2024-2025学年上海市建平中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年上海市建平中学高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a为单位向量，下列说法正确的是( )
A. a=aB. a//0C. a+−a=0D. 2a−a=−a
2.下列函数图像所对应的函数解析式可能为( )
A. y=4sinxx2+1B. y=x2+14sinxC. y=x2+4sinxD. y=x2−4sinx
3.已知等比数列an的首项为a1，公比为q，则“a1(q−1)>0”是“数列an为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知数列an满足an=cs2n−1⋅α(n≥1,n∈N)，其中α∈0,2π，设集合A=α|an1，求a1和q的值．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.A
5. 22
6.−12
7.2
8.π3
9.1
10.2π
11.52
12. 19
13.43
14.2025+12025
米
16.14
17.(1)因为bn是首项为19，公比为127的等比数列，
所以bn=19×127n−1=132×133n−3=133n−1，又bn=13an，
所以an=3n−1，则a8=3×8−1=23；
(2)因为数列an是公差为1的等差数列，
所以an=n−1+a1，又bn=13an，
所以bn=13n−1+a1，则b1=13a1，
设bn的前n项和为Sn，则Sn=13a11−13n1−13=32×13a11−13n，
因为i=1+∞bi=12，所以32×13a1=12，所以a1=1，
所以an=n，则a8=8．

18.(1)当m=0时，f(x)=−2 3cs2x=− 3cs2x+1=− 3cs2x− 3，
当x∈π6,π3时，2x∈π3,2π3，则cs2x∈−12,12，
故− 3cs2x− 3∈−3 32,− 32，
因此f(x)max=− 32,f(x)min=−3 32
(2)当m=1时，f(x)=sin2x−2 3cs2x=sin2x− 3cs2x+1=2sin2x−π3− 3，
故fA2=2sinA−π3− 3=0，即sinA−π3= 32，
由于A∈(0,π)，故A−π3∈π3,2π3，
所以A−π3=π3，即A=2π3，
由余弦定理可得a2=c2+b2−2bccsA=1+b2+b=3，解得b=1(负值舍去)，
故S▵ABC=12bcsinA=12×1×1× 32= 34

19.(1)由题意，当n≥2时，
an=1−4％an−1+1−an−1×16％=0.96an−1+0.16−0.16an−1=45an−1+425，
变形为an−45=45an−1−45，a1−45=1×1−70％−45=−12，
所以数列an−45是以−12为首项，45为公比的等比数列，
(2)由(1)可得an−45=−12×45n−1，所以数列an的通项公式an=−12×45n−1+45．
则1−an=12×45n−1+15，
由题意可知，该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积为
S=425n=191−an=425×12×1+45+452+⋯+459+425×15×9
=225×1−4591−45+36125=251−459+36125，
所需的改造费用为451−459+72125≈1.27(亿元)．

20.(1)由an=nn≥1,n∈N，可得an+1−an=1，
由bn=n−1nn≥1,n∈N，可得bn+1−bn=n+1−1n+1−n+1n=1+1n(n+1)，
所以，cn=an+1−anbn+1−bn=1+1n(n+1)，
故c1+c2=1+12+1+16=83．
(2)由an=2n+3n≥1,n∈N，可得an+1−an=2(n+1)+3−2n−3=2，
所以bn+1−bn=cn2=n22−54n=12nn−52，
所以，当n=1,2时，bn+1−bn0，
所以a1>0，
且当a1>0时，a2=2a1+a1−1>a1，且a2=fa1>f(0)=0，
当a2>0时，a3=2a2+a2−1>a2，且a3=fa3>f(0)=0，⋯，
以此类推可知，对任意的n∈N∗，an>0，an+1>an，合乎题意，
因此，a1的取值范围是(0,+∞)．
(3)由题意可知，an+1=fan=2an+sinan=qan，即(q−2)an=sinan对任意的n∈N∗恒成立，
若q≠2，则(q−2)an=sinan≤1，即(q−2)qn−1a1≤1对任意的n∈N∗恒成立，
令(q−2)a1⋅qx−1=1可得x=lgq1(q−2)a1+1=1−lgq(q−2)a1，
因为q>1，当n>1−lgq(q−2)a1时，(q−2)qn−1a1>1，与题意矛盾．
所以，必有q=2，从而可得sinan=0，进而有sina1=0，
故a1=kπ(k≠0,k∈Z)，q=2．