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2023-2024学年内蒙古锡林郭勒盟太仆寺旗宝昌一中高一（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年内蒙古锡林郭勒盟太仆寺旗宝昌一中高一（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U=R，集合A={x|x<0}，B={x|x>2}，则(∁UA)∩B=( )
A. {x|x≥2}B. {x|x>2}C. {x|02.设命题p：∀n∈N，n2>2n+5，则P的否定为( )
A. ∃n∈N，n2>2n+5B. ∀n∈N，n2≤2n+5
C. ∃n∈N，n2≤2n+5D. ∀n∈N，n2≥2n+5
3.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(−1,2)，则csα=( )
A. 55B. 2 55C. − 55D. −2 55
4.函数y=axx2+1(a>0)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设a，b∈R，则“a1b2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=lnex的定义域和值域相同的是( )
A. y=xB. y=lnxC. y=exD. y=1 x
7.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质 3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知 3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是：M=M0⋅2−0.008t(其中M0为 3H的初始质量).则当 3H的质量衰减为最初的316时，所经过的时间约为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)( )
A. 300年B. 255年C. 175年D. 125年
8.已知函数f(x)是R上的增函数，f(−x)=−f(x)，点(3,1)在其图象上，那么|f(x+1)|<1的解集是( )
A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,3)
C. (−∞,−4)∪(2,+∞)D. (−4,2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x，y都是正数，则下列不等式一定成立的是( )
A. yx+xy≥2B. 2−3x−4x≥2−4 3
C. 若xy=1，则x+y≥2D. 若x+y=2，则xy≤1
10.设α是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是( )
A. sinα2B. tanα2C. cs2αD. −sin2α
11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则以下关于狄利克雷函数f(x)的结论中，正确的是( )
A. 函数f(x)为偶函数
B. 函数f(x)的值域是[0,1]
C. 对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1
D. 在f(x)图象上不存在不同的三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形
12.某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)为时间x(单位：月)的指数函数，即y=f(t)=ax，且有关数据如图所示.则下列说法错误的是( )
A. 浮萍面积的月增长率为1
B. 浮萍面积的月增加量都相等
C. 第4个月，浮萍面积为12m2
D. f(2)f(1)=f(10)f(9)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的圆心角为60°，半径为3cm，则扇形的面积为 ______ ．
14.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b−a=1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.1)的近似值，那么将区间(a,b)等分的次数至少是 ______ ．
15.函数y=ax−2−34(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(4)= ______ ．
16.已知函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，若函数y=f(x)−k2+4k有三个零点，则实数k的取值范围是 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)化简sin(−π+α)+cs(π+α)sin(π2+α)+sin(−π−α)；
(2)已知sinx−csx=15，且018.(本小题12分)
(1)若关于x的不等式ax2+4ax−3<0对∀x∈R都成立，求a的取值范围；
(2)已知二次不等式ax2+4ax−3<0的解集为{x|x119.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(1+x)−lga(1−x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域，判断函数f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当00的x取值范围．
20.(本小题12分)
为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=(18)x−a(a为常数)，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室(精确到0.01)．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x+3−x．
(1)证明：f(2x)=f2(x)−2；
(2)若对于∀x∈[0,+∞)，不等式f(2x)−2tf(x)+18>0恒成立，求t的取值范围．
22.(本小题12分)
函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数．
(1)求函数f(x)=x3−6x2图象的对称中心；
(2)根据第(1)问的结论，求f(−100)+f(−99)+⋯+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(103)+f(104)的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x<0}，
∴∁UA={x|x≥0}，
又∵B={x|x>2}，
∴(∁UA)∩B={x|x>2}．
故选：B．
利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃n∈N，n2≤2n+5．
