辽宁省沈阳铁西区2025年九年级数学中考二模试卷解析版)

这是一份辽宁省沈阳铁西区2025年九年级数学中考二模试卷解析版)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．计算：的结果是（ ）
A．7B．C．3D．
【答案】B
【分析】本题考查有理数的加法，根据有理数的加法法则进行解题即可．
【详解】解：．
故选：B．
2．如图所示的5个相同的小立方块搭成的几何体的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看，是由上下两个正方形组成．
故选：A．
3．在2025年五一假期期间，辽宁省文化和旅游厅推出“沐春寻芳 悠游辽宁”2025春游辽宁消费季活动．据大数据测算，5天假期，辽宁省累计接待游客超33000000人次，将数据“33000000”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘、除法法则计算，逐项判断即可．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B. ，故该选项不符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项符合题意；
故选：D．
5．如图，对我国国旗中一颗五角星的对称性表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
【答案】A
【分析】根据定义判断即可：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；
【详解】解：∵五角星沿垂直方向折叠可以重合，
∴是轴对称图形；
∵五角星旋转180°不能跟原图形重合，
∴不是中心对称图形；
故选： A．
【点睛】本题考查了轴对称和中心对称的定义；掌握定义是解题关键．
6．在2，5，7三个数中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：根据题意画树状图，如图所示：
一共有6种等可能的情况，其中和为偶数的有2种情况，
∴随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是．
故选：B
7．如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义．利用平行四边形的性质得出，，进而得出，，再利用角平分线的性质得出，进而得出，即可得出的长，再利用平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【详解】解：在平行四边形中，
∴，，
，，
的角平分线交于点，，
，
∴，
，
∵，
∴．
故选：C．
8．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
9．如图，菱形的对角线交于点，，，则菱形的高为（ ）
A．B．6C．D．8
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等于底边乘以高，也等于列式计算即可得解．
【详解】解：∵为菱形，
∴，，，
在，，，
根据勾股定理，，
设菱形的高为h，
则菱形的面积，
即，
解得，
即菱形的高为，
故选：A．
10．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数解析式，连接，过点作于点，可得是等边三角形，即得，进而求出点的坐标即可求解，正确作出辅助线是解题的关键
【详解】解：连接，过点作于点，则，
∵是正六边形，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∴，
故选：．
二、填空题
11．使分式有意义的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵分式有意义，
，
，
故答案为：．
12．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是旋转的性质，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，灵活运用以上知识解题是关键．根据题意画出示意图，结合旋转的性质及全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图：则，
∵，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得得点在第三象限，
∴，
故答案为：．
13．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接，若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．先确定正方形的性质，然后计算对角线长度，进而即可计算线段的长度．
【详解】解：四边形是正方形，
，且，
，
，
点是的中点，
，
．
故答案为：．
14．关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，一元二次方程次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意令，则，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，
令，则，
，
，
，
故答案为：．
15．如图，等边三角形中，，平分，平分，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交边于点，连接并延长，交边于点，则线段的长为 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，平行线的性质与判定等等，由等边三角形的性质得到，，再由角平分线的定义可得，，由作图方法可知，垂直平分，则，则由等边对等角可证明得到，据此可证明，得到；再证明是等边三角形，得到，则可证明，进而得到，根据，可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：10．
三、解答题
16．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘法、乘方、零指数幂、求算术平方根，再计算加减即可；
（2）先计算括号内的异分母分式的减法，再计算乘法即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
17．某工厂要招聘A、B两个工种的工人150人，A、B两个工种的工人的月工资分别为1500元和3000元．现要求B工种的人数不少于A工种人数的2 倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？
【答案】50人
【详解】分析：设招聘A种工人x人，则招聘B种工人(150－x)人，招聘两种工人的总工资y=450000-1500x ，根据题目中的不等关系可得150－x≥2x，
解得：x≤50，根据一次函数的性质即可确定x=50时，y最小.
本题解析：设招聘A种工人x人，则招聘B种工人(150－x)人，y为工人的总工资.
∴招聘两种工人的总工资y=1500x+3000(150-x) =450000-1500x (x≤50 )
根据题意得：150－x≥2x，
解得：x≤50，
∵招聘两种工人的总工资y随x的增大而减小，
∴x=50时，y最小，
答：招聘A种工人50人时，每月所付工资最少．
故答案为50人.
