江西省景德镇市2023-2024学年上学期高一期末数学检测试卷（附解析）

这是一份江西省景德镇市2023-2024学年上学期高一期末数学检测试卷（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.9
3．（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．函数在区间上的值域为（ ）
A．B．
C．D．
6．若，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
8．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知函数，则曲线的“优美点”的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列结论正确的是（ ）
A． B．的单调递增区间是
C．定义域为，则
D．函数的图像的对称轴为直线
10．下列说法正确的是（ ）
A．从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4
B．数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15
C．数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为7
D．小明在上学的路上要经过4个路口，假设每个路口是否遇到红灯相互独立，且每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在第3个路口首次遇到红灯的概率为
11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立D．丙与丁不相互独立
12．已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称B．
C．函数在定义域上单调递增D．若实数a，b满足，则
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则 .
14．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
15．已知实数，且，则的最小值是 ．
16． 已知函数，，为常数，若对于任意，，且，都有则实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知集合，.
(1)若，求； (2)若，求实数的取值范围.
18．镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
(2)现采用分层抽样的方法从质量在和内的板栗中抽取5颗，再从这5颗板栗中随机抽取2颗，求抽取到的2颗板栗中至少有1颗的质量在内的概率.
19．已知指数函数的反函数为．
(1)求函数的解析式；
(2)已知函数，求不等式的解集．
20．已知函数，且．
(1)若，求方程的解；
(2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围．
21．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
22．定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数.
(1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若，，其中（）为常数.若是“2距”增的数，求的最小值.
答案：
一．单选题
1．B
【详解】因为集合，
所以，
故选：B
2．B
【详解】因为事件与事件互为对立，所以，
因为事件与事件互斥，则，
故选：B
3.A
4．B
【详解】∵，∴，
又，∴，
∴．
故选：B．
5．D
【详解】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减，
当时，；当时，；
所以函数的值域为.
故选：D.
6．A
【详解】当时，因为，，所以，
即可以推出，充分性成立；
当时，比如取，此时有，但，
所以当时，不能推出，必要性不成立；
故是的充分不必要条件.
故选：A
7．D
【详解】记，由题意可知函数有两个零点，所以，
若，则为开口向上的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；
若，则为开口向下的二次函数，
要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；
综上可知：或，即实数k的取值范围是.
故
8．C
【详解】若时，，其关于原点对称的函数是，，
在同一坐标系中作出，和的图像，如图，
图像共有4个交点，故函数的 “优美点”共有4个.
故选：C.
二多选题
9．ACD
10．AC
11．BCD
【详解】两次取出的球的数字之和为8，有共5种情况，
所以；两次取出的球的数字之和为7，有共6种情况，
所以；；
对于A，，故甲与丙不相互独立，错误；
对于B，，故甲与丁相互独立，正确；
对于C，，故乙与丙不相互独立，正确；
对于D，，故丙与丁不相互独立，正确.
故选：BCD.
12．ABD
【详解】，故，
即的图象关于点对称，故，故A、B对；
由上单调递减，而单调递增，
所以在上递减，又关于点对称，故在定义域R上递减，
由，结合C分析结果知，故，
所以C错，D对.
故选：ABD
三.填空题
13．4
【详解】由，得，所以定点，
设，又，得，所以，
所以，
故4.
14．
【详解】由不等式以及可得，
依题意可知即可，
令，
又，由可得，
利用二次函数性质可知，即可得；
即实数的取值范围是.
故
15．
【详解】因为，所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以，即，
所以的最小值是，
故
16 [0，2]
【详解】解：对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），
令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]单调递增即可，
当x＝1时，F（x）＝0，图象恒过（1，0）点，
当x＞1时，F（x）＝x2﹣ax+a，
当x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a，
要使F（x）在[0，2]递增，
则当1＜x≤2时，F（x）＝x2﹣ax+a的对称轴x＝，即a≤2，
当0≤x＜1时，F（x）＝x2+ax﹣a的对称轴x＝，即a≥0，
故a∈[0，2]，
故[0，2]
四.解答题
17．(1) (2)
【详解】（1），解得，故，
，
故；
（2），
由于恒成立，故，
又，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
18．(1)57.5 (2).
【详解】（1）因为，
所以该板栗园的板栗质量的中位数在内.
设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，
解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.
（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取2颗，分别记为；
从质量在内的板栗中抽取颗，分别记为.
从这5颗板栗中随机抽取2颗的情况有，共10种，
其中符合条件的情况有，共7种，
故所求概率.
19．(1)
(2)
【详解】（1）若为指数函数，
则，且，解得，即，
所以指数函数的反函数为.
（2）因为，可知的定义域为，
且，
可知为定义在上的偶函数，
又因为在上单调递增，且在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，且在内单调递减，
对于不等式，可得，
整理得，解得，
所以等式的解集为.
20．(1)或
(2)
【详解】（1）令，则，
当时，等价于，即，
得，有或，
则或，所以或.
（2）法一：令，由，得，
依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，
令，对称轴，
①当时，即，，得.所以.
②当，即，，得.所以.
综上所述，的取值范围为.
法二：令，由，得，
依题意得恒成立，令，
①当时，易知在上单调递增，且当时，，
所以此时没有最小值，即不存在使得不等式恒成立.
②当时，易知在上单调递增，故恒成立，解得，
即当时，不等式恒成立.
③当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号，
要使原不等式成立，须使恒成立，解得
综上所述，的取值范围为.
法三：令，由，得，
依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立，
由，得，
①当时，恒成立，R；
②当，，所以在上恒成立，
令，，
则，
在上单调递减，所以，
所以，的取值范围为.
③当，，所以在上恒成立，
令，，
则，
当且仅当，即，，时等号成立，即，
所以，的取值范围为
综上所述，的取值范围为.
21．(1)8小时
(2)1.6
【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
22．(1)函数是“1距”增函数；理由见解析
(2)当时，；当时，
【详解】（1）解：函数是“1距”增函数.
理由如下：
由函数，
则
，
当时，可得，
所以，即，所以是“1距”增函数.
（2）解：由，，
因为函数是“2距”增的数，所以当时，恒成立，
又因为为增函数，所以，
当时，，即恒成立，
所以，解得；
当时，，即恒成立，
所以，解得，
综上可得，，所以，
令，则，
①当时，即时，当时，；
②当时，即时，当时，，
综上可得，当时，；当时，.