河南省驻马店市新蔡县2025届高三三模数学试卷（解析版）

这是一份河南省驻马店市新蔡县2025届高三三模数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，得，所以虚部为，
故选：B．
2. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
所以当时，恒成立，则；
当时，由在上递减，
若，，合题意，
若，则，故;
又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得.
综上所述，，
故选：C．
3. 已知集合，集合，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，
得，，所以．
故选：C．
4. 已知向量满足，，与的夹角为，且，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】由，得，
∴，
∴，即，
∴．
故选：A．
5. 定义在上的奇函数满足时，若在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】易求当时，，所以，故．
所以．
由的图象知在上递增，所以在上恒成立，即在上恒成立．
所以解得．
故选：C．
6. 已知函数的极值点与的零点完全相同，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】，
由，得①，
对于，
由，得，
依题意，所以②，
由于函数的极值点与的零点完全相同，
对比①②可得.
故选：B
7. 设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】C
【解析】设，，
在平面直角坐标系中，过作轴于点，过作轴于点，
则，，，，
折叠后即有，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选:C.
8. 若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
依题意，恒成立，
令，，
由，可得：，由，可得：，
所以在单调递减，在单调递增；
所以的最小值为，
所以，解得，
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则有2个零点
B. 若，则的解集为
C. 在上有极小值
D. 在上有极大值
【答案】ABC
【解析】对于选项A：当时，由得，，
解得或0，所以有且仅有2个零点，故A正确；
对于选项B：当时，，且，
由得，解得，
所以的解集为，故B正确.
对于选项C：当时，且，由得或，
当时，；当时，.
①若，则，当时，；
可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增，
所以在内有极小值；
②若，则，
当时，则，可知，
可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增，
所以在内有极小值；
③若，当时，；当时，；
可知在的右侧附近单调递增，在左侧附近单调递减，
所以在有极小值；
④若，则，
当时，则，可知，
可知在的右侧附近单调递减，在左侧附近单调递增，
所以在内有极小值；
综上所述：上有极小值，故C正确.
对于选项D：因为，
构建，可知，
构建，可得，
可知在上单调递增，则，
若，则，即，可知在上单调递增，
则，且，
可知在上存在唯一零点，
当，，即；当，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以有极小值，无极大值；
②若，且，可知在上存在唯一零点，
当，，即；当，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且，且，
可知在上存在唯一零点，
当，，即；当，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以有极小值，无极大值；
综上所述：在上无极大值，故D错误
故选：ABC.
10. 已知两种金属元件（分别记为）的抗拉强度均服从正态分布，且，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项中正确的是（参考数据：若，则，）（ ）
A.
B.
C.
D. 对于任意的正数t，恒有
【答案】AB
【解析】对于A，，A正确；
对于B，由两个正态分布密度曲线知，则，B正确；
对于C，由两个正态分布密度曲线知，则，C错误；
对于D，对于任意的正数t，由图象可知，表示的面积始终小于表示的面积，
则恒有，D错误.
故选：AB
11. 法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为．下列结论中，正确的是（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 原点始终在曲线的内部
C. 当时，面积的最大值为
D. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为
【答案】ACD
【解析】设，由，得．
将代入上式，等式仍成立，知曲线关于轴对称，所以选项A正确；
当时，将代入等式成立，知原点在曲线上，所以选项B错误；
当时，方程整理得．
令，则，
若方程有两个负根，则，推出无解，故方程至少有一个正根，
由得，面积的最大值为，所以选项C正确．
由，得．
令，得，所以．
所以．所以．所以选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若曲线的切线为，则______．
【答案】1
【解析】设切点为，由，得，
则由题意得
所以，．
所以．
所以．
故答案为：1.
13. 已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为______．
【答案】
【解析】设，，
因为，，由重心坐标公式得，，
所以弦的中点坐标为，，即．
又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则，
故，作差得，
将中点坐标代入得．
故答案为：
14. 已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则________.
【答案】
【解析】依题意可知事件A为与同号，与异号，
则，，的符号有2种情况，剩下的，，，任意选有，
则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）若，求的值；
（2）若，，的中点为，求的长．
解：（1）因，由正弦定理，得，
所以．
所以．
又因为为的内角，所以，
所以，从而．
又因为，则，
所以．
（2）由题意，，所以．
又，所以．
所以．
因为，所以，从而．
在中，由余弦定理得，
所以．
16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过的直线交椭圆于点（其中点在轴上方），为椭圆的左顶点．若与的面积分别为，，求的取值范围．
解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意，得，解得，
故椭圆方程为．
（2）
①当斜率不存在时，易知；
②当斜率存在时，可设，，，
由，得，显然，
所以，．
因为，，
所以．
因为，
又，
设，则，，解得且，
所以．
综上所述，取值范围为．
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求二面角的余弦值．
（1）证明：如图，取为内一点，作，交于点，作，交于点．
因为平面平面且平面平面，平面，
所以平面．
因为平面，
所以，同理得．
因为，且平面，
所以平面．
（2）解：因为，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意，得，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，所以．
设平面的法向量为，则
令，则，，所以．
设二面角的平面角为，则由图可得．
故二面角的余弦值为．
18. 已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.
（1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；
（2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；
（3）已知，且集合A为“完美集”，求A.
解：（1）依题意，，
，解得；
（2）设数列的公比为q，依题意，
，，
因为集合A为“完美集”，所以，
整理得，解得，不符题意，
所以不存在首项为3等比数列，使得集合A为“完美集”；
（3）设，若集合A为“完美集”，
则，
易知，，，当时，，
当时，显然不符题意；
当时，不妨设，，故，所以；
当时，因为，所以，符合题意；
当时，，不符题意；
综上，或.
19. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，讨论方程的根的个数.
解：（1）的定义域为，则，
因，由，解得，
当时，恒成立，
所以的无递增区间，递减区间为；
②当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
③当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
（2）由题设，
令，则，即在上单调递增，
故上式中满足，则有，可得，
令，则，由解得.
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，当时，，
故.
结合图象，可知，
当时，方程有0个实根；
当或时，方程有1个实根；
当时，方程有2个实根.