河南省新乡市2025届高三三模数学试题（解析版）

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1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】因为，故其对应的点为，
该点在第三象限，
故选：C
2. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，故，解得.
故选：B
3. 若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，是两条不同的直线，是一个平面，，
若，则或，故充分性不成立；
若，则在平面存在直线，使得，又，，所以，所以，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4. 某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】任取选3人，共有种选法，
任选3人，没有女生的选法总数为，
故选出的3人中至少有1名女生的概率为，
故选：C.
5. 已知函数的极小值为6，则实数a的值为（ ）
A 8B. 6C. 4D. 2
【答案】A
【解析】，
当或时，；当时，，
故的极小值点为，故极小值为，
结合题设可得即，
故选：A.
6. 已知在中，，，则的值为（ ）
A. B. －2C. 2D.
【答案】D
【解析】因为为三角形内角且，故，
故，故，
故选：D.
7. 已知圆锥的顶点为V，母线，所成角的余弦值为，VA与圆锥底面所成的角为，若圆锥的侧面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为VA与圆锥底面所成的角为，所以，即，
又圆锥的侧面积为，故，所以，
即，解得，
设母线，所成角的大小为，则，故，
所以的面积为.
故选：B
8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为.过点且垂直于的直线与交于，两点，，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】如图：
因为椭圆的离心率为，所以，，所以椭圆方程可写为：.
因为，，所以.
因为直线，所以.
所以直线：，即，
代入椭圆方程：，得，
整理得：.
设，，则，.
由，且，所以.
所以，
所以.
所以.
因为为等边三角形，所以直线为线段的中垂线，故，.
所以.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的值域是B.
C. 在区间上单调递增D. 是奇函数
【答案】ABD
【解析】选项A：
对于正弦函数，其值域是.
在函数中，，
所以的值域是，该选项正确.
选项B：
将代入，可得.
根据诱导公式，
则，该选项正确.
选项C：
令,，解这个不等式求的单调递增区间：
,，
即,.
当时，单调递增区间是，不是其单调递增区间的子区间，
所以在区间上不是单调递增的，该选项错误.
选项D：
.
根据诱导公式，则，为奇函数，该选项正确.
故选：ABD.
10. 已知非空数集M具有如下性质：①若x，，则；②若x，，则.下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. 若x，，则D. 若x，，则
【答案】BC
【解析】对于A，若，则当时，即，
故即，则与的比无意义，故此时不符合性质①，故A错误；
对于B，当时，即，故即，
故，依次类推有，故B正确；
对于C，由B的分析可得，由A的分析可得，故当时，，
故当时，有，故C正确；
对于D，若x，，有成立，则取，则有，
由A的分析可得此时不符合性质①，故D错误；
故选：BC.
11. 已知函数的定义域为R，和均为偶函数，且当时，.下列说法中正确的有（ ）
A. 以2为周期
B. 当时，
C. 设函数在区间上两个零点为，，则
D. 函数在区间上的最大值为
【答案】AC
【解析】A选项，和均为偶函数，
故，，
中，将替换为，得，
故，所以的一个周期为2，A正确；
B选项，当时，，则，
当时，，故，
故当时，，B错误；
C选项，当时，，则，
不妨设，因为在上单调递减，所以，
由可得，即，
所以，即，
即，即，
所以，即，C正确；
D选项，由C可知，当时，，
当时，，又的一个周期为2，
故，
，
，
令得或（舍去），
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故区间上的最大值为，D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中，的系数是______.（用数字作答）
【答案】8
【解析】设第项含，
则.
由.
所以.
所以的系数是8.
故答案为：8
13. 已知双曲线C：的焦点到其渐近线的距离为，则C的离心率为______.
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线方程为，由对称性不妨取右焦点，
则到渐近线的距离为，故离心率.
故答案为：2.
14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为______，的取值范围为______.
【答案】①. 2 ②.
【解析】，即，
所以，，
又，所以，
由正弦定理得，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，故.
故答案为：2，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点.
（1）求直线l的方程；
（2）求p.
解：（1）依题意，，，
又，，
则直线的方程为，即，
（2）设两点的坐标分别为，
联立，消去x，得，
，，
，，
.
16. 某工厂引进A，B两条智能化生产线，从这两条生产线生产的产品中各随机抽取100件进行检验，得到的数据如下表：
（1）依据小概率值的独立性检验，分析A，B两条智能化生产线的优质品率是否存在差异；
（2）用样本的频率估计概率，若B生产线的生产效率是A生产线的2倍，现从A，B两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，求其是优质品的概率；
（3）用样本的频率估计概率，若从B生产线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中优质品的件数，求X的分布列和数学期望.
附：.
解：（1）零假设A，B两条智能化生产线的优质品率没有差异，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故A，B两条智能化生产线的优质品率有差异，
（2）A生产线的优质品率为，B生产线的优质品率为，
B生产线的生产效率是A生产线的2倍，
现从A，B两条生产线同一时间段内生产的均匀混合放置的产品里任取一件产品，
其是优质品的概率为；
（3）由题意得，
故，，
，，
X的分布列为
数学期望为（或）.
17. 如图，在四棱台中，底面是正方形，底面，，点E在直线上，且.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
（1）证明：连接，设，则
因为四棱台中，，故且，
所以四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，故平面.
（2）证明：由正方形可得，而底面，
平面，故，而，
平面，故平面，
而平面，故，
设，在直角梯形中，，，
故，故，
而，平面，故平面，
而平面，故，
而，平面，
故平面.
（3）解：由（2），仍设，
因为底面，故平面的法向量为，
由（2）中结果可得平面的法向量为，
由棱台的性质可得为对角面， ，
故，故，
故，而，
故，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知函数.
（1）若，，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的极大值点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围.
解：（1），时，，，
，故，
故在点处的切线方程为；
（2）的定义域为，，
是的极大值点，故，故，
所以，
令得或，
若，则，故在上单调递增，故不存在极大值点，舍去；
若，令得或，令得，
故是的极大值点，满足要求；
若，令得或，令得，
故是的极小值点，不合要求；
若，则恒成立，令得，令得，
故是的极小值点，不合要求；
综上，a的取值范围为；
（3）由题意得，，
且当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
要想对恒成立，只需，
即，
设，，
则，
令，，则恒成立，
故在上单调递减，又，
所以恒成立，故在上单调递减，
又，
故a的取值范围为.
19. 若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”.
（1）试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”；
（2）设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数的最大值；
（3）设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由.
解：（1）对于数列，因为，故该数列是“倍增数列”；
对于数列，因为，故该数列不是“倍增数列”；
（2）因为数列为“倍增数列”，故，
而为整数，且为正项数列，故且为正整数，
而，故当时，，故，
因为，而，
若有一个为的倍数，则只能为的倍数，
否则或，
若为前者，则累乘的数分别为；
若为后者，则累乘的数分别为；
当时，则累乘的数只可能为中的数，
则无论取其中一个或两个，都与矛盾；
若无倍数，
故有两个不同的数，一个数为5，另一个为的倍数，
或者有两个不同数，它们一个为15的倍数，另一个为45的倍数，
若一个为15的倍数，另一个为45的倍数，则此时，这与矛盾；
若一个数为5，另一个为的倍数，则累乘的数为，
综上，的最大值为5，此时.
（3）先证明：（*），
由，
同理有，
利用迭代可得，
而，故，证毕.
在（*）中，取,则得，故，
由可得为正项数列，故，
故数列是“倍增数列”.优质品
合格品
总计
A生产线
90
10
100
B生产线
80
20
100
总计
170
30
200
0050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3