2024-2025学年河南省郑州外国语学校高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省郑州外国语学校高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z1+i=6+4i，则z的虚部是( )
A. −1B. −iC. 1D. i
2.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|= ( )
A. 3B. 2 3C. 4D. 12
3.在▵ABC中，已知BC=2，B=π3，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是( )
A. ( 3,2)B. ( 3,4)C. (1,2)D. (2,4)
4.用斜二测画法画出的一个水平放置的平面四边形的直观图面积为 2，则以该平面四边形为底面的一个高为6的四棱锥的体积为( )
A. 6B. 8C. 12D. 24
5.已知不重合的直线m、n、l和平面α，下列命题中真命题是( )
A. 如果l不平行于α，则α内的所有直线均与l异面 B. 如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C. 如果m⊂α，n//α，m、n共面，那么m//n D. 如果m//n，那么m平行于经过n的任何平面
6.一个内径为6cm，高为15cm的圆柱形口杯中，盛有高度为6cm的水，现将一个半径为3cm的小钢球放入口杯中，则此时水面高度为( )
A. 4cmB. 5cmC. 10cmD. 15cm
7.如图，已知正三角形ABC的边长为2 3，其中心为O，以O为圆心作半径为12的圆，点M为圆O上任意一点，则BO⋅CM的取值范围为( )
A. [−3,−1]B. −3,−12C. −32,−12D. −32,0
8.已知球O的表面积为12π，球面上有A，B，C，D四点，DA，DB，DC与平面ABC所成的角均为π4，若△ABC是正三角形，则AB=( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.点O为▵ABC所在平面内一点，且OA=OB+2OC，则下列选项正确的是( )
A. AO=12AB+AC
B. 直线AO必过BC边的中点
C. S▵AOB:S▵AOC=2:1
D. 若OB=OC=1，且OB⊥OC，则OA⋅OB+OC=3
10.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则A>B
B. 若acsA=bcsB，则▵ABC一定是等腰三角形
C. 若B=π4，c= 2，b=65，则▵ABC有两解
D. 若c=2，a2+b2=2 33absinC+4，则▵ABC面积的最大值为 3
11.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1，内一个动点(包括边界)，且B1F//平面A1BE，则下列说法正确的有( )
A. 动点F轨迹的长度为 2
B. 直线B1F与A1B不可能垂直
C. 当三棱锥B1−D1DF的体积最小时，直线B1F与A1B所成角的余弦值为 1010
D. 当三棱锥B1−D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为252π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若1+ 2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则b= ．
13.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+c2−b2=4，则AB⋅BC= ．
14.如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，点E满足DE=2EA，则四面体ABCE的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=m+4−m2i(m∈R)，z2=2csθ−(λ+4sinθ)i(λ,θ∈R).
(1)若复平面内表示复数z1的点位于第一象限，求m的取值范围；
(2)若z1=z2，求λ的最小值．
16.(本小题15分)
已知平面向量a,b满足a=(1,2)，b=(−3,−3)，c=(x,3)．
(1)若(2a→+b→)//c→，求实数x的值；
(2)若(a→+c→)⊥b→，求b与c夹角θ的余弦值．
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，AO=OC= 2，BD=2，∠AOB=π4，且DO>BO，记∠ABO=α，∠CDO=β．
(Ⅰ)证明：AB=CD;
(Ⅱ)证明：sinα=sinβ;
(Ⅲ)记∠OCD=θ，若5sin2α=13−8 5sinθ，求sinθ的值．
18.(本小题17分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A−CD−P为直二面角．
(1)求证：PB⊥PD；
(2)求四棱锥P−ABCD体积的最大值；
(3)当四棱锥P−ABCD体积最大时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，正四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的正方形，平面α与底面ABCD平行且与四棱锥的四条侧棱(不含端点)分别交于点E，F，G，H，四棱台EFGH−ABCD与四棱锥P−ABCD的棱长和相等(“棱长和”指多面体的所有棱长之和)．
(1)若E是棱PA的中点，求四棱台EFGH−ABCD的体积；
(2)求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值；
(3)已知四棱柱Ω的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为θ00且4−m2>0，故0