江西省2025届新高考临考预测卷（一）数学试卷（解析版）

这是一份江西省2025届新高考临考预测卷（一）数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．2-x5展开式中的第4项是（ ）
A．-40x3B．-40C．20x4D．20
【答案】A
【解析】由题意可得二项式展开式的通项为：Tr+1=C5r⋅25-r-xr=-1r⋅25-r⋅C5rxr，
将r=3代入上式，可得：-C5322x3=-40x3，
所以2-x5展开式中的第4项是：-40x3.
故选：A.
2．已知z=1-i1+2i，则z=（ ）
A．-1-3i5B．3+3i5C．-1+3i5D．-3+3i5
【答案】C
【解析】因为z=1-i1+2i=1-i1-2i1+2i1-2i=-1-3i5，所以z=-1+3i5．
故选：C
3．已知函数fx同时满足以下三个条件：①fx在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在0,+∞内单调递增．函数fx可以是（ ）
A．fx=x3-xB．fx=2x
C．fx=x+1,x0D．fx=x-1x
【答案】C
【解析】选项中的四个函数对应的大致图象如图下图所示．

对于选项A：在区间0,+∞不单调，故A错误；
对于选项B：没有零点，故B错误；
对于选项C：是奇函数，有3个零点，在0,+∞上单调递增，故C正确；
对于选项D：有2个零点，故D错误.
故选：C
4．已知函数fx满足fx+1=fx2,fx为偶数，3fx+1,fx为奇数.若f1=3，则f2024=（ ）
A．1B．4C．5D．2024
【答案】A
【解析】因为f1=3，所以f2=10，f3=5，f4=16，f5=8，f6=4，f7=2，f8=1，f9=4，f10=2，f11=1，f12=4，f13=2，f14=1，f15=4，f16=2，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，2024-5=2019，为3的倍数，则f2024=1．
故选：A
5．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,-π2b>0的左、右焦点，从焦点F1发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点反射后回到焦点F1．若AF1=F1F2，AB=BF1，则椭圆的离心率为（ ）
A．13B．23C．17-34D．17-32
【答案】D
【解析】如图，由题意知AF1=F1F2=2c，
所以AF2=2a-AF1=2a-2c．
设BF1=m，所以BF2=2a-m，
又AB=BF1，所以2a-2c+2a-m=m，
得m=2a-c，所以BF1=2a-c，BF2=c．
方法一：对于等腰三角形AF1F2和ABF1，因为∠F2AF1=∠F1AB，
故△AF1F2∽△ABF1，故AF2F1F2=AF1BF1，即2a-2c2c=2c2a-c，
化简得c2+3ac-2a2=0，
即e2+3e-2=0，解得e=17-32（负数舍去）．
方法二：易知cs∠AF2F1+cs∠BF2F1=0，
则有2a-2c2+2c2-2c222a-2c⋅2c+2c2+c2-2a-c222c⋅c=0.
化简得：c2+3ac-2a2=0，即e2+3e-2=0，解得e=17-32（负数舍去）.
故选：D.
8．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，过点B的平面分别交侧棱PC，PD，PA于E，F，G三点，若PG=GA，PE=2EC，则PFFD=（ ）
A．25B．23C．32D．52
【答案】B
【解析】如图，
设PDPF=mm≥1，
则PB=PA+AB=PA+DC=PA+PC-PD=2PG+32PE-mPF．
又B，E，F，G四点共面，所以2+32-m=1，解得m=52，
所以PD=52PF，FD=PD-PF=32PF，得PFFD=23．
故选：B
二、多选题
9．将一组互不相同的数据x1，x2，x3，x4，x5中的每一个数都变成原来的2倍再减去1，则这两组数据可能相同的数字特征是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．极差
【答案】AB
【解析】不妨设x1，x2，x3，x4，x5视为从小到大排序，原平均数为x，变化后的平均数为2x-1，当x=1时，x=2x-1，故A正确；
原中位数为x3，变化后的中位数为2x3-1，当x3=1时，x3=2x3-1，故B正确；
原方差为s2，变化后的方差为4s2，若两方差相等，则s2=4s2，得s2=0，此时每个数都相等，与已知矛盾，故C错误；
原极差为x5-x1，变化后的极差为2x5-x1，若两极差相等，则x5=x1，与已知矛盾，故D错误；
故选：AB.
