专题14.3 勾股定理的应用【十二大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）(原卷版+解析版)

这是一份专题14.3 勾股定理的应用【十二大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）(原卷版+解析版)，文件包含专题143勾股定理的应用十二大题型举一反三华东师大版原卷版docx、专题143勾股定理的应用十二大题型举一反三华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc5018" 【题型1 应用勾股定理解决梯子滑动问题】 PAGEREF _Tc5018 \h 1
\l "_Tc14262" 【题型2 应用勾股定理解决航海问题】 PAGEREF _Tc14262 \h 4
\l "_Tc23629" 【题型3 应用勾股定理解决超速问题】 PAGEREF _Tc23629 \h 8
\l "_Tc30260" 【题型4 应用勾股定理解决台风影响问题】 PAGEREF _Tc30260 \h 12
\l "_Tc8747" 【题型5 应用勾股定理解决杯中筷子问题】 PAGEREF _Tc8747 \h 17
\l "_Tc16182" 【题型6 应用勾股定理解决选址问题】 PAGEREF _Tc16182 \h 19
\l "_Tc7030" 【题型7 应用勾股定理解决旗杆高度问题】 PAGEREF _Tc7030 \h 23
\l "_Tc27139" 【题型8 应用勾股定理解决小鸟飞行问题】 PAGEREF _Tc27139 \h 26
\l "_Tc7201" 【题型9 应用勾股定理解决大树折断前高度问题】 PAGEREF _Tc7201 \h 29
\l "_Tc5480" 【题型10 应用勾股定理解决河宽问题】 PAGEREF _Tc5480 \h 33
\l "_Tc32739" 【题型11 应用勾股定理解决地毯长度问题】 PAGEREF _Tc32739 \h 35
\l "_Tc28141" 【题型12 应用勾股定理解决最短路径问题】 PAGEREF _Tc28141 \h 37
【题型1 应用勾股定理解决梯子滑动问题】
【例1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，学校高17.6m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2.6m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？
【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米
【分析】本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题．
过点D作DE⊥AB交AB于点E，在Rt△AED根据勾股定理求出ED的长，设DD′=xm，则D′E=20−xm，在Rt△CED′中根据勾股定理列方程求出x即可．
【详解】过点D作DE⊥AB交AB于点E，
由题意得AE=AB−BE=17.6−2.6=15m,CE=AB+AC−BE=17.6+5−2.6=20m，
在Rt△AED中ED2=AD2−AE2=252−152=400，
∴ED=20，
设DD′=xm，则D′E=20−xm，
在Rt△CED′中，
D′E2+CE2=CD′2，
∴(20−x)2+202=252，
解得x=5，
∴工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到AC的顶部点C处．
【变式1-1】（23-24八年级·陕西安康·期末）2023年8月18日，WRC世界机器人大会在北京亦庄召开．某科技公司展示了首款人形通用机器人H1．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人H1的跑步测试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着DB方向滑下，同时机器人H1从乐乐对面的A处向B处跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人H1的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度CD=3米，滑梯底部与机器人H1的出发点之间的距离AC=9米．请问，机器人H1跑步多少米与乐乐相遇？
【答案】5米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设机器人H1跑步x米与乐乐相遇，在Rt△BCD中，利用勾股定理构建关于x的方程求解即可．
【详解】解：设机器人H1跑步x米与乐乐相遇，则AB=x米，BC=9−x米，
∵机器人H1的跑步速度与乐乐的下滑速度相同，
∴DB=AB=x米，
在Rt△BCD中，∠C=90°，
∴BD2=BC2+CD2，
∴x2=9−x2+32，
解得x=5，
∴机器人H1跑步5米与乐乐相遇．
【变式1-2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为2米，顶端B距墙顶的距离AB为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为3米，顶端E距墙顶D的距离DE为2米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：

