专题14.2 勾股定理的逆定理【八大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）(原卷版+解析版)

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\l "_Tc26241" 【题型1 由三边长度判断直角三角形】 PAGEREF _Tc26241 \h 1
\l "_Tc20024" 【题型2 勾股数】 PAGEREF _Tc20024 \h 3
\l "_Tc15229" 【题型3 格点中判断直角三角形】 PAGEREF _Tc15229 \h 6
\l "_Tc32609" 【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】 PAGEREF _Tc32609 \h 10
\l "_Tc26060" 【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】 PAGEREF _Tc26060 \h 13
\l "_Tc23738" 【题型6 确定直角三角形的个数】 PAGEREF _Tc23738 \h 17
\l "_Tc30735" 【题型7 勾股定理的逆定理的应用】 PAGEREF _Tc30735 \h 20
\l "_Tc27041" 【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】 PAGEREF _Tc27041 \h 23
知识点1：勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
【题型1 由三边长度判断直角三角形】
【例1】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．2，2，5D．6，8，10
【变式1-1】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形．
【变式1-2】（23-24八年级·广东汕头·期末）已知三角形的三边长a，b，c满足关系式a−7+|b−24|+(c−25)2=0，请判断此三角形的形状．
【变式1-3】（23-24八年级·安徽合肥·期末）在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且b+c=2a，c−b=12a，则△ABC是：（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
知识点2：勾股数
勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a、b、c)。即a2+b2=c2，a、b、c都是正整数。
【题型2 勾股数】
【例2】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.6，0.8，1B．13，14 ，15C．6，8，10D．1，2，5
【变式2-1】（23-24八年级·河北保定·期中）若8，15，x是一组勾股数，则x的值为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为2m（m≥3，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）

A．14B．16C．35D．37
【变式2-3】（23-24八年级·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股数．
【探究1】
（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a2+b2=c2，则ka、kb、kc(k为正整数）也是一组勾股数．如；3,4,5是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的a,b,c是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当a=12m2−n2，b=mn,c=12m2+n2(m、n为正整数，m>n）时，a,b,c构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
【探究2】
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股4=12×9−1，弦5=12×9+1；勾5为时，股12=12×25−1，弦13=12×25+1；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24=___ _；弦25=___ _；
（2）如果用n(n≥3,且n为奇数)表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___ ；弦=__ _；
（3）观察4,3,5;6,8,10;8,15,l7;…;a,b,82；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．
①b=_；
②请你直接用m(m为偶数且m≥4）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
【题型3 格点中判断直角三角形】
【例3】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，在4×4的正方形网格中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点A、B都在格点上．
(1)在所给的4×4的正方形网格中，不限方法画出一个以AB为直角边的直角△ABC；
(2)试计算所画的△ABC的面积．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，在5×2的网格中，每个小正方形边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．求∠BAC的度数．
【变式3-2】（23-24八年级·广东珠海·期中）如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．

(1)求四边形ABCD的面积；
(2)判断线段BC和CD的位置关系，并说明理由．
【变式3-3】（23-24八年级·山东淄博·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A,B,C,D都在格点上，AB与CD相交于点P，则∠APD=（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【题型4 利用勾股定理的逆定理进行求值】
【例4】（23-24八年级·广西桂林·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=3，AD=7，CD=5，则∠BAD的度数为 °．
【变式4-1】（23-24八年级·江苏南京·专题练习）如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC=90°，若PA=4，PC=3，AC=5，PB=125，则点A到直线PC的距离是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏南京·假期作业）已知△ABC ,AB=5,BC=12,AC=13，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是 ．
【变式4-3】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA=3，PB=4，PC=5
(1)证明△APC≌△AQB
(2)求三角形PBQ的面积
【题型5 利用勾股定理的逆定理进行证明】
【例5】（23-24八年级·山东淄博·期末）如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．
【变式5-1】（22-23八年级·湖北孝感·阶段练习）设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边c上的高为h，试判断以c+ℎ，a+b，h为边长的三角形的形状，并证明．
【变式5-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边AD，边BC和底边AB的长度，并测量出点B,D之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB．
解决问题：
(1)通过测量得到边AD的长是60厘米，边AB的长是80厘米，BD的长是100厘米，边AD垂直于边AB吗？为什么？
(2)如果你随身只有一个长度为30cm的刻度尺，你能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
【变式5-3】（23-24八年级·福建厦门·阶段练习）定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足ac+a2=b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数．
(2)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．请证明△ABC为“类勾股三角形”．
【题型6 确定直角三角形的个数】
【例6】（23-24八年级·河北唐山·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有 个．
【变式6-1】（23-24八年级·浙江台州·期中）在如图所示的5×5的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足△ABC为以AB为斜边的直角三角形．这样的点C有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-2】（23-24八年级·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．(−4,2)B．(0,4)C．(4,2)D．(−2,2)
【变式6-3】（23-24八年级·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣23，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ．
【题型7 勾股定理的逆定理的应用】
【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·阶段练习）如图，某小区的两个喷泉A，B的距离AB=250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB的距离MN=120m，到喷泉B的距离BM=150m．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求出喷泉B到小路AC的最短距离．
【变式7-1】（23-24八年级·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目： “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，这块沙田的面积是 平方丈
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）某日早晨9:00甲渔船以12海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，10:00乙渔船以10海里/时的速度离开港口O沿某一方向航行．上午11:00两渔船相距26海里．则乙渔船航行的方向是 ．
【变式7-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，图1是某品牌婴儿车，图2是其简化结构示意图．其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接，即∠ABD=90°，根据安全标准需满足BC⊥CD．淇淇爸爸只有测量长度的工具，且无法直接测量BD，请你帮他判断该车是否符合安全标准，请说明需要测量哪些数据，并说明如何判断．
【题型8 勾股定理及其逆定理的综合运用】
【例8】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，∠BAC=90°，AB=22,AC=22，BD=12，DC=410，则∠DBA= ．
【变式8-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，△ABC中，AB=AC，BC长为5，点D是AC上的一点，BD=4,CD=3．
(1)△BCD是哪种类型的三角形，请给出证明；
(2)求出线段AC的长．
【变式8-2】（23-24八年级·四川成都·期中）为了响应政府提出的“绿色长垣，文明长垣”的号召，某小区决定开始绿化，要在一块四边形ABCD空地上种植草皮．如图，经测量∠B=90º，AB=6米，BC=8米，CD=24米，AD=26米．
（1）求AC的长．
（2）判断△ACD的形状，并证明．
（3）若每平方米草皮需要300元，问需要投入多少元？
【变式8-3】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）如图，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=26，PB=52，PC=24，则∠BPC= °．