上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间120分钟，试卷满分150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）
1. 直线的倾斜角的大小为______．
2. 已知复数满足，则__________
3. 在等比数列中，已知，，则公比______．
4. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为______．
5. 函数是偶函数，则______．
6. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
7. 在数列中，，若，则实数的取值范围为______．
8. 在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域．
9. 已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角取值范围是，则的取值范围是______．
10. 已知是实数，方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若三角形是等腰直角三角形，则________.
11. 已知，各项均为正数的数列满足，.若，则______.
12. 已知复数，，，，，，若，且，则的最大值______．
二、选择题（本大题共有4题，第13，14题，每题4分，第15，16题，每题5分，满分18分）
13. 已知是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 已知等比数列，则直线和的位置关系是（ ）
A. 相交B. 平行C. 重合D. 无法确定
15. 已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（ ）
（1）若，则线段中点在直线上
（2）若，则直线与直线平行
（3）若，则点、分布在直线两侧
A. （1）（2）（3）B. （1）（2）C. （2）（3）D. （1）（3）
16. 对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题：
（1）存在等差数列为“可控数列”；
（2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（ ）
A. 命题（1）（2）均成立B. 命题（1）成立，命题（2）不成立
C. 命题（1）不成立，命题（2）成立D. 命题（1）（2）均不成立
三、解答题（本题共有5题，满分78分）
17. 已知直线l：，
（1）直线过定点P，求点P坐标；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线l方程．
18. 已知向量，，设，．
（1）求函数的单调递增区间和对称中心坐标；
（2）当时，求函数的最大值及最小值．
19. 已知数列前项和为，，其中是正整数．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，且，，求数列前项和．
20. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，，求的最大值；
（3）已知点，是直线上两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
21. 对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，．
（1）若为的“影数列”，为的“镜数列”，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）比较和的大小，并说明理由．
（2）若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
建平中学2023学年第二学期期末教学质量检测
高一数学试卷
（考试时间120分钟，试卷满分150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）
1. 直线的倾斜角的大小为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线的斜率求直线的倾斜角大小.
【详解】直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，又，所以．
故答案为：
2. 已知复数满足，则__________
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.
【详解】因为复数满足，所以，所以.
故答案为：.
3. 在等比数列中，已知，，则公比______．
【答案】
【解析】
【分析】将用首项和公比来表示，建立关于公比的等式求解即可．
【详解】解：，
解得：．
故答案为：．
4. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用直线垂直设直线方程的一般形式，再代入点，即可求解.
【详解】依题意设直线的一般式方程为：，
因为直线过点，所以，得，
所以直线的一般式方程为：．
故答案为：．
5. 函数是偶函数，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】令，根据为偶函数，，利用两角和的正弦公式展开，进而求出
【详解】令，由已知得为偶函数，可得，
所以，，，因不恒为0，
所以，又因为，得
故答案为：
6. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7. 在数列中，，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由等差数列的前项和，可得，进而解不等式即可.
【详解】由，知数列为等差数列，即，
即，解得．
故的取值范围为．
故答案为：．
8. 在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成______个区域．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案.
【详解】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有，
同理，条直线把平面分成个区域，则有，
条直线把平面分成个区域，则有，
条直线把平面分成个区域，则有，
依次类推，第条直线与前条直线都相交，
则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分，
则增加了个平面，即．
故答案为：.
9. 已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角取值范围是，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义得到，再结合的范围计算可得.
【详解】单位向量与，则，
向量在方向上的投影向量为，
所以，由于的取值范围是，
所以．
故答案为：．
10. 已知是实数，方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若三角形是等腰直角三角形，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程的两复根为，，根据条件可得，列方程求解即可
【详解】根据题意设方程的两虚根为，，为实数，
方程两根在复平面上对应的点分别为和，三角形是等腰直角三角形，
，，
，，
的值为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，向量垂直对应的数量积的坐标关系，属于基础题
11. 已知，各项均为正数的数列满足，.若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据递推公式求出，即可求解.
【详解】由题设，又得：，，
由，
可得，
因为，可得，
又，，，，，
得，
综上，.
故答案为：.
12. 已知复数，，，，，，若，且，则的最大值______．
【答案】
【解析】
【分析】把条件代表几何意义表示出来，然后把问题转化成点到直线的距离之和，再通过梯形转化成点D到直线的距离，再然后转化成点D到过圆心且平行于的直线的距离，最后通过即可计算出答案.
【详解】由，得复数在复平面内对应点，复数在复平面内对应点．

，，，记与夹角为
，，，
到直线的距离，
到直线的距离，
即求的最大值．
设点D为的三等分点，且，
则D到直线的距离，
，即求的最大值，
设D到直线距离为
，即求最大值．
由，，可知，
点，在圆上运动，，
故当时，取得最大值，取得最大值，
取得最大值，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到条件和问题的几何意义，通过图形的转化，计算出答案.
