2024-2025学年内蒙古自治区锡林郭勒盟太仆寺旗宝昌第一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古自治区锡林郭勒盟太仆寺旗宝昌第一中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知P(A|B)=47，P(B)=79，则P(AB)=( )
A. 47B. 49C. 13D. 2849
2.C92+C93=( )
A. 120B. 360C. 720D. 840
3.5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是( )
A. 6B. 120C. 125D. 243
4.已知(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5，则a1+a2+⋯+a5=( )
A. 80B. 81C. 242D. 243
5.已知随机变量X∼B(n,p)，若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2，则下列结论正确的是( )
A. n=4B. P(X=2)=32625C. p=0.6D. n=6
6.x(1−x)4的展开式中x4的系数为( )
A. 2B. 6C. 4D. −4
7.某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量X～N(1000,2500)(单位：个)，估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是( )(若随机变量X～Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)
A. 205B. 246C. 270D. 275
8.已知函数f(x)=ax3+3a2−2x+2在x=1处取得极大值，则实数a的取值为( )
A. −2或1B. 2或−1C. −2D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若10件产品中有4件次品和6件正品．现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为随机变量X，则下列结论正确的是( )
A. 若是有放回的抽取，则P(X=2)=36125
B. 若是无放回的抽取，则P(X=2)=36125
C. 若是有放回的抽取，X的数学期望E(X)=65
D. 若是无放回的抽取，X的数学期望E(X)=65
10.若函数y=f(x)，其导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A. f(x)在x=−1与x=1处的瞬时增长率相同
B. f(x)在[−1,1]上不单调
C. y=f(x)可能为奇函数
D. f(1.2)+f(1)>2f(1.1)
11.围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为13，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为X，则下列结论正确的是( )
A. X≤4且甲获得冠军的概率是127
B. 有连续三场比赛都是乙胜的概率是872
C. P(X=4)=1027
D. 若甲赢了第一场，则乙仍有超过50％的可能性获得冠军
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示：
由最小二乘法得到经验回归方程y=−0.2x+a，则a的值为 ．
13.为加强对某病毒预防措施的落实，某校决定对甲、乙两个班的学生进行随机抽查，已知甲、乙两班的人数之比为5:4，其中甲班女生占35，乙班女生占12，则学校恰好抽到一名女生的概率为 ．
14.下列说法中正确的是 ．
①设随机变量X服从二项分布B6,12，则P(X=3)=516
②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=29；
③E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=2D(X)+3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求函数f(x)=x2−lnx的单调区间．
16.(本小题15分)
盒中有四张卡片，分别标有数字1,2,3,4，现从盒中任取两张卡片．
(1)求两张卡片的数字之积为偶数的概率；
(2)取后放回，重复操作n次，记取到偶数、奇数、既有偶数又有奇数的次数分别为X,Y,Z，求证：E(X)+E(Y)−E(Z)=n．
17.(本小题15分)
某人工智能公司从2018至2024年的利润情况如下表所示：
(1)根据表中的数据，推断变量y与x之间是否线性相关．计算y与x之间的相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测该人工智能公司2025年的利润；
参考数据：i=17xi−xyi−y=14, i=17yi−y2=7.08, i=17xi−x2=28, 28×7.08≈14.08
参考公式：对于一组数据u1,v1,u2,v2,⋯un,vn，①相关系数为：r=i=1nui−uvi−v i=1nui−u2 i=1nvi−v2;
②经验回归直线v=βu+αx的斜率和截距的最小二乘估计公式分别β=i=1nui−uvi−vi=1nui−u2，α=v−βu
18.(本小题17分)
在 x+124xn的展开式中，前3项的系数成等差数列．
(1)求展开式中x的一次项；
(2)证明展开式中没有常数项；
(3)求展开式中所有的有理项．
19.(本小题17分)
设函数f(x)=x2−ax−blnx(a∈R)．
(1)当b=−2时，
①讨论函数y=f(x)的单调性；
②若f(x)存在两个极值点m,n，且f(m)+f(n)m+n≥−4，求a的取值范围；
(2)当b=a2且a≠0时，若相异的x1,x2满足fx1=fx2，求证：f′x1+x22>0．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.B
6.D
7.A
8.C
9.ACD
10.ACD
11.CD
12.15.5
13.59
14.①②
15.解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)．
f′(x)=2x−1x=( 2x−1)( 2x+1)x．
因为x>0，所以 2x+1>0．
由f′(x)>0，解得x> 22；由f′(x)4时，Δ=a2−16>0，令g(x)=0解得x1=a− a2−164,x2=a+ a2−164，
所以
此时f(x)在0,a− a2−164和a+ a2−164,+∞单调递增，
在a− a2−164,a+ a2−164单调递减；
②由①得此时a>4且设x1=m,x2=n，由韦达定理得m+n=a2mn=1,
所以f(m)+f(n)m+n=m2+n2−a(m+n)+2lnm+lnnm+n
=(m+n)2−2mn−a(m+n)+2ln(nm)m+n
=m+n−2m+n−a=a2−4a−a=−a2+4a
因为f(m)+f(n)m+n≥−4，所以−a2+4a≥−4，解得4−2 2≤a≤4+2 2，
因此a的取值范围是4,4+2 2；
(2)由b=a2得f(x)=x2−ax−a2lnx，即f′(x)=2x−a−a2x=(2x+a)(x−a)x，
当a>0时，要证f′x1+x22>0，即证x1+x22−a>0，即证x1>2a−x2，
若x2≥2a，则x1>2a−x2恒成立，下证x22a−x2．
当x∈(0,a)，f′(x)0，所以f(x)在(a,+∞)单调递增，
不妨设0