2024-2025学年四川省成都市盐道街中学高二下学期半期考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省成都市盐道街中学高二下学期半期考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列an中，若a6=7，a5+a8=15，则公差d=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
2.集合M=1,−2,3，N=−3,5,6,−4，从集合M中取一个元素作为点的横坐标，从集合N中取一个元素作为点的纵坐标，则该点在第一象限内有( )种
A. 6B. 5C. 4D. 3
3.已知数列an满足an+1=11−an，若a1=12，则a2025等于( )
A. 12B. 2C. −1D. 1
4.若函数f(x)=x3−2x2+ax+3无极值，则a的取值范围是( )
A. −∞,43B. −∞,43C. 43,+∞D. 43,+∞
5.已知数列an为等比数列，其中a6，a10为方程x2+2025x+3=0的两根．则a8=( )
A. 12B. − 3C. 3D. ± 3
6.设函数f(x)是R上可导的偶函数，且f(3)=2，当x>0，满足2f(x)+xf′(x)>1，则x2f(x)g(x)+mx恒成立，则m≤2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线y2=2px经过点(6,6)，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ．
13.已知数列an的前n项和Sn=n2+n，设bn=1anan+1,Tn为数列bn的前n项和，若对任意的n∈N∗，不等式λTn0,0,x=0,12f(x+1),x0)图象的切线有且只有一条；
④设实数a>0，若对任意的x≥e，不等式f(x)≥axeax恒成立，则a的最大值是e．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AC⊥PB，DB⊥PD．
(1)证明：PD⊥平面ABCD．
(2)若AD=PD，求二面角C−AP−B的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=xlnx+2，g(x)=f(x)−2x．
(1)求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程．
(2)求函数g(x)的极值．
(3)若函数y=f(x)+ax在区间e,+∞上为单调递增函数，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知数列an的前n项和为Sn且满足Sn=2an−2n∈N∗；等差数列bn满足b1=1，且b2，b3+1，b6+1成等比数列．
(1)求数列an与bn的通项公式；
(2)求数列bnan的最大项；
(3)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn，
18.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点到其右焦点F(1,0)的最大距离为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B，过点F的直线l与椭圆交于M,N两点(异于A,B).
①若▵AMN的面积为 15，求直线l的方程；
②若直线AN与直线BM交于点P，证明：点P在一条定直线上．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=eax−x(a∈R,e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+mx+1．
(1)讨论g(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)当a=1时，xf(x)+x≥g(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.D
5.B
6.C
7.D
8.B
9.BCD
10.BD
11.ABC
12.3
13.(−∞,30)
14.①③④
15.解：(1)证明：因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD．
又因为AC⊥PB，PB∩BD=B，PB,BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD；
因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD．
因为DB⊥PD，AC与BD相交，AC,BD⊂平面ABCD．
所以PD⊥平面ABCD．
(2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD=PD=1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，则AP=(−1,0,1)，AB=(0,1,0)，AC=(−1,1,0)．
设平面ABP的法向量为n=(x,y,z)，
则AP⋅n=0AB⋅n=0，即−x+z=0y=0，令x=1，则z=1，
所以平面ABP的一个法向量为n=(1,0,1)．
设平面ACP的法向量为m=(a,b,c)，
则AP⋅m=0AC⋅m=0，即−a+c=0−a+b=0，令a=1，则b=c=1，
所以平面ACP的一个法向量为m=(1,1,1)．
csm,n=m⋅nmn=2 2× 3= 63，
易知二面角C−AP−B的平面角为锐角，故二面角C−AP−B的余弦值为 63．

16.解：(1)∵f(x)=xlnx+2，∴f′(x)=lnx+1，∴f(1)=2，f′(1)=1，
∴曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y−2=x−1，即x−y+1=0；
(2)∵g(x)=f(x)−2x=xlnx−2x+2，∴g′(x)=lnx−1，
由g′(x)>0，得x>e，由g′(x)0，ℎ1e=e1e−2−10)，则φ′(x)=(x+1)ex>0恒成立，
所以函数φ(x)=xex在(0,+∞)单调递增，
所以x0=ln1x0，即x0=−lnx0，则F(x)min=e−lnx0−−x0x0−1x0=1x0+1−1x0=1，
所以m≤1，故实数m的取值范围为(−∞,1]．