(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【答案】(1)4米
(2)13米
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．
（1）设墙高x米，则BC=x−1米，EF=x−2米，在Rt△BCO和Rt△EFO中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可；
（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）解：设墙高x米，则BC=x−1米，EF=x−2米，
在Rt△BCO中，BO2=BC2+CO2=x−12+22，
在Rt△EFO中，EO2=EF2+FO2=x−22+32，
由题意可知BO=EO，
∴x−12+22=x−22+32，
解得：x=4，
答：墙的高度为4米；
（2）解：BO=4−12+22= 13米．
答：竹竿的长度为13米．
【变式1-3】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着这个风筝，其中引线BC与水平地面垂直，引线AC的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长宽忽略不计）．
(1)求此时风筝离地面的高度BC；
(2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线AC的长度应加长多少米？
【答案】(1)6米
(2)5米
【分析】本题主要考查了勾股定理：
（1）在Rt△ABC中利用勾股定理求解即可；
（2）在Rt△ABM中利用勾股定理求出AM的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，在Rt△ABC中，AC=10m，AB=8m，∠B=90°，
∴BC=AC2−AB2=6m，
∴此时风筝离地面的高度BC的长为6米；
（2）解：在Rt△ABM中，由勾股定理AM=AB2+BM2=82+6+92=17m，
∴17−12=5m，
∴引线AC的长度应加长5米．
【题型2 应用勾股定理解决航海问题】
【例2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东60°方向距离15海里的B处有一艘走私船，以16海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？
【答案】我军巡逻艇的航行速度是34海里/小时
【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据方向角的定义得到∠MBC=60°，∠ABM=30°，得出∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示，由题意得，
∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，
∵ AH∥BM，
∴ ∠ABM=∠BAH=30°，
∴ ∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，
∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，
∴BC=16×0.5=8海里，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=15海里，BC=8海里，
∴AC= AB2+BC2 = 152+82 =17海里，
∴我军巡逻艇的航行速度是170.5 =34海里/小时．
答：我军巡逻艇的航行速度是34海里/小时．
【变式2-1】（23-24八年级·江苏泰州·期中）一辆轿车从O地以100km/h的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以75km/h速度从O地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达MN走向公路上的A、B两地．
(1)求A、B两地的距离；
(2)若要从O地修建一条最短新路OC到达公路MN，求OC的距离．
【答案】(1)250km；
(2)120km．
【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是：
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）根据等面积法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得OA=2×100=200km，OB=2×75=150km，∠AOB=90°，
∴AB=OA2+OB2=2002+1502=250km，
即A、B两地的距离为250km；
（2）解：根据等面积法知：12OA⋅OB=12AB⋅OC，
即12×200×150=12×250OC，
∴OC=120，
即OC的距离为120km
【变式2-2】（23-24八年级·福建漳州·期中）漳州某港口停着轮船A和轮船B．两艘轮船同时从该港口出发，轮船A以每小时航行16海里的速度沿北偏东25°的方向航行，轮船B以每小时航行12海里的速度沿南偏东65°的方向航行，半个小时之后，两艘轮船相距多少海里？
【答案】半个小时之后，两艘轮船相距10海里
【分析】设点O为港口所在位置，点A为半个小时之后轮船A所在的位置，点B为半个小时之后轮船B所在的位置，分别求出OA，OB的长，再求出∠AOB的度数，在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB的长即可．
【详解】解：如图所示，设点O为港口所在位置，点A为半个小时之后轮船A所在的位置，点B为半个小时之后轮船B所在的位置．
由题可知OA=16×12=8，OB=12×12=6，∠AOB=180°−25°+65°=90°．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理得AB=OA2+OB2=82+62=10
∴半个小时之后，两艘轮船相距10海里．
【点睛】问题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意得到∠AOB=90°是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西n°．
（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【答案】（1）90°−n°；（2）6.5海里
【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【详解】解：（1）AC=120×660=12（海里），
BC=50×660=5（海里），
又AB=13海里
所以AC2+BC2=AB2，
所以△ABC是直角三角形，
所以∠ACB＝90°
由已知得∠CBA=90°−n°，所以∠BAC=n°，
所以甲的航向为北偏东90°−n°，
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为120×360=6（海里）
乙甲巡逻船航行3分钟的路程为50×360=2.5（海里）
所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：62+2.52=6.5（海里）．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键．
【题型3 应用勾股定理解决超速问题】
【例3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．7m/s），请判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)见解析，80米
(2)超速，见解析
【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出BD=60，然后利用勾股定理可求出新路AD长度；
（2）先根据勾股定理求出DE的长，再求出BE的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）过点A作AD⊥l，交l于点D．
∵AB=AC，AD⊥l，BC=120
∴BD=12BC=12×120=60，∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
由勾股定理得AD2+BD2=AB2
∵AB=100,BD=60，
∴AD=80
∴新路AD长度是80米．
（2）该车超速
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
由勾股定理得AD2+DE2=AE2
∵AE=170，AD=80，
∴DE=1702−802=150
∴BE=DE−DB=90
∵该车经过BE区间用时5s
∴该车的速度为905=18m/s
∵18m/s>16.7m/s
∴该车超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
【变式3-1】（23-24八年级·宁夏银川·期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行㧒速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方60米B处，过了5秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为100米，这辆小汽车超速了吗？

【答案】这辆小汽车没有超速
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出BC的长，直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵AB=60米，AC=100米，且AC为斜边，
BC=AC2−AB2=1002−602=80米，
∵80÷5=16（米/秒）
16米/秒=57.6千米/小时，
∵57.6