10．已知多面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于底面ABCD，AB=BB1=DD1=2，且A1，B1，C1，D1四点共面．下列说法正确的是（ ）
A．A1C1⊥B1D1
B．若多面体ABCD-A1B1C1D1存在外接球，则该外接球的表面积为48π
C．VB-AA1C1C=83
D．若CC1=3，AA1=1，则三棱锥A1-C1D1D的内切球半径为44+6+14
【答案】ACD
【解析】如图1-4，在正方形ABCD中，AC⊥BD．
由题意AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，
由BB1//DD1，BB1=DD1，则四边形DD1B1B为平行四边形，所以B1D1//BD，
所以AC⊥B1D1AA1⊥B1D1，又AC∩AA1=A都在平面AA1C1C内，所以B1D1⊥平面AA1C1C．
又A1C1⊂平面AA1C1C，所以A1C1⊥B1D1，故A正确．
如图1-5，当多面体为正方体时，才有外接球，外接球的半径等于体对角线的一半，为3，所以外接球的表面积S=12π，故B错误．
如图1-6，AA1+CC1=BB1+DD1=4，VB-AA1C1C=13×AA1+CC1×AC2×BD2=13×4×222×2=83，故C正确．
如图1-7，若CC1=3，AA1=1，VA1-C1D1D=13S△C1D1D⋅AD=43=13S△DA1D1+S△C1DD1+S△A1C1D1+S△DC1A1⋅r，解得r=44+6+14，故D正确．
故选：ACD
11．已知双曲线C:x2-y2=2，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M且与双曲线相切的直线l1分别与两条渐近线交于A，B两点，过点M且与直线l1垂直的垂线l2分别与两坐标轴交于E，F两点．下列说法正确的是（ ）
A．OM中点的轨迹是抛物线
B．△OAB的面积是定值
C．MA=MB
D．四边形EBFA为正方形
【答案】BCD
【解析】对于A，如图，设Mx0,y0x0>0，OM中点为Gx,y，则x=x02，y=y02．
因为x02-y02=2，所以x2-y2=12x>0，故A错误．
对于B，易知OA⊥OB，双曲线C的渐近线为y=±x．
因为直线l1过点M且与双曲线相切，所以设直线l1的方程为xx0-yy0=2．
联立xx0-yy0=2,y=x,得xB=2x0-y0，联立xx0-yy0=2,y=-x,得xA=2x0+y0．
所以SRt△OAB=12OA⋅OB=12⋅2xA⋅2xB=4x02-y02=2，故B正确．
对于C，因为xM-xA=xM-2x0+y0=x0-2x0+y0=x0-x0-y0=y0，
且xB-xM=2x0-y0-xM=2x0-y0-x0=x0+y0-x0=y0，所以MA=MB，故C正确．
对于D，顺次连接E，B，F，A四点，因为直线l1:xx0-yy0=2，所以k1=x0y0．
又直线l2与直线l1垂直，所以k2=-1k1=-y0x0，所以直线l2:y=-y0x0x-x0+y0，
即y=-y0x0x+2y0，得到E0,2y0，F2x0,0，所以M是EF的中点．
又MA=MB，所以EF，AB相互平分．
在Rt△OAB中，AB=2OM，在Rt△OEF中，EF=2OM，所以AB=EF．
又AB⊥EF，所以四边形EBFA为正方形，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题
12．已知向量a，b满足a⋅b=a，2a+b=a-2b，b=1，则a= ．
【答案】13
【解析】由2a⃗+b⃗=a⃗-2b⃗ 两边取平方，
可得 ：4a→2+4a→·b→+b→2=a→2-4a→·b→+4b→2，
即3a2-3b2+8a⋅b=0，
因为a⋅b=a，b=1，
所以3a2+8a-3=0，解得a=13或a=-3（舍），
故答案为：13．
13．过点P0,2的直线与抛物线E:y=x24交于A，B两点，曲线E在A，B两点处的切线相交于点C，则△ABC面积的最小值为 ．
【答案】82
【解析】如图，设Ax1,y1，Bx2,y2，Cx0,y0，y'=x2，点A处的切线方程为y=12x1x-14x12，同理，点B处的切线方程为y=12x2x-14x22，
联立两切线方程，求解可得，两切线的交点C的坐标为x1+x22,x1x24．
设AB所在直线的方程为y=kx+2，与抛物线方程联立得到x2-4kx-8=0，
所以x1+x2=4k，x1x2=-8，则点C2k,-2．
所以x1-x2=4k2+2，
故S△ABC=12ABh=12k2+1x1-x2⋅2k2+4k2+1=2k2+22k2+4=4k2+232，
当k=0时，有S△ABCmin=82．
故答案为：82.
