2024-2025学年内蒙古锡林郭勒盟第二中学高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古锡林郭勒盟第二中学高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是( )
A. 16B. 13C. 12D. 14
2.已知向量a=(2,3),b=(3,2)，则|a–b|=
A. 2B. 2C. 5 2D. 50
3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差
4.已知平面向量a=(2,−1)，b=(1,1)，c=(−5,1)，若(a+kb)//c，，则实数k的值为
A. −114B. 12C. 2D. 114
5.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样
6.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. 110B. 25C. 3010D. 22
7.如图，ABCD−A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )
A. BD//平面CB1D1B. AC1⊥BD
C. AC1⊥平面CB1D1D. 异面直线AD与CB1所成的角为60°
8.已知A､B是球O的球面上两点，且∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O−ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.α,β是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有( )
A. 如果m⊥n,m⊥α,n//β，那么α⊥β
B. 如果m⊥α,n//α，那么m⊥n
C. 如果α//β,m⊂α，那么m//β
D. 如果m//n,α//β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
10.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都是白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的哪几个( )
A. 事件“两球都不是白球”B. 事件“两球恰有一白球”
C. 事件“两球至少有一个白球”D. 事件“两球不都是白球”
11.下面四个命题中的真命题为( )
A. 若复数z满足1z∈R，则z∈R
B. 若复数z满足z2∈R，则z∈R
C. 若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2
D. 若复数z∈R，则z∈R
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
则：至多2人排队的概率为 ．
13.已知在直角三角形ABC中，∠ACB=90∘,AC=BC=2，点P是斜边AB的中点.则CP⋅CB+CP⋅CA= ．
14.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD=BD= 2，∠BAC=30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是 ．
①当平面ABD⊥平面ABC时，C､D两点间的距离为 2；
②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；
③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D−ABC体积的最大值为 36．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)在三棱锥P−ABC中，AB+2PC=9，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过E作平行于AB, PC的平面，则该平面截三棱锥P−ABC所得截面的周长是多少？
(2)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙.体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2，则V甲V乙是多少？
16.(本小题15分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
17.(本小题15分)
等腰梯形ABEF中，AB // EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
(1)求证：AF⊥平面CBF；
(2)设FC的中点为M，求证：OM //平面DAF；
(3)求三棱锥C−BEF的体积．
18.(本小题12分)
某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0,0.5),[0.5,1),⋯,[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
(3)采用分层抽样的方法从[1,1.5),[1.5,2)这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，且BC=2AD, AB=4, SA=3．
(1)求证：平面SBC⊥平面SAB；
(2)若E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足SFFB=CEEB=λ．
①求证：不论λ为何值，都有SC//平面AEF；②是否存在λ，使得▵AEF为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的λ值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.B
5.C
6.C
7.D
8.C
9.BCD
10.AB
11.AD

13.4
14.①③
15.(1)如图所示，在三棱锥P−ABC中，过E分别作EF//AB, EH//PC，
再分别过点H, F作HG//AB, FG//PC，可得E, F, G, H四点共面，
因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB//平面EFGH，
同理可证，PC//平面EFGH，所以截面即为平行四边形EFGH，
又由E为线段AP上更靠近P的三等分点，且AB+2PC=9，所以EF=13AB, EH=23PC，
所以平行四边形EFGH的周长为2(EF+EH)=23(AB+2PC)=6．
(2)设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，
则S甲S乙=πr1lπr2l=r1r2=2，所以r1=2r2，
又圆心角2πr1l+2πr2l=2π，则r1+r2l=1，所以r1=23l, r2=13l，
所以甲圆锥的高ℎ1= l2−49l2= 53l，乙圆锥的高ℎ2= l2−19l2=2 23l，
所以V甲V乙=13πr12ℎ113πr22ℎ2=49l2× 53l19l2×2 23l= 10．

16.(Ⅰ)在3月1日至3月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为613．
(Ⅱ)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，
所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是413．
(Ⅲ)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
本题主要考查的是古典概率．由图读出基本事件的总数和满足条件的事件个数，代入古典概型公式计算即可．连续三天的空气质量指数方差最大的是应该是这三天空气质量指数悬殊最大的．

17.解：(1) ∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，
∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB．
又∵AF⊥BF，BF∩BC=B，BF，BC⊂平面CBF．
∴AF⊥平面CBF．
(2)设DF的中点为N，则MN//CD，MN=12CD，
AO//CD，AO=12CD，则MN//AO，MN=AO，
∴四边形MNAO是平行四边形，∴OM//AN．
又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM//平面DAF．
(3)过点E作EH⊥AB于H，则∠EBH=60°，
所以EH= 32，EF=AB−2HB=1，故S△BEF=12×1× 32= 34，VC−BEF=13×S△BEF×BC= 312．

18.(1)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0,0.5),[0.5,1),⋯,[4,4.5]的频率分别为0.04,0.08,0.15，0.5a,0.25,0.15,0.07,0.04,0.02．
由1−(0.04+0.08+0.15+0.25+0.15+0.07+0.04+0.02)=0.5a，得a=0.40．
(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时．
因为前5组频率和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5，前4组频率和为0.47