初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程习题

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程习题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
【考点一】一元一次方程的解✮✭求参数✮✭整体思想
1．（2011·新疆乌鲁木齐·中考真题）关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为
A．B．0C．1D．或1
2．（2017·浙江温州·中考真题）我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ）
A．，B．，
C．D．
【考点二】一元一次方程的定义✮✭根的判别式
3．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
4．（2020·广东广州·统考中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
【考点三】一元一次方程的解✮✭韦达定理✮✭根的判别式✮✭整体思想
5．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
6．（2021·四川宜宾·统考中考真题）若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A．4B．5C．6D．12
【考点四】一元一次方程的解法➽➼配方法➽➼应用
7．（2019·山东滨州·统考中考真题）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A．B．C．D．
8．（2010·江苏泰州·中考真题）已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P>QB．P=QC．P0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
4．D
【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
解：∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点拨】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
5．A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
解：解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,
∴
∵是方程的两个实数根,
∵，
又
∴
把代入整理得,
解得,
故选A
【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．
6．C
【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，
∴m＋n＝−3，mn＝−9，
∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，
∴m2＋3m−9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．
故选：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．
7．D
【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.
解：
，
，
，
故选D．
【点拨】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
8．C
解：Q-P=＞0，即，故选C.
9．A
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出m的值．
解：∵关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m>−1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2−(m+2)x+=0的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴m=2或−1，
∵m>−1，
∴m=2．
故选：A．
【点拨】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的不等式组；(2)牢记，．
10．C
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
解：，
整理得：，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，
∵，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
11．A
【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．
解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选A．
【点拨】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.
12．C
【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点拨】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
13．A
【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字，即可得出关于x的一元二次方程．
解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
依题意得：．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．C
【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
解：设这种植物每个支干长出个小分支，
依题意，得：，
解得： （舍去），．
故选C．
【点拨】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
15．B
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积．
解：，
所以，，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为，
∴菱形的面积．
故选B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．
16．A
解：试题解析：本题主要考查一元二次方程，设原正方形空地的边长为 m，则剩余的面积可以表示为 ，即，解得 （不符合题意）.所以原正方形的边长为7 m，故选A.
17．C
【分析】设房价比定价180元增加x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
解：设房价比定价180元增加x元，
根据题意，得．
故选：C．
【点拨】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
18．C
【分析】2021年的产量=2019年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解：2020年的产量为50（1+x），
2021年的产量为50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
即所列的方程为50（1+x）2=75．
故选：C．
【点拨】考查列一元二次方程；得到2021年产量的等量关系是解决本题的关键．
19．8
【分析】直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为8．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
20．-1
解：试题解析：把代入，
得，
解得：
故答案为
21．①③
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．
解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，所以x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③．
22．1或2##2或1
【分析】由直线解析式求得，然后确定判别式的符号即可．
解：∵直线不经过第一象限，
∴，
当时，方程是一次方程，有一个根，
当时，
∵关于x的方程，
∴，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
故答案为：1或2．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
23．2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．
解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
24．
【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．
解：∵是方程的根
∴，
∴
∴k=-4
故答案是-4．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．
25．6
【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
解：∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时，取得最小值为6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
【点拨】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
26．(x＋2)2＋1
解：原式=+4x+4+1=
故答案为：
27．10
【分析】由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．
解：根据题意，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴；
故答案为：10．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到，．
28．-2017
【分析】根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可得出结论．
解：∵、是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为-2017．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
29．x（x﹣1）=21
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．
解：有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为x（x﹣1）=21．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
30．20
【分析】设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为，再倒出xL后，倒出纯药液•x，利用40﹣x﹣•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．
解：设每次倒出液体xL，由题意得：
40﹣x﹣•x=10，
解得：x=60（舍去）或x=20．
答：每次倒出20升．
故答案为20．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用．
31．4
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据一人患病经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程求解即可．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，
由题意得
解得或（舍去）
所以，每轮传染中平均一个人传染了4人
故答案为：4．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
32．
【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．
解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
33．
【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
34．2或5
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴AB=10
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D
∴BD=DB′，AB′=AB=10
如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F
设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x
在Rt△AFB′中，
由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8-x）2=102
解得：x1=2，x2=0（舍去）
∴BD=2
如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合
∵AB′=10，AC=6
∴B′E=4
设BD=DB′=x，则CD=8-x
在Rt△′BDE中，
DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42
解得：x=5
∴BD=5
综上所述，BD的长为2或5，
故答案为：2或5．
35．7.5
【分析】设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，再根据利润=每千克盈利×日销售量，列出y与x的函数关系式，然后配方求最值即可．
解：设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，
根据题意得：
当时，y取得最大值，最大值为6 125．
所以要使商场每天获利最多，每千克应涨价7.5元．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论．
36．4
【分析】由去年这种水果批发销售总额为10000元，可得今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元，可列出方程：，求得x即可
解：设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为（x+1）元
今年的批发销售总额为10000（1+20%）=12000元
∴
整理得x2-x-12=0
解得x=4或x=-3
经检验x=4或-3都是分式方程的解（x=-3不合题意，舍去）．
故这种水果今年每千克的平均批发价是4元．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．