江西省景德镇市2024-2025学年高一上学期11月期中质量检测数学数学试卷（解析版）

这是一份江西省景德镇市2024-2025学年高一上学期11月期中质量检测数学数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,则.
故选：D.
2. 已知：两个三角形全等，：两个三角形的面积相等，则是的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由若两个三角形全等，则两个三角形大小，形状一样，则这两个三角形的面积相等，即p是q的充分条件.取两直角边长分别为4，1与2，2的直角三角形，面积均为2，但两三角形不全等，即p是q的不必要条件，故p是q的充分不必要条件.
故选：A.
3. 若，，则下列不等关系成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，因此选项A不正确；
因为，所以，因此选项D正确；
当时，显然符合，，但是，，
显然选项B、C不正确.
故选：D
4. 已知，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，整理得，即.
所以的最大值为.
故选：D.
5. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对A，该函数的定义域为，故A错误；
对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确；
对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；
对D，该函数的值域不是为，故D错误.
故选：B.
6. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．
故选：C.
7. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ）
A. B. 3C. 或3D. 2或
【答案】A
【解析】函数为幂函数，且在区间上单调递增，
则，即，解得.
故选：A.
8. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题可知，
所以有
当且仅当，即时，等号成立，
所以恒成立，即
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B. 集合与集合是相同的集合
C. 由，，，，这些数组成的集合有4个元素
D. 在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合
【答案】CD
【解析】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误，
对于选项B，其中集合是数集，集合是点集，
所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误，
对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确，
对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即，
所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确，
故选：CD.
10. 关于函数的性质描述，正确的有（ ）
A. 为奇函数B. 为偶函数
C. 在上是增函数D. 的值域是
【答案】BC
【解析】对AB：若使得函数y=f(x)有意义，则，解得，定义域关于原点对称；
当时，，
又，
故为偶函数，A错误，B正确；
对C：当时，，令，
又在单调递减，，在单调递增，
根据复合函数单调性，在单调递减，故在单调递增，故C正确；
对D：根据C中所求，在单调递增，又，
故在的值域为，又为偶函数，故的值域为，故D错误.
故选：BC.
11. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数和，有.
②等式条件：当且仅当时，等号成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D 若，则
【答案】AD
【解析】对于A选项，根据柯西不等式.
因为，所以，即.
所以，则，当且仅当时取等号，
A选项正确.
对于B选项，令，，则
根据柯西不等式.
即.当且仅当取等号，
所以，B选项错误.
对于C选项，根据柯西不等式.
因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误.
对于D选项，令，，则.
根据柯西不等式.
因为，所以.当且仅当取等号.
所以，D选项正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“”的否定是_____.
【答案】，
【解析】根据存在量词命题的否定全称量词命题，
则“”的否定是“，”.
故答案为：，.
13. 不等式的解集为_____.
【答案】
【解析】根据题意原不等式可转化为或，
则即，
则即，
综上可得不等式的解集为.
故答案为：
14. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意可得，，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，.
（1）若B中有且只有一个元素，求实数m的值；
（2）若求实数m的值.
解：（1）解法一：因为，
整理可得，解得或，
又B中只有一个元素，故.
解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，
从而，所以m＝1.
（2）由，解得或，
由，整理可得，
解得或，
B⊆A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B⊆A，
当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B⊆A，故m＝1或m＝2.
16. 已如函数
（1）求，；
（2）作出函数y=fx在区间内的图象.
解：（1）.
，
又，.
（2）函数y=fx在区间内的图象如下：
17. 已知函数.
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
解：（1）函数图象开口向下且对称轴是，要使在上单调递减，应满足，解得.
（2）函数图象的对称轴是.
当时，恒成立，故，所以；
当时，恒成立，故；
所以
综上所述：的取值范围
（3）当，即时，在上递减，
若存在实数，使在上的值域是，则
即，此时无解.
当，即时，在上递增，则即解得.
当，即时，在上先递增，再递减，所以在处取得最大值，则，解得或，舍去.
综上可得，存在实数，使得在上的值域恰好是.
18. 景德镇市，别称“瓷都”，设镇于东晋时期，始称“昌南”，后易名“新平”，作为世界著名的陶瓷圣地，拥有丰富的文化遗产和自然资源，为旅游业的发展提供了得天独厚的条件.近年来，随着人们对传统文化和手工艺的兴趣日益增加，景德镇的陶瓷文化和制作过程吸引了越来越多的游客.小李看到了旅游带来的商机，想在景德镇开民宿，他发现一处拥有40间房间的酒店正在转让，他有了想盘下来开民宿的想法.通过调研，该位置附近的其他相似的酒店每间定价150元时，每天都可租出全部所有的房间，若每间房价上涨10元，则会少租出一间.已知盘下这个酒店开民宿，小李投入成本需要252万元，小李准备依照调研的数据来预算盘下该酒店后的收支情况，按照每间房基础定价150元，若每间房上涨了元，每天收入为元.
（1）求出和之间的函数关系式.
（2）若小李想要一年（按照360天计算）收回成本，请问每间房价应该定为多少元？
（3）每间客房定价为多少时，利润最大？
解：（1）当且时，；
当时，.
∴
（2）由题意分析可知：
即：或
故：或
即：每间房价应该定为之间.
（3）设利润为，则
故对称轴为，而，即：或12时，利润最大.
即：房价为270或280时，利润最大，最大值为201600.
19. 已知的定义域为R，对，，都有，当时，，且.
（1）求和的值；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）若对于，，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）令代入中，
则；
令，代入中，，
而，则.
（2）在R上单调递增.现证明如下：
假设且，，则，
令，，,
代入中，
故
，
即：.即：函数在上单调递增.
（3）由
又且，
故：
又因为函数在上单调递增，
故等价于，
使得成立.即：.
令，则，
即：，则.