，c位置对应主视图中间列，只能是1个正方体，俯视图中的d，e，f位置不确定，三个位置中至少有一个是2个小正方体，其他位置为1到2个。
所以至少为9个，至多为11个.
故答案为：9；11．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握由三视图还原几何体是解题的关键．
三、解答题
10．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；
(2)求路灯灯泡的垂直高度；
(3)如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 ．（直接用的代数式表示）
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；
（2）要求垂直高度可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中，由它们对应成比例可以求出；
（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．
【详解】（1）解：如图
（2），，
，
，
，
，，
，
m．
（3）同理，
，
设长为，则，
解得：，即．
同理，
解得，
，
可得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．
几何体
主视图
左视图
俯视图
圆柱
长方形
长方形
圆
圆锥
三角形
三角形
圆和圆心
球
圆
圆
圆