专题16.5 期末复习之选择压轴题十三大题型总结-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）(原卷版+解析版)

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\l "_Tc29060" 【题型1 实数的运算】 PAGEREF _Tc29060 \h 1
\l "_Tc20252" 【题型2 利用整式的乘法求值】 PAGEREF _Tc20252 \h 2
\l "_Tc30876" 【题型3 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc30876 \h 2
\l "_Tc22513" 【题型4 格点中的全等三角形】 PAGEREF _Tc22513 \h 3
\l "_Tc32355" 【题型5 利用全等三角形的判定与性质求角度】 PAGEREF _Tc32355 \h 4
\l "_Tc30189" 【题型6 利用全等三角形的判定与性质求线段长度】 PAGEREF _Tc30189 \h 5
\l "_Tc26145" 【题型7 利用全等三角形的判定与性质求面积】 PAGEREF _Tc26145 \h 6
\l "_Tc2750" 【题型8 线段长度最值问题】 PAGEREF _Tc2750 \h 7
\l "_Tc4142" 【题型9 使组成等腰三角形的点的个数】 PAGEREF _Tc4142 \h 8
\l "_Tc27957" 【题型10 勾股定理】 PAGEREF _Tc27957 \h 10
\l "_Tc30857" 【题型11 勾股定理的逆定理】 PAGEREF _Tc30857 \h 11
\l "_Tc28676" 【题型12 勾股定理的简单应用】 PAGEREF _Tc28676 \h 12
\l "_Tc31520" 【题型13 多结论问题】 PAGEREF _Tc31520 \h 13
【题型1 实数的运算】
【例1】（2024·河北邯郸·八年级期末）若整数x满足5+19≤x≤45+2，则x的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【变式1-1】（2024·浙江杭州·八年级期末）设S1=1+112+122，S2=1+122+132，S3=1+132+142，…，Sn=1+1n2+1(n+1)2，则S1+S2+S3+…+S24的值为（ ）
A．2425B．245C．242425D．232324
【变式1-2】（23-24八年级·河南周口·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，则 12ab+c+d5+e2+3f的值是（ ）
A．92+2B．132−2C．92D．132
【变式1-3】（23-24八年级·福建莆田·期中）设x表示不大于x的最大整数，则 1×2+2×3+3×4+⋯+100×101的值为（ ）
A．5 151B．5150C．5050D．5049
【题型2 利用整式的乘法求值】
【例2】（23-24八年级·福建莆田·期末）观察下列等式：已知：a2−b2＝（a﹣b）（a+b）；a3−b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；a4−b4＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）；a5−b5＝（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）……小明发现其中蕴含着一定的运算规律，并利用这个运算规律求出了式子“29−28+27−26+...+2−1”的值，这个值为（ ）
A．29+13B．29+1C．210−1D．210−13
【变式2-1】（23-24八年级·湖北·周测）若2x4−3x3+ax2+7x+b能被x2+x−2整除，则a:b的值是（ ）
A．−2B．−12C．6D．4
【变式2-2】（23-24八年级·山东济南·期末）设 a=x−2022，b=x−2024，c=x−2023．若a2+b2=16，则c2的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【变式2-3】（23-24八年级·浙江·自主招生）若实数x，y，z满足x+y+z=6,xyz+1=2xy+yz+zx,x−33+y−33+z−33=3，求xyz=（ ）
A．5B．10C．15D．20
【题型3 因式分解的应用】
【例3】（2024八年级·全国·专题练习）已知正数a，b满足a3b+ab3−2a2b+2ab2=7ab−8，则a2−b2=（ ）
A．1B．3C．5D．不能确定
【变式3-1】（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知a2(b+c)=b2(a+c)=2022，且a≠b，则 -abc的值为（ ）
A．2022B．-2022C．4044D．-4044
【变式3-2】（23-24八年级·四川内江·期中）若a=2019x+2020,b=2019x+2021,c=2019x+2022，则代数式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式3-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，ΔABC中，AB=a,BC=2a,∠B=90∘，将ΔABC沿BC方向平移b个单位得ΔDEF（其中A,B,C的对应点分别是D,E,F），设DE交AC于点G，若ΔADG的面积比ΔCEG的大8，则代数式a(a−b)的值为（ ）

A．8B．−8C．16D．−16
【题型4 格点中的全等三角形】
【例4】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是（ ）
A．80°B．60°C．45°D．30°
【变式4-1】（23-24八年级·山西吕梁·期中）数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“8字图”，如图所示的图形，则∠A+∠C的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【变式4-2】（23-24八年级·福建南平·期末）如图，在5×5格的正方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（ ）

A．5个B．6个C．7个D．8个
【变式4-3】（23-24八年级·山西运城·阶段练习）在如图所示的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC全等（△ABC本身除外）的格点三角形最多可以画（ ）

A．5个B．9个C．10个D．15个
【题型5 利用全等三角形的判定与性质求角度】
【例5】（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．45°
【变式5-1】（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180°B．200°C．210°D．240°
【变式5-2】（23-24八年级·河北石家庄·期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'，∠B=∠B'=30∘，AB=A'B'，AC=A'C'，AD=A'D'，且AB>AC>AD．已知∠C=n∘，求∠C'的度数．”对于其答案，甲答：∠C'=n∘，乙答：∠C'=150∘，丙答：∠C'=180∘−n∘，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
【变式5-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若∠BAE=α，则∠EDF一定等于（ ）
A．2αB．45°−αC．45°+αD．90°−α
【题型6 利用全等三角形的判定与性质求线段长度】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO=4OD，则AOOC的值为（ ）
A．95B．53C．32D．43
【变式6-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝12∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式6-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )
A．3.6B．4C．4.8D．PB的长度随B点的运动而变化
【变式6-3】（23-24八年级·浙江湖州·期中）如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，AE=AC，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为64，AF=8．则FG的长是（ ）
A．8B．152C．203D．6
【题型7 利用全等三角形的判定与性质求面积】
【例7】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB=3，CE=CD，点A在DE上，若AE:AD=1:2，则Rt△ABC和Rt△DEC重叠部分的面积为（ ）

