2024-2025学年广东省联考高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省联考高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.小明计划从福建到北京旅游，沿途要经过上海中转，已知小明从福建到上海有3种出行方式，从上海到北京有4种出行方式，则小明从福建到北京的出行方式有( )
A. 6种B. 7种C. 12种D. 18种
2.已知数列{an}满足a1=a2=12，若an+2=1an+an+1−2，则a4=( )
A. −4B. −2C. 0D. 4
3.已知小明和小红参加学校组织的兴趣小组活动，已知两人同时报名围棋兴趣小组的概率为13，且在小明已报名围棋兴趣小组的条件下，小红报名围棋兴趣小组的概率为45，则小明报名围棋兴趣小组的概率为( )
A. 25B. 35C. 415D. 512
4.若函数f(x)=ae2x−ex在区间[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,12e]B. (−∞,12]C. (−∞,12e)D. (−∞,12)
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=5，4S3=15，则{an}的公比为( )
A. −14B. −34C. −12D. −2
6.已知三棱柱ABC−A1B1C1如图所示，其中A1M=2MA，若点N为棱B1C1的中点，则MN=( )
A. 13AA1+23AB+12AC
B. 23AA1+13AB+12AC
C. 13AA1+12AB+12AC
D. 23AA1+12AB+12AC
7.小明计划从A地到B地，途经4个旅游景点，其按照A−1−2−3−4−B的顺序方式出行，其中从A地到第1个景点以及第1个景点到第2个景点，他可以选择地铁或者滴滴打车这两种出行方式，从第2个景点到第3个景点以及第3个景点到第4个景点，他可以选择滴滴打车或者共享单车这两种出行方式，从第4个景点到B地可以选择巴士或者动车这两种出行方式，则小明从A地到B地用到了四种不同的出行方式的方案有( )
A. 12种B. 14种C. 16种D. 18种
8.已知点A在圆C：x2+y2−10x−4y+29−m2=0(m>0)上，直线l：6x+y+12=0与两坐标轴分别交于M，N两点，若存在点A使得AM⊥AN，则m的取值范围为( )
A. [4,16]B. [10− 37,10+ 37]
C. (0,10+ 37]D. (0,10− 37]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，点M(x0,y0)在C上，则( )
A. F(3,0)B. C的准线方程为y=−3
C. 若|MF|=8，则x0=5D. 以MF为直径的圆与y轴相切
10.小明和小强等6位同学去电影院观影，已知电影院一排有6个位置，若这6位同学坐在一排，则( )
A. 不同的坐法有720种
B. 若小明和小强坐在一起，则不同的坐法有240种
C. 若小明和小强不坐在一起，则不同的坐法有240种
D. 若小明在小强的左边，则不同的坐法有300种
11.伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利⋅雅各布提出，其形式为：∀x>−1，n>0，则(1+x)n≥1+nx，基于上述事实，则( )
A. 若n=3，则当且仅当x=0时伯努利不等式的等号成立
B. ∃x>−15，(1+x)4+ex5x+1−1且1+λx>0时，若不等式(1+x)5≥ln(1+λx)+1恒成立，则λ=5
D. ∀n∈N∗，i=1n(2i+12i)i≥n+2−n+22n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23=69，则a11+a13= ______．
13.已知函数f(x)=x2+lnx−ax，若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+4y−1=0相互垂直，则a= ______．
14.在一堂数学选修课上，老师和学生玩一个数学游戏，老师将一根彩色粉笔放入A，B，C，D四个盒子中的某一个，让学生猜测粉笔在哪个盒子中，在学生作出选择之后，数学老师会随机在其他三个盒子中先揭示一个没有粉笔的盒子，询问学生是否改变选择，在学生最终敲定选择后，老师揭示答案，若该同学选择了A盒为答案，则在数学老师揭示粉笔不在B盒的条件下，粉笔最终在D盒的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=9x3−8lnx．
(1)求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
16.(本小题15分)
已知数列{3an}的前n项积为Tn，其中Tn=3n2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，数列{bn}的前n项和为Rn，求使得Rn>0.45的n的最小值．
17.(本小题15分)