18．某校本学期开展了“人工智能进校园”系列活动，为学生提供人工智能体验、学习、探究、实践的空间．为了解活动效果，该校组织学生参加了人工智能应用知识竞赛，将学生的百分制成绩（分）按“”记为级，“”记为级，“”记为级，“”记为级，“”记为级，共五个等级记录．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了2个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求第1小组得分等级条形统计图中，等级的学生有多少人？
(2)求第2小组得分等级扇形统计图中，等级所在扇形的圆心角的度数；
(3)已知该校参加此次知识竞赛的学生有2400人，请根据题目中的信息估计成绩为E等级的学生有多少人？
【答案】(1)第1小组等级的学生有人
(2)第2小组等级所在扇形的圆心角为
(3)估计成绩为等级的学生约有1080人
【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图和折线统计图即样本估计总体．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）用第1小组抽取总人数减去四个等级中的人数即可解答；
（2）先求出2组中等级的百分比，再用乘以等级的百分比即可解答；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：（人）
答：第1小组等级的学生有人；
（2）解：
答：第2小组等级所在扇形的圆心角为；
（3）解：（人）
答：估计成绩为E等级的学生有人．
19．某校积极开展劳动教育，两次购买锄头和铁锹，购买记录如下表：
(1)求锄头和铁锹的单价；
(2)若该校再次计划购买锄头和铁锹共60把，锄头和铁锹的单价不变，其中锄头计划购买把，购买这60把锄头和铁锹共需要元，求与的函数表达式．
【答案】(1)锄头单价为20元，铁锹单价为30元
(2)
【分析】设锄头单价是a元，铁锹的单价是b元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设锄头计划购买把，则购进铁锹把，根据题意，得，，解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，列出代数式．
【详解】（1）解：设锄头单价是a元，铁锹的单价是b元，
由题意得：，
解得：，
答：锄头单价是20元，铁锹的单价是30元．
（2）解：设锄头计划购买把，则购进铁锹把，根据题意，得，，
整理得．
20．如图，一艘轮船航行到海上点处时，观察到岸边灯塔在南偏西方向的海里处，岸边另一座灯塔在北偏西70度方向，且直线与直线的夹角，求两座灯塔，之间的距离．（精确到1海里，参考数据：）
【答案】两座灯塔，之间离约为71海里
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．过点作于点H，根据题意求出，分别解直角三角形，求出，即可解答．
【详解】解：过点作于点H，
∵，，
∴，
∴，
在中，海里，
∴海里，海里，
在中，海里，
∴海里，
答：两座灯塔，之间的距离约为71海里．
21．如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分，
(1)求证：是的切线；
(2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，角平分线的定义和等边对等角，熟知圆的相关知识是解题的关键。
（1）连接，由角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，得到，据此可证明结论；
（2）求出，根据题意可得扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，再根据列式计算即可。
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的半切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
由题意得，扇形和扇形的半径相同，且，
∴扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，
∴。
22．【初步探究】
（1）如图1，中，，点是边上一点，连接，当时，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【变式应用】
（2）如图2，在中，，点是边的中点，过点作的平行线与射线交于点，点在线段上，，点在的延长线上，若，，
①求的长；
②求的度数；
【拓展创新】
（3）如图3，在中，是钝角，过点作交边于点，点为线段的中点，连接，，当，时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）； （2）①； ②；（3）
【分析】（1）证明，得成比例线段即可得到；
（2）①证明，即可得； ②根据，得，根据，，得，
，证明，进而可求得，，根据勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形，证明；
（3）作，交的延长线于点，证明，得，设，则，，，由勾股定理得，，进而可得，，证明，得，将已求相关线段的长度代入比例式得方程求解即可．
【详解】解：（1）；
理由：，，
，
，
；
（2）①在中，，点是边的中点，
，，
，
，
，
，
；
②，
，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
解得（负值已舍去），
，
，
是直角三角形，
；
（3）作，交的延长线于点，
，
，
，
，
点为线段的中点，
设，则，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
即，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理及其逆定理，熟知相关性质是正确解答此题的关键．
23．定义：如果两条抛物线与轴都有两个交点，且这两个交点位置相同，那么这两条抛物线称为“同根抛物线”，如果两条同根抛物线的开口方向相同，那么这两条抛物线称为“同向同根抛物线”，如果两条同根抛物线的开口方向相反，那么这两条抛物线称为“异向同根抛物线”．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线都与轴交于点和点，且开口方向都是向上，则称抛物线与抛物线是“同向同根抛物线”．
(1)在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（是常数）是“同向同根抛物线”，求的值；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（是常数）是“同向同根抛物线”，与轴交于点和点，点在抛物线上，射线与抛物线在第一象限交于点，，当时，求的值；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（是常数）是“异向同根抛物线”，与轴交于点和点，点是抛物线的顶点，连接，作交抛物线于点，点的纵坐标是，点是抛物线的顶点，点与点不重合，连接，当时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出抛物线与轴的交点，再根据“同向同根抛物线”的定义代入交点的坐标到，即可求解；
（2）作轴于点，作轴于点，由（1）得，抛物线与轴的交点为和，得出，由推出是等腰直角三角形，设，则，代入到求出的值，结合求出点的坐标，再代入即可求解；
（3）作轴于点，设与轴交于点，利用二次函数的性质求出顶点和的坐标，得出，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用一次函数和平行线的性质，求出直线的解析式为，然后与抛物线联立解出点的坐标，通过证明，得到，代入数据解出的值，再根据“异向同根抛物线”的定义即可求解．
【详解】（1）解：当时，则，
解得：，，
抛物线与轴的交点为和，
抛物线与抛物线是“同向同根抛物线”，
抛物线与轴的交点为和，
代入和得，，
解得：；
的值为．
（2）解：如图2，作轴于点，作轴于点，
由（1）得，抛物线与轴的交点为和，
，，
，，
是等腰直角三角形，，
设，则，
点在抛物线上，
，
解得：，（舍去），
，
，
，
，
，
同理可得，是等腰直角三角形，
，
，
代入到，得，
解得：，
的值为．
（3）解：如图3，作轴于点，设与轴交于点，
由（2）得，，
，
顶点的坐标为，
，
顶点的坐标为，
与轴交于点，
，
，，
设直线的解析式为，
代入和得，，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
解得：，，
抛物线与抛物线是“异向同根抛物线”，
，
，
点的纵坐标是，
．
的值为．
锄头（把）
铁锹（把）
合计金额（元）
第一次
20
25
1150
第二次
10
20
800