故选：C．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为角α终边经过点P(−1,2)，
所以r=|OP|= (−1)2+22= 5，
故csα=xr=−1 5=− 55．
故选：C．
先求解|OP|，利用三角函数的定义求解．
本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
根据函数的奇偶性和函数的零点即可判断．
本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数的零点是关键．
【解答】
解：令f(x)=y=axx2+1(a>0)，易得函数的定义域为R，
∴f(−x)=−axx2+1=−f(x)，
∴y=f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BC选项；
令axx2+1=0，解得x=0，函数只有一个零点，排除D选项；
只有选项A符合，
故选：A．
5.【答案】D
【解析】解：充分性：由a−b>0，则(−a)2>(−b)2>0，即a2>b2>0，两边同乘1a2b2，可得1a2<1b2，不满足充分性；
必要性：取特殊值a=1，b=2，满足1a2>1b2，但不满足a所以“a1b2”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
根据不等式的性质，其中充分性中，a−b>0，得到a2>b2>0后两边同乘1a2b2即可；必要性中，取特殊值a=1，b=2，按照必要性的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为y=lnex=x，定义域和值域都为R，
结合选项可知，y=x符合题意；
y=lnx定义域(0,+∞)，不符合题意；
y=ex的值域(0,+∞)，不符合题意；，
y=1 x的值域(0,+∞)，不符合题意．
故选：A．
先判断已知函数的定义域及值域，然后检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数定义域及值域的求解，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：经过的时间为t年，根据题意316M0=M0⋅2−0.088t，
所以−0.008t=lg2316=lg316lg2=lg3−lg16lg2=lg3lg2−lg16lg2=lg3lg2−4=−4=−2.4，
所以t=−2.4−0.008=300．
故选：A．
根据题意列出等式，结合对数的运算法则求解即可．
本题考查对数运算的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得f(x)为单调递增的奇函数，且f(3)=1，
所以f(−3)=−1，
由|f(x+1)|<1可得−1故−3解得−4故选：D．
结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为x，y都是正数，
所以xy+yx≥2 xy⋅yx=2，当且仅当x=y时取等号，A正确；
3x+4x≥2 3x⋅4x=4 3，当且仅当x=2 33时取等号，
故2−3x−4x≤2−4 3，B错误；
若xy=1，则x+y≥2 xy=2，当且仅当x=y=1时取等号，C正确；
若x+y=2，则xy≤(x+y2)2=1，当且仅当x=y=1时取等号，D正确．
故选：ACD．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A、B，由已知可得，π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z，
所以，π2+kπ<α2<3π4+kπ,k∈Z．
当k为偶数时，设k=2n，n∈Z，
则π2+2nπ<α2<3π4+2nπ,n∈Z，
此时α2为第二象限角；
当当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z，
则3π2+2nπ<α2<7π4+2nπ,n∈Z，
此时α2为第四象限角．
综上所述，α2为第二或第四象限角．
所以，不能确定sinα2的正负，tanα2<0.故A错误，B正确；
对于C、D，由已知可得，π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z，
所以，2(k+1)π<2α<π+2(k+1)π，k∈Z，
所以，2α为第一或第二象限角或终边落在y轴非负半轴．
所以，不能确定cs2α的正负，sin2α>0，−sin2α<0.故C错误，D正确．
故选：BD．
根据已知得出α的范围，进而得出α2以及2α的范围，即可得出α2以及2α终边所在的象限，进而得出答案．
本题主要考查了象限角的表示及三角函数值符号的判断，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：当x∈Q时，f(x)=1，f(−x)=1，
当x∉Q时，f(x)=0，f(−x)=0，
故f(x)=f(−x)，即f(x)为偶函数，函数的值域为{0,1}，A正确，B错误；
当x∈Q时，f(x)=1，f(f(x))=f(1)=1，
当x∉Q时，f(x)=0，f(f(−x))=f(0)=1，即f(f(x))=1，C正确；
因为f(0)=1，f(− 33)=0，f( 33)=0，
而(0,1)，(− 33,0)，( 33,0)构成等边三角形，D正确．
故选：ACD．
由已知，结合函数的性质检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由题意可知a=2，
即y=f(t)=2t，
对于选项A，浮萍面积的月增长率为2t+1−2t2t=1，
即选项A正确；
对于选项B，浮萍面积的月增加量为2t+1−2t=2t，
显然是一个变量，
即选项B错误；
对于选项C，第4个月，浮萍面积为f(4)=24=16m2，
即选项C错误；
对于选项D，f(2)f(1)=f(10)f(9)=2，
即选项D正确．
故选：BC．
先结合题意求出y=f(t)=2t，然后逐项判断即可．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
13.【答案】3π2cm2
【解析】解：依题意知，扇形的圆心角为θ=π3，又半径为3cm，
故其弧长l=θr=π，
所以S扇=12lr=12×π×3=3π2cm2，
故答案为：3π2cm2．
依题意，可求得故其弧长l=θr=π，利用扇形的面积公式S扇=12lr即可求得答案．
本题考查扇形的面积公式S扇=12lr的应用，属于中档题．
14.【答案】4
【解析】解：设至少需要将区间(a,b)等分n次，
则b−a2n≤0.1，
即12n≤110，
所以n≥4，
即将区间(a,b)等分的次数至少是4次．
故答案为：4．
设至少需要将区间(a,b)等分n次，则b−a2n≤0.1，求出n的最小值即可，
本题主要考查了二分法的应用，属于基础题．
15.【答案】116
【解析】解：∵函数y=ax−2−34(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，
令x−2=0，求得x=2且y=14，可得点A(2,14).