已知(3x+1)(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8．
(1)求a0的值；
(2)求a3的值；
(3)求a0+a2+a4+a6+a8的值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x，且C过点(2,− 2)．
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，A(−2,0)，点M，N在C的左支上，点P在C的右支上，若M，N，A三点共线，且O，M，P三点共线，证明：直线NP与圆C′：x2+y2=a2相切．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x3+ax2+6ax．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间[−1,5]上有3个零点，求实数a的取值范围；
(3)若a∈Z，求使得关于x的不等式f(x)2≥x32+x+lnx3恒成立的a的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.A
5.C
6.D
7.C
8.B
9.ACD
10.AB
11.ACD
12.6
13.−1
14.38
15.解：(1)依题意，导函数f′(x)=27x2−8x，
因此f′(1)=27−8=19，
而f(1)=9，
因此所求切线方程为y−9=19(x−1)，即19x−y−10=0．
(2)令导函数f′(x)=27x3−8x=0，解得x=23，
因此当x∈(23,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(0,23)时，f′(x)920，可得20n>18n+9，解得n>92，
因为n∈N∗，故满足条件的n的最小值为5．
17.解：(1)在(3x+1)(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8中，令x=0，得a0=−1；
(2)(2x−1)7展开式的通项Tr+1=(−1)rC7r27−rx7−r，
则a3=−3⋅C75⋅22+1⋅C74⋅23=−252+280=28；
(3)在(3x+1)(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8中，
令x=1，可得4=a0+a1+a2+a3+⋯+a8，①
令x=−1，可得−2×(−3)7=a0−a1+a2−a3+⋯+a8，②
两式相加可得，a0+a2+a4+a6+a8=4+2×372=2+37=2189．
18.解：(1)因为双曲线C渐近线方程为y=±x，且C过点(2,− 2)，
所以a=b4a2−2b2=1，解得a2=b2=2，
故双曲线C的方程为x22−y22=1．
(2)证明：如图，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
当x1≠x2时，因为O，M，P三点共线，故M，P关于原点对称，则P(−x1,−y1)，
则kNM⋅kNP=y2−y1x2−x1⋅y2+y1x2+x1=y22−y12x22−x12=(x22−2)−(x12−2)x22−x12=1，
设直线MN的方程为x=my−2，则kNP=m，
联立x=my−2x2−y2=2，消去x得(m2−1)y2−4my+2=0，Δ=8m2+8>0，
则y2=4m± 8m2+82(m2−1)=2m± 2m2+2m2−1，①
直线NP的方程为y=m(x−x2)+y2，
则O到MN的距离d=|y2−mx2| m2+1=|y2−m(my2−2)| m2+1=|(1−m2)y2+2m| m2+1，②
联立①②，解得d= 2，
而圆C′的半径为a= 2，故直线NP与圆C′相切；
当x1=x2时，易知直线NP的方程为y=± 2，与圆C′相切．
综上所述，直线NP与圆C′：x2+y2=a2相切．
19.解：(1)依题意，x∈R，f′(x)=3x2+2ax+6a，
则Δ=4a2−4×3×6a=4a(a−18)，
若△≤0，即0≤a≤18时f′(x)≥0，故f(x)在R上单调递增；
若△>0，即a18时，令f′(x)=3x2+2ax+6a=0，
则x1=−a− a2−18a3，x2=−a+ a2−18a3
故当x∈(−∞,x1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(x1,x2)时，f′(x)0，f(x)单调递增．
综上所述，若0≤a≤18，则f(x)在R上单调递增；若a18，则f(x)在(−∞,−a− a2−18a3)和
(−a+ a2−18a3,+∞)上单调递增，在(−a− a2−18a3,−a+ a2−18a3)上单调递减；
(2)令f(x)=0，则x3+ax2+6ax=0，
显然x=0是f(x)的一个零点，则x2+ax+6a=0在区间[−1,5]上有2个非零零点，
则a=−x2x+6，x∈[−1,5]，令m(x)=−x2x+6，则m′(x)=−x(x+12)(x+6)2，
故当x∈[−1,0)时，m′(x)>0，m(x)单调递增；
当x∈(0,5]时，m′(x)