二、选择题（本大题共有4题，第13，14题，每题4分，第15，16题，每题5分，满分18分）
13. 已知是非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】充分性：由题意知，，为非零向量，当时，可得，故充分性满足；
必要性：当时，即，解得或，故必要性不满足；
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
14. 已知等比数列，则直线和的位置关系是（ ）
A 相交B. 平行C. 重合D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式结合直线一般方程判断位置的方法，求解即可.
【详解】因为等比数列，设公比为，则，
由等比数列，，，为正整数，可知两直线平行．
故选：B
15. 已知直线，点、，设，，比下选项中命题都正确的为（ ）
（1）若，则线段的中点在直线上
（2）若，则直线与直线平行
（3）若，则点、分布在直线的两侧
A. （1）（2）（3）B. （1）（2）C. （2）（3）D. （1）（3）
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，结合点与直线的位置关系，转化为坐标运算，即可判断选项.
【详解】对于（1），因为，
所以
，即，所以（1）正确；
对于（2），当时，满足，
此时有，，
即，均在直线上，所以（2）错误；
对于（3），由，得到，
由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，知选项D正确；
故选：D
16. 对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题：
（1）存在等差数列为“可控数列”；
（2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（ ）
A. 命题（1）（2）均成立B. 命题（1）成立，命题（2）不成立
C. 命题（1）不成立，命题（2）成立D. 命题（1）（2）均不成立
【答案】C
【解析】
【分析】对于（1），依题意化简不等式得，根据等差数列的通项公式与求和公式的特征，利用极限思想即可判断；对于（2）取，计算，取，即可判断条件满足.
【详解】（1）若等差数列不是常数列，则公差，则可看成关于的一次函数，
由得，可看成关于的二次函数，
当足够大时，根据极限的思想可判断上式不成立，故命题（1）不成立；
（2）取，则，
则对任意的正整数，不妨取，，符合题意.
故命题（2）正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题主要考查新定义数列的概念应用，属于难题.
解题方法为，按照新定义数列要求，将不等式进行化简和计算判断，运用极限思想排除命题（1）；对于等比数列，要说明存在性命题的正确，只需寻找到符合条件的数列和的值即可.
三、解答题（本题共有5题，满分78分）
17. 已知直线l：，
（1）直线过定点P，求点P坐标；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线l方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）将变形为，列方程可得直线所过的定点；
（2）求出点，点的坐标，代入三角形的面积，解方程可得.
【详解】解：（1）由，可得，
∴直线：必过直线，的交点，
∴；
（2）∵直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，
∴，
令，得；令，得，
三角形的面积为，
解得，
∴直线方程为：.
【点睛】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题.
18. 已知向量，，设，．
（1）求函数的单调递增区间和对称中心坐标；
（2）当时，求函数的最大值及最小值．
【答案】（1）的递增区间为，，对称中心坐标为，.
（2）当时，最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积公式，二倍角公式，辅助角公式将，化简为，再利用正弦函数的递增区间和对称中心，求得答案.
（2）利用，求得，根据正弦图像即可求得最大值与最小值.
【小问1详解】
，
由，得，
所以递增区间为，，
由得，，即，
所以对称中心坐标是，，
综上所述，的递增区间为，，
对称中心坐标为，
【小问2详解】
由（1）可知，，
因为，所以，根据正弦函数可得，
当，即时，；
当，即时，，
综上所述，当时，取得最小值；当时，取得最大值．
19. 已知数列的前项和为，，其中是正整数．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，且，，求数列前项和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用给定的前项和公式，结合求解即得.
（2）求出，利用构造法求出，再利用分组求和法求出.
【小问1详解】
当时，，
当时，，满足上式，
所以.
【小问2详解】
依题意，，，由，得，解得，
则，即，而，
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，
所以数列前项和.
20. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．
（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）若点，，求的最大值；
（3）已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，和
【解析】
【分析】（1）代入和的公式，即可求解；
（2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解；
（3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程.
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
设，由题意得：，
即，而表示的图形是正方形，
其中、、、．
即点在正方形的边上运动，，，
可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值．
因此，点有如下两种可能：
①点为点，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，取，
则．
因为，所以的最大值为．
【小问3详解】
易知，设，则
当时，，则，，满足题意；
当时，，
由分段函数性质可知，
又且恒成立，当且仅当时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条，和．
【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题.
21. 对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，．
（1）若为的“影数列”，为的“镜数列”，
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）比较和的大小，并说明理由．
（2）若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ），理由见解析
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）由题设定义得出，，再计算的值；（ⅱ）先比较前四项，再由数学归纳法证明，时，；
（2）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明.
【小问1详解】
解：（ⅰ）由题意，，；
所以
（ⅱ）当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
当，时，，数学归纳法证明如下
（1）当时，，命题成立；
（2）假设当时，命题成立，
即，则当时，
（*）
∵，，即命题也成立由
由（1）（2）可知，当，时，．
【小问2详解】
，则，，
设，即，则，
设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，
单调递增，所以新，
假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，，
故，整理得到，
当时，等式不成立；当时，为偶数，等式不成立；
所以等式无正整数解．
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列．
【点睛】方法点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差题目，了解之后再考虑提炼第二问的解决方法.