A．32B．94C．3D．72
【变式7-1】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于点P，若△BPC的面积为4cm2，则△ABC的面积（ ）
A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm2
【变式7-2】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）如图，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，AD⊥DC，AC−AB=2，BC=8，则△BDC面积的最大值为（ ）

A．6B．8C．3D．4
【变式7-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，连接BE，AB=6，AC=8，BC=10，则△ABE的面积是（ ）
A．95B．2C．125D．245
【题型8 线段长度最值问题】
【例8】（2024·江苏·一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=3，BC=4，AB=5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
【变式8-1】（23-24八年级·浙江台州·期中）如图所示，∠AOB=60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP=4，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式8-2】（23-24八年级·安徽马鞍山·期末）如图，已知Rt△ABC，AB=AC，D为平面内一动点，BD=AC，E为BD上一点，BE=2DE，AB上两点F，G，BF=FG=GA．下面能表示CD+AE最小值的线段是（ ）
A．线段CAB．线段CGC．线段CFD．线段CB
【变式8-3】（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB=AC=10，AD=8，BC=12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（ ）
A．10B．12.8C．12D．9.6
【题型9 使组成等腰三角形的点的个数】
【例9】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则点B的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式9-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．点P为直线BC上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．9个
【变式9-2】（23-24八年级·北京东城·期末）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有 （ ）
A．1个B．3个C．5个D．无数多个
【变式9-3】（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC≠AC，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【题型10 勾股定理】
【例10】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，△ABC的角平分线AF,BE相交于点P，若AB=AC=13,BC=10，则APPF的值为（ ）
A．135B．125C．52D．2
【变式10-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC=a,BD=b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD=56BD．连接AF,DE，当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ）
A．a=43bB．a=65bC．a=53bD．a=2b
【变式10-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（ ）
A．75B．32C．53D．145
【变式10-3】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD:OE:OF=1:4:4，则AO的长度为（ ）

A．7B．5C．16017D．8017
【题型11 勾股定理的逆定理】
【例11】（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
【变式11-1】（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图已知△ABC中，AB=5cm，BC=26cm，BC边上的中线AD=12cm，则△ABC的面积为（ ）cm2．
A．30B．130C．60D．120
【变式11-2】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°成△ABC1，则CC1的长等于（ ）

A．125B．512C．56D．245
【变式11-3】（2024八年级·浙江杭州·专题练习）如图，已知在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为（ ）
A．14B．15C．16D．352
【题型12 勾股定理的简单应用】
【例12】（23-24八年级·全国·课后作业）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（ ）
A．1400元B．1500元C．1600元D．1700元
【变式12-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米
A．22B．23C．5D．26
【变式12-2】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知圆柱的底面直径BC=6π，高AB=3，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（ ）
A．18B．48C．120D．72
【变式12-3】（23-24八年级·广东梅州·期中）如题图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高为12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A．13cmB．241cmC．193cmD．19cm
【题型13 多结论问题】
【例13】（23-24八年级·江西宜春·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=150°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF=75°，EF=3，下列结论中：①△ADF≌△ABE；②EA平分∠FEB；③EF平分∠AEC；④若四边形ABCD的周长是15，且△EAF的面积为3，则四边形ABCD的面积等于11．上述结论中一定正确的有（ ）
A．①②④B．②③C．②④D．③④
【变式13-1】（23-24八年级·四川成都·期中）如果代数式A=a1x+b1y+c1（a1,b1,c1均为非0常数），B=a2x+b2y+c2（a2,b2,c2均为非0常数），且满足a1+a2=0,b1+b2=0,c1+c2=0，则称这两个代数式A与B互为“相反式”，对于上述“相反式”A与B，下列结论正确的有（ ）个．
①若A=−2x+23ay−2023,B=bx+by+2023，则(a+b)2023=−1；
②若p,q(p≠q)为常数，pA+qB=p−q，则A的值为1；
③若关于x，y的代数式2(A−B)+kA⋅B（k为正整数）不含一次项，则c1的最大值为2；
④若关于x、y的两个方程A=kc1,B=tc2（k、t均为常数）有相同的解，则k+t=0．
A．1B．2C．3D．4
【变式13-2】（2024·重庆江津·三模）对x、y定义一种新运算T，规定：T(x,y)=axy+bx−4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T(0,1)=a×0×1+b×0−4=−4，若T(3,1)=11，T(−1,3)=−13，则下列结论正确的有（ ）
① a=2，b=3；
②若T(m,n)=0(n≠−32)，则m=42n+3；
③若T(m,n)=0，则m、n有且仅有2组整数解；
④若无论k取何值时，T(kx,y)的值均不变，则y=−32；
⑤若T(kx,y)=T(ky,x)对任意有理数x、y都成立，则k=0．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式13-3】（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，点F在边AC上运动，作FG ⊥AE，交AD于点G，交AE于点H，连接HD，DF，若此时满足HD=HF，DF⊥AC．有以下结论：①∠AGH=∠CAE+∠C；②HF=HE；③∠DHG=2∠HAF；④S△AHF=S△AHD+S△FHD．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4