河北省部分名校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省部分名校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. ，则x的值是（ ）
A 6B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
所以，解得或，
又，所以.
故选：C.
2. 科技创新小组有10名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是（ ）
A. 10B. 20C. 45D. 90
【答案】D
【解析】由题意可知，他们发出的微信总数是.
故选：D.
3. 已知某随机变量的分布列为下表，则（ ）
A. 0.2B. 0.56C. 0.7D. 0.84
【答案】B
【解析】由分布列的性质得，所以，
根据随机变量期望公式得，
.
故选：B.
4. 饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子.已知甲、乙两箱中各有3盒肉馅饺子，7盒素馅饺子，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】用事件表示“从甲箱中取出一盒肉馅饺子放入乙箱”，表示“从乙箱中随机取出一盒饺子，且取出的饺子是肉馅”，
则，，
则从乙箱取出的饺子是肉馅的概率是.
故选：A.
5. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. 和D. 和
【答案】C
【解析】由题意得，
令，得且，
故函数的单调递减区间是和.
故选：C.
6. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ）
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2025
【答案】A
【解析】因为
所以被10除得的余数为0，
而2020，2021，2022，2025被10除得的余数分别是0，1，2，5，
故的值可以是2020.
故选：A.
7. 将4名优秀教师分配到3个不同学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（ ）
A. 72种B. 48种C. 36种D. 24种
【答案】C
【解析】将4名教师分成三组，只有一种分法，即1，1，2，共有，
再排列得.
故选：C.
8. 设.则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】构造函数，其中，则，
令，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以当时，，
所以在上单调递增，
所以，
又，
所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机事件，下列说法正确的是（ ）
A. 若互斥，则
B. 若互斥，则
C. 若相互独立，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】若互斥，则，A正确；
若互斥，则，即，B错误；
当相互独立时，，，C正确；
若，则，所以，因为无法判断是否独立，
所以无法得到，D错误.
故选：AC.
10. 若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（ ）
A. eB. C. D.
【答案】BC
【解析】由题设，，又上不单调，
所以函数在上存在变号零点，
设，则，则在上单调递减，
所以，即，解得，则的取值范围是.
故选：BC.
11. 设随机变量的分布列为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】因为随机变量的分布列为，
由分布列的性质可知，
，
解得，
①，
②，
①-②得，.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，含项的系数是______.（用组合数表示）
【答案】
【解析】根据的展开式中含项的系数为；
的展开式中含项的系数为；的展开式中含项的系数为；
……的展开式中含项的系数为；
故含项的系数是.
故答案为：.
13. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为.
【答案】31
【解析】第行从左到右第8个数为，第9个数为，
依题意得，即，解得.
故答案为：31.
14. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.传输方案为三次传输.三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.若发送0，则依次收到0，0，1的概率为______；若发送1，则译码为1的概率为______.
【答案】；
【解析】三次传输，发送0，相当于依次发送0，0，0，则依次收到0，0，1的事件，
是发送0接收0，发送0接收0，发送0接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为；
三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，
所以所求的概率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球.
（1）求三种颜色的球都被摸出的概率；
（2）记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望.
解：（1）从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种，
三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种，
故三种颜色的球都被摸出的概率；
（2）由题可知，的取值可能为
且，
，
的分布列为
.
16. 在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列.
（1）求n的值；
（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
解：（1）在的展开式中，第2项，第3项，第4项的二项式系数分别为，
因为的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，
所以，即，
化简得：，因为，
所以，解得或.
当时，展开式只有3项，不符合题意，所以.
（2）因为，
所以当时为有理项，总共有8项，
由插空法可得有理项不相邻的概率为.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）如果函数在定义域内单调递减，求实数t的取值范围.
解：（1）因为函数，
则当时，，
.
令，解得（舍去），
由得，
所以的单调递增区间为.
（2）因为函数，，
则，
函数在定义域内单调递减，
对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
当时，，
，
即实数的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）求函数的极值点；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）函数，定义域为，
，易知在单调递增，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故是函数唯一的极小值点，无极大值点.
（2）若对任意的恒成立，
即在上恒成立，
则在上恒成立，
令，
则，
令，
则，易知单调递增，且.
当时，，
在上单调递增且，
故当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
故当时，取得极小值，也是最小值，则，
所以实数的取值范围为
19. 某学校有两家餐厅，王同学开学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天继续去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，如此往复.
（1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
（2）记王同学第n天去A餐厅用餐概率为，写出关于的表达式；
（3）证明数列是等比数列，并求出的通项公式.
解：（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅，
根据题意得，
所以；
（2）设表示第天去餐厅用餐，则，
根据题意得，
由全概率公式得，，
即；
（3）由整理得，，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即.
0
1
0.2
0.4
1
2
3