∵点A在幂函数f(x)的图象上，设f(x)=xα，则2α=14，∴α=−2，∴f(x)=x−2=1x2，
∴f(4)=4−2=116．
故答案为：116．
由题意，令指数等于零，求得x、y的值，可得定点的坐标．再用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，得到f(4)的值．
本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，幂函数的定义和性质，属于基础题．
16.【答案】{k|1≤k≤3且k≠2}
【解析】解：函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，
对应图像大致如图：
函数y=f(x)−k2+4k有三个零点，即y=f(x)与y=k2−4k有三个不同的交点，
可得−4故答案为：{k|1≤k≤3且k≠2}．
利用函数f(x)图象与y=k2−4k有三个不同的交点，数形结合即可求解结论．
本题考查函数零点与函数图象交点个数，数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由诱导公式可得：sin(−π+α)+cs(π+α)sin(π2+α)+sin(−π−α)=sin(π+α)+cs(π+α)sin(π2+α)+sin(π−α)=−sinα−csαcsα+sinα=−1；
(2)因为sinx−csx=15，
所以(sinx−csx)2=1−2sinxcsx=125，
解得：2sinxcsx=2425，
所以(sinx+csx)2=1+2sinxcsx=4925．
又因为00，csx>0，
所以sinx+csx>0，
所以sinx+csx=75．
【解析】(1)利用诱导公式化简即可；
(2)利用同角三角函数的基本关系和完全平方公式求解即可．
本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)a=0时，不等式ax2+4ax−3<0为−3<0，满足题意；
a≠0时，应满足a<0Δ=16a2+12a<0，解得−34所以a的取值范围是{a|−34(2)由题意知，x1、x2是方程ax2+4ax−3=0的实数根，且a>0，
由根与系数的关系知，x1+x2=−4x1⋅x2=−3a，
因为|x1−x2|=5，所以(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=16−4×(−3a)=25，
解得a=43．
【解析】(1)讨论a=0时和a≠0时，利用判别式Δ<0求出a的取值范围；
(2)由题意知x1、x2是对应方程的实数根，利用根与系数的关系即可求出a的值．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=lga(1+x)−lga(1−x)，
由1+x>01−x>0，可得−1f(x)为奇函数，
证明：函数f(x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，
而f(−x)=lga(1−x)−lga(1+x)=−f(x)，
则函数f(x)是奇函数；
(2)f(x)>0，即lga(1+x)−lga(1−x)>0，
即lga1+x1−x>0，
若0故当00的解集为(−1,0)．
【解析】(1)根据题意，由对数函数的性质可得1+x>01−x>0，解可得函数的定义域，进而分析f(−x)、f(x)的关系，即可得答案；
(2)根据题意，由对数函数的性质，原不等式等价于0<1+x1−x<1，解可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数函数的性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题知，药物释放过程中，设y=kx，
将(0.1,1)代入解析式可得，0.1k=1，解得k=10，
以及1=(18)0.1−a，解得a=0.1，
所以从药物释放开始，y=10x,0≤x≤0.1(18)x−0.1,x>0.1；
(2)由(1)知，y=10x,0≤x≤0.1(18)x−0.1,x>0.1，
令(18)x−0.1<0.25，则x>0.1+23≈0.77，
所以从药物释放开始，至少需要经过约0.77小时后，学生才能回到教室．
【解析】(1)根据已知图象过的点的坐标，即可直接求出相应解析式；
(2)令y<0.25，即可得出结果．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了指数的基本运算，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：∵f(2x)=32x+3−2x，
f2(x)−2=(3x+3−x)2−2=32x+3−2x+2−2=32x+3−2x，
∴f(2x)=f2(x)−2．
(2)解：∵不等式f(2x)−2tf(x)+18>0恒成立，
∴f2(x)−2tf(x)+16>0恒成立，
f(x)=3x+3−x≥2 3x−x=2，当且仅当x=0时等号成立，
∴2t而f(x)+16f(x)≥2 f(x)⋅16f(x)=8，当且仅当f(x)=16f(x)=4时等号成立，
∴2t<8，即t<4．
∴t的取值范围为(−∞,4)．
【解析】(1)分别求出f(2x)，f2(x)−2，即可证明结论；
(2)先求出函数f(x)的值域，分离参数，转化为2t本题考查指数的运算，恒成立问题，基本不等式求最值，属中档题．
22.【答案】解：(1)根据题意，不妨设f(x)=x3−6x2的图象的对称中心为P(a,b)，
