2024-2025学年河南省郑州外国语学校高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省郑州外国语学校高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数f(x)=3x+ln2的导数为( )
A. 3xln3+12B. 3x+12C. 3xln3D. 3xln3
2.已知随机变量ξ服从正态分布N4,σ2，若P(2fπ3
C. fπ6> 3fπ3D. 2fπ6< 3fπ4
7.设A，B，C为一个随机试验中的三个事件且概率均不为0，则P(A)=P(B)的充要条件是( )
A. P(A∪B)=P(A)+P(B)B. P(B∪C)=P(A∪C)
C. P(AB)=P(AB)D. P(AC)=P(BC)
8.如图，这是一张圆形纸片，其半径R=2 3，剪掉周围的白色部分，将阴影部分折起，使得点Pi(i=1,2,…,6)重合于点P，得到正六棱锥P−ABCDEF，则该六棱锥体积的最大值是( )
A. 384 5125B. 192 5125C. 192 525D. 96 525
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若k∈Z，则函数f(x)=xkex的函数图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.甲、乙、丙、丁、戊5名大学生参加2024年南京半程马拉松志愿者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是( )
A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为240
C. 如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为300
D. 每项工作至少有1人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是126
11.已知函数f(x)=4x3−6x2+(2−a)x+2b，则下列结论正确的是( )
A. 当a=2时，若f(x)有三个零点，则b的取值范围是(0,1)
B. 当a=2且x∈(0,1)时，fcsx1)的极值点，则a1+a2−a3= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式(1+2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)若(1+2x)n=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+an(x+2)n，求i=1nai的值．
16.(本小题15分)
为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛．比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分．第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是23；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是14，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是12．
(1)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；
(2)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为X，求随机变量X的分布列和期望值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=e2x，g(x)= ax(a∈R，且a≠0)．
(1)若a>0，直线l:y=2x+m与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都相切，求a的值;
(2)若f(x)≥g(x)，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知不透明的盒子中有8个相同的乒乓球，球上标有数字1，2，3，…，8，有放回地随机抽取两次(每次抽取1个球)，记下球上的数字a，b，原点O(0,0)和点M(1,−1)，点N(a,b)．
(1)记事件A:OM⋅ON=0或OM⋅MN=0.求事件A发生的概率P(A)．
(2)记事件B:△MON的面积不大于5.求事件B发生的概率P(B)．
(3)记事件C:∠MON是锐角．事件D:△MON是锐角三角形．求在事件C发生的条件下事件D发生的概率PDC ．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx+x22−(a+1)x,a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)在区间2,e上的最小值；
(3)当a≤1时，判断函数f(x)的零点个数．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.D
5.A
6.C
7.C
8.B
9.BCD
10.ABD
11.ABD
12.25/0.4
13.115
14.−ln2/ln12
15.【详解】(1)依题意，Cn5⋅25=Cn6⋅26，即n!5!(n−5)!=2⋅n!6!(n−6)!，解得n=8，
所以(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项是第5项：C84(2x)4=1120x4．
(2)由(1)知，(1+2x)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a8(x+2)8，
取x=−2，得a0=38=6561，取x=−1，得a0+i=18ai=1，
所以i=18ai=1−a0=−6560．

16.【详解】(1)选手甲在该次比赛得分数为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；
进入低分组，答对4个问题，所以概率为：p=(23)3C42(34)2(14)2+C32(23)2(13)(12)4=13144．
(2)X的可能取值有0，20，40，60，80，
P(X=0)=C40(34)4=81256,P(X=20)=C41(34)3(14)1=108256，
P(X=40)=C42(34)2(14)2=54256,P(X=60)=C43(34)(14)3=12256，
P(X=80)=C44(14)4=1256，
所以分布列为：
所以E(X)=0×81256+20×108256+40×54256+60×12256+80×1256=20．

17.解：(1)设直线l:y=2x+m与曲线y=f(x)=e2x的切点坐标为(x0,y0)，
由于f′(x)=2e2x，则f′(x0)=2e2x0=2，
解得x0=0，y0=e2x0=1，则切点坐标为(0,1)，
直线l:y−1=2x，即y=2x+1，
由y=2x+1,y= ax,得4x2+(4−a)x+1=0，
由△=(4−a)2−16=0，解得a=8或a=0(舍去)，
当a=8时，得x=12，符合题意，
所以a=8．
(2)解： ①当a