14．为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量N（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用X表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得X=12的概率最大时N的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则N的估计值是 ．
【答案】833
【解析】由题意得，随机变量X服从超几何分布，即PX=12=C10012CN-10088CN100，
记aN=C10012CN-10088CN100，则aN+1=C10012CN+1-10088CN+1100，
所以aN+1aN=CN+1-10088CN100CN+1100CN-10088=N2-198N+9801N2-186N-187．
当aN+1aN>1时，N2-198N+9801>N2-186N-187，解得188≤NaN+1，故当N=833时，aN最大，N的估计值为833．
故答案为：833.
四、解答题
15．已知函数fx=2x-xlnx+xlna-eaa>0．
（1）讨论fx的单调区间；
（2）证明：fx≤0．
（1）解：x∈0,+∞，f'x=1-lnx+lna=lnaex，令f'x=0，得x=ae．
当x∈0,ae时，f'x>0，fx在(0,ae)上单调递增；
当x∈ae,+∞时，f'x0，则g'a=e-ea，
令g'a=0，得a=1
当a∈0,1时，g'a>0，ga单调递增；
当a∈1,+∞时，g'a0,a2+b2-4>0,①
根据余弦定理得csB=a2+c2-b22ac，即12=a2+4-b24a，
解得b2=a2-2a+4，②
将②代入①中，整理得a0,又a>0，解得149．
又x1-x22=x1+x22-4x1x2=40k34k2+12-4×6494k2+1=649k2-494k2+12，
设t=14k2+1∈0,925，
所以S△MAB=43x1-x2=43649k2-494k2+12=16994k2+1-254k2+12
=1699t-25t2=169-25t-9502+81100，
当t=950时，S△MABmax=169×950×92=85.
19．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1,2,⋯,n，且PX=i=pi>0i=1,2,⋯,n，n∑i=1pi=1，定义X的信息熵HX=-n∑i=1pilg2pi．
（1）若pi=942i-12i+1i=1,2,⋯,n，求X的分布列及数学期望EX；
（2）若n=3，p3=13，试求HX关于p1的解析式，并求HX的最大值；
（3）若n=3m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,⋯,m，且PY=j=pj+pm+j+p3m+1-jj=1,2,⋯,m，证明：HX>HY．
（1）解：n∑i=1pi=94×121-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1
=981-12n+1=1，解得n=4
所以X的分布列为
所以EX=1×34+2×320+3×9140+4×128=9770
（2）解：当n=3时，p1,p2∈0,1，
又p3=13，所以p1=1-p2-13=23-p2∈0,23，同理p2=23-p1∈0,23，
HX=-p1lg2p1+p2lg2p2-13lg23=13lg23-p1lg2p1+23-p1⋅lg223-p1．
设fp=-plg2p+23-plg223-p，0