则g(x)=f(x+a)−b为奇函数，易知g(x)的定义域为R，
而g(x)=f(x+a)−b=(x+a)3−6(x+a)2−b=x3+(3a−6)x2+(3a2−12a)x+a3−6a2−b，
则有3a−6=0a3−6a2−b=0，解可得a=2b=−16，
即函数f(x)=x3−6x2图象的对称中心为(2,−16)；
(2)根据题意，由(1)的结论，函数f(x)=x3−6x2图象的对称中心为(2,−16)，
则有f(x)+f(4−x)=−32，
则f(−100)+f(104)=−32，f(−9)+f(103)=−32，……，f(1)+f(3)=−32，
又由f(2)=−16，
故f(−100)+f(−99)+⋯+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(103)+f(104)=(−32)×102+(−16)=−3280，
(3)根据题意，类比(1)的结论，函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．
【解析】(1)根据题意，设f(x)=x3−6x2的图象的对称中心为P(a,b)，则g(x)=f(x+a)−b为奇函数，分析可得关于a、b的恒等式，求出a、b的值，即可得答案；
(2)根据题意，由函数的对称性可得f(x)+f(4−x)=−32，可得f(−100)+f(104)=−32，f(−9)+f(103)=−32，……，f(1)+f(3)=−32，由此计算可得答案；
(3)类比推论，分析可得结论．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的对称性，属于基础题．
1.设全集U=R，集合A={x|x<0}，B={x|x>2}，则(∁UA)∩B=( )
A. {x|x≥2}B. {x|x>2}C. {x|0
A. ∃n∈N，n2>2n+5B. ∀n∈N，n2≤2n+5
C. ∃n∈N，n2≤2n+5D. ∀n∈N，n2≥2n+5
3.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(−1,2)，则csα=( )
A. 55B. 2 55C. − 55D. −2 55
4.函数y=axx2+1(a>0)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设a，b∈R，则“a
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=lnex的定义域和值域相同的是( )
A. y=xB. y=lnxC. y=exD. y=1 x
7.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质 3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知 3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是：M=M0⋅2−0.008t(其中M0为 3H的初始质量).则当 3H的质量衰减为最初的316时，所经过的时间约为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)( )
A. 300年B. 255年C. 175年D. 125年
8.已知函数f(x)是R上的增函数，f(−x)=−f(x)，点(3,1)在其图象上，那么|f(x+1)|<1的解集是( )
A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,3)
C. (−∞,−4)∪(2,+∞)D. (−4,2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x，y都是正数，则下列不等式一定成立的是( )
A. yx+xy≥2B. 2−3x−4x≥2−4 3
C. 若xy=1，则x+y≥2D. 若x+y=2，则xy≤1
10.设α是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是( )
A. sinα2B. tanα2C. cs2αD. −sin2α
11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则以下关于狄利克雷函数f(x)的结论中，正确的是( )
A. 函数f(x)为偶函数
B. 函数f(x)的值域是[0,1]
C. 对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1
D. 在f(x)图象上不存在不同的三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形
12.某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)为时间x(单位：月)的指数函数，即y=f(t)=ax，且有关数据如图所示.则下列说法错误的是( )
A. 浮萍面积的月增长率为1
B. 浮萍面积的月增加量都相等
C. 第4个月，浮萍面积为12m2
D. f(2)f(1)=f(10)f(9)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的圆心角为60°，半径为3cm，则扇形的面积为 ______ ．
14.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b−a=1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.1)的近似值，那么将区间(a,b)等分的次数至少是 ______ ．
15.函数y=ax−2−34(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(4)= ______ ．
16.已知函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，若函数y=f(x)−k2+4k有三个零点，则实数k的取值范围是 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)化简sin(−π+α)+cs(π+α)sin(π2+α)+sin(−π−α)；
(2)已知sinx−csx=15，且0
(1)若关于x的不等式ax2+4ax−3<0对∀x∈R都成立，求a的取值范围；
(2)已知二次不等式ax2+4ax−3<0的解集为{x|x1
已知函数f(x)=lga(1+x)−lga(1−x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域，判断函数f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当0
20.(本小题12分)
为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)随时间x(单位：h)的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y=(18)x−a(a为常数)，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室(精确到0.01)．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x+3−x．
(1)证明：f(2x)=f2(x)−2；
(2)若对于∀x∈[0,+∞)，不等式f(2x)−2tf(x)+18>0恒成立，求t的取值范围．
22.(本小题12分)
函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数．
(1)求函数f(x)=x3−6x2图象的对称中心；
(2)根据第(1)问的结论，求f(−100)+f(−99)+⋯+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(103)+f(104)的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x<0}，
∴∁UA={x|x≥0}，
又∵B={x|x>2}，
∴(∁UA)∩B={x|x>2}．
故选：B．
利用集合的基本运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃n∈N，n2≤2n+5．
故选：C．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为角α终边经过点P(−1,2)，
所以r=|OP|= (−1)2+22= 5，
故csα=xr=−1 5=− 55．
故选：C．
先求解|OP|，利用三角函数的定义求解．
本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
根据函数的奇偶性和函数的零点即可判断．
本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数的零点是关键．
【解答】
解：令f(x)=y=axx2+1(a>0)，易得函数的定义域为R，
∴f(−x)=−axx2+1=−f(x)，
∴y=f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BC选项；
令axx2+1=0，解得x=0，函数只有一个零点，排除D选项；
只有选项A符合，
故选：A．
5.【答案】D
【解析】解：充分性：由a
必要性：取特殊值a=1，b=2，满足1a2>1b2，但不满足a
故选：D．
根据不等式的性质，其中充分性中，a
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：因为y=lnex=x，定义域和值域都为R，
结合选项可知，y=x符合题意；
y=lnx定义域(0,+∞)，不符合题意；
y=ex的值域(0,+∞)，不符合题意；，
y=1 x的值域(0,+∞)，不符合题意．
故选：A．
先判断已知函数的定义域及值域，然后检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数定义域及值域的求解，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：经过的时间为t年，根据题意316M0=M0⋅2−0.088t，
所以−0.008t=lg2316=lg316lg2=lg3−lg16lg2=lg3lg2−lg16lg2=lg3lg2−4=−4=−2.4，
所以t=−2.4−0.008=300．
故选：A．
根据题意列出等式，结合对数的运算法则求解即可．
本题考查对数运算的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得f(x)为单调递增的奇函数，且f(3)=1，
所以f(−3)=−1，
由|f(x+1)|<1可得−1
结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为x，y都是正数，
所以xy+yx≥2 xy⋅yx=2，当且仅当x=y时取等号，A正确；
3x+4x≥2 3x⋅4x=4 3，当且仅当x=2 33时取等号，
故2−3x−4x≤2−4 3，B错误；
若xy=1，则x+y≥2 xy=2，当且仅当x=y=1时取等号，C正确；
若x+y=2，则xy≤(x+y2)2=1，当且仅当x=y=1时取等号，D正确．
故选：ACD．
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A、B，由已知可得，π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z，
所以，π2+kπ<α2<3π4+kπ,k∈Z．
当k为偶数时，设k=2n，n∈Z，
则π2+2nπ<α2<3π4+2nπ,n∈Z，
此时α2为第二象限角；
当当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z，
则3π2+2nπ<α2<7π4+2nπ,n∈Z，
此时α2为第四象限角．
综上所述，α2为第二或第四象限角．
所以，不能确定sinα2的正负，tanα2<0.故A错误，B正确；
对于C、D，由已知可得，π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z，
所以，2(k+1)π<2α<π+2(k+1)π，k∈Z，
所以，2α为第一或第二象限角或终边落在y轴非负半轴．
所以，不能确定cs2α的正负，sin2α>0，−sin2α<0.故C错误，D正确．
故选：BD．
根据已知得出α的范围，进而得出α2以及2α的范围，即可得出α2以及2α终边所在的象限，进而得出答案．
本题主要考查了象限角的表示及三角函数值符号的判断，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：当x∈Q时，f(x)=1，f(−x)=1，
当x∉Q时，f(x)=0，f(−x)=0，
故f(x)=f(−x)，即f(x)为偶函数，函数的值域为{0,1}，A正确，B错误；
当x∈Q时，f(x)=1，f(f(x))=f(1)=1，
当x∉Q时，f(x)=0，f(f(−x))=f(0)=1，即f(f(x))=1，C正确；
因为f(0)=1，f(− 33)=0，f( 33)=0，
而(0,1)，(− 33,0)，( 33,0)构成等边三角形，D正确．
故选：ACD．
由已知，结合函数的性质检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由题意可知a=2，
即y=f(t)=2t，
对于选项A，浮萍面积的月增长率为2t+1−2t2t=1，
即选项A正确；
对于选项B，浮萍面积的月增加量为2t+1−2t=2t，
显然是一个变量，
即选项B错误；
对于选项C，第4个月，浮萍面积为f(4)=24=16m2，
即选项C错误；
对于选项D，f(2)f(1)=f(10)f(9)=2，
即选项D正确．
故选：BC．
先结合题意求出y=f(t)=2t，然后逐项判断即可．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
13.【答案】3π2cm2
【解析】解：依题意知，扇形的圆心角为θ=π3，又半径为3cm，
故其弧长l=θr=π，
所以S扇=12lr=12×π×3=3π2cm2，
故答案为：3π2cm2．
依题意，可求得故其弧长l=θr=π，利用扇形的面积公式S扇=12lr即可求得答案．
本题考查扇形的面积公式S扇=12lr的应用，属于中档题．
14.【答案】4
【解析】解：设至少需要将区间(a,b)等分n次，
则b−a2n≤0.1，
即12n≤110，
所以n≥4，
即将区间(a,b)等分的次数至少是4次．
故答案为：4．
设至少需要将区间(a,b)等分n次，则b−a2n≤0.1，求出n的最小值即可，
本题主要考查了二分法的应用，属于基础题．
15.【答案】116
【解析】解：∵函数y=ax−2−34(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，
令x−2=0，求得x=2且y=14，可得点A(2,14).
∵点A在幂函数f(x)的图象上，设f(x)=xα，则2α=14，∴α=−2，∴f(x)=x−2=1x2，
∴f(4)=4−2=116．
故答案为：116．
由题意，令指数等于零，求得x、y的值，可得定点的坐标．再用待定系数法求出幂函数f(x)的解析式，得到f(4)的值．
本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，幂函数的定义和性质，属于基础题．
16.【答案】{k|1≤k≤3且k≠2}
【解析】解：函数f(x)=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,x>0，
对应图像大致如图：
函数y=f(x)−k2+4k有三个零点，即y=f(x)与y=k2−4k有三个不同的交点，
可得−4
利用函数f(x)图象与y=k2−4k有三个不同的交点，数形结合即可求解结论．
本题考查函数零点与函数图象交点个数，数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由诱导公式可得：sin(−π+α)+cs(π+α)sin(π2+α)+sin(−π−α)=sin(π+α)+cs(π+α)sin(π2+α)+sin(π−α)=−sinα−csαcsα+sinα=−1；
(2)因为sinx−csx=15，
所以(sinx−csx)2=1−2sinxcsx=125，
解得：2sinxcsx=2425，
所以(sinx+csx)2=1+2sinxcsx=4925．
又因为0
所以sinx+csx>0，
所以sinx+csx=75．
【解析】(1)利用诱导公式化简即可；
(2)利用同角三角函数的基本关系和完全平方公式求解即可．
本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)a=0时，不等式ax2+4ax−3<0为−3<0，满足题意；
a≠0时，应满足a<0Δ=16a2+12a<0，解得−34
由根与系数的关系知，x1+x2=−4x1⋅x2=−3a，
因为|x1−x2|=5，所以(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=16−4×(−3a)=25，
解得a=43．
【解析】(1)讨论a=0时和a≠0时，利用判别式Δ<0求出a的取值范围；
(2)由题意知x1、x2是对应方程的实数根，利用根与系数的关系即可求出a的值．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
19.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=lga(1+x)−lga(1−x)，
由1+x>01−x>0，可得−1
证明：函数f(x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，
而f(−x)=lga(1−x)−lga(1+x)=−f(x)，
则函数f(x)是奇函数；
(2)f(x)>0，即lga(1+x)−lga(1−x)>0，
即lga1+x1−x>0，
若0
【解析】(1)根据题意，由对数函数的性质可得1+x>01−x>0，解可得函数的定义域，进而分析f(−x)、f(x)的关系，即可得答案；
(2)根据题意，由对数函数的性质，原不等式等价于0<1+x1−x<1，解可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数函数的性质，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题知，药物释放过程中，设y=kx，
将(0.1,1)代入解析式可得，0.1k=1，解得k=10，
以及1=(18)0.1−a，解得a=0.1，
所以从药物释放开始，y=10x,0≤x≤0.1(18)x−0.1,x>0.1；
(2)由(1)知，y=10x,0≤x≤0.1(18)x−0.1,x>0.1，
令(18)x−0.1<0.25，则x>0.1+23≈0.77，
所以从药物释放开始，至少需要经过约0.77小时后，学生才能回到教室．
【解析】(1)根据已知图象过的点的坐标，即可直接求出相应解析式；
(2)令y<0.25，即可得出结果．
本题考查了函数在生活中的实际运用，考查了指数的基本运算，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：∵f(2x)=32x+3−2x，
f2(x)−2=(3x+3−x)2−2=32x+3−2x+2−2=32x+3−2x，
∴f(2x)=f2(x)−2．
(2)解：∵不等式f(2x)−2tf(x)+18>0恒成立，
∴f2(x)−2tf(x)+16>0恒成立，
f(x)=3x+3−x≥2 3x−x=2，当且仅当x=0时等号成立，
∴2t
∴2t<8，即t<4．
∴t的取值范围为(−∞,4)．
【解析】(1)分别求出f(2x)，f2(x)−2，即可证明结论；
(2)先求出函数f(x)的值域，分离参数，转化为2t
22.【答案】解：(1)根据题意，不妨设f(x)=x3−6x2的图象的对称中心为P(a,b)，
则g(x)=f(x+a)−b为奇函数，易知g(x)的定义域为R，
而g(x)=f(x+a)−b=(x+a)3−6(x+a)2−b=x3+(3a−6)x2+(3a2−12a)x+a3−6a2−b，
则有3a−6=0a3−6a2−b=0，解可得a=2b=−16，
即函数f(x)=x3−6x2图象的对称中心为(2,−16)；
(2)根据题意，由(1)的结论，函数f(x)=x3−6x2图象的对称中心为(2,−16)，
则有f(x)+f(4−x)=−32，
则f(−100)+f(104)=−32，f(−9)+f(103)=−32，……，f(1)+f(3)=−32，
又由f(2)=−16，
故f(−100)+f(−99)+⋯+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(103)+f(104)=(−32)×102+(−16)=−3280，
(3)根据题意，类比(1)的结论，函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．
【解析】(1)根据题意，设f(x)=x3−6x2的图象的对称中心为P(a,b)，则g(x)=f(x+a)−b为奇函数，分析可得关于a、b的恒等式，求出a、b的值，即可得答案；
(2)根据题意，由函数的对称性可得f(x)+f(4−x)=−32，可得f(−100)+f(104)=−32，f(−9)+f(103)=−32，……，f(1)+f(3)=−32，由此计算可得答案；
(3)类比推论，分析可得结论．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的对称性，属于基础题．
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