初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程课时训练

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程课时训练，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022·浙江温州·统考中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36B．C．9D．
2．（2022·青海·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ）
A．4B．C．3D．
3．（2019·山西·统考中考真题）一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·湖南郴州·统考中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
5．（2022·江苏淮安·统考中考真题）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ）
A．B．C．0D．1
6．（2022·西藏·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1
7．（2022·四川巴中·统考中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．B．C．且D．且
8．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
10．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．（2022·广西梧州·统考中考真题）一元二次方程的根是_________．
12．（2022·湖南娄底·统考中考真题）已知实数是方程的两根，则______．
13．（2021·山东济南·统考中考真题）关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．
14．（2021·广西梧州·统考中考真题）关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___．
15．（2022·江苏镇江·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________．
16．（2021·江苏南通·统考中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
17．（2021·四川成都·统考中考真题）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
18．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
19．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 _____.
20．（2022·青海·统考中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
三、解答题
21．（2022·广东广州·统考中考真题）已知T=
(1) 化简T；
(2) 若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
22．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
23．（2022·湖北随州·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1) 求k的取值范围；
(2) 若，求k的值．
24．（2021·湖北荆州·统考中考真题）已知：是不等式的最小整数解，请用配方法解关于的方程．
25．（2021·湖北黄石·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
26．（2021·山东菏泽·统考中考真题）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
参考答案
1．C
【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．
解：∵方程有两个相等的实数根
∴
解得
故选：C．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
2．B
【分析】根据方程根的定义，将代入方程，解出m的值即可．
解：关于x的方程的一个根为，
所以，
解得．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
3．C
【分析】先把-1移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式．
解：
故选C．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(n≥0)的形式，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．A
【分析】根据即可判断．
解：，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点拨】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．
5．A
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
故选：A.
【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
6．D
【分析】方程为一元二次方程，二次项系数不能为0，方程有实根，△≥0，综合以上两方面进行计算即可．
解：解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1．
故选D．
【点拨】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围．注意不要忽略一元二次方程的系数不为0这一条件．
7．A
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．
8．C
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
9．A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键．
10．A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．，
【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
解：由题意可知：或，
∴或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
12．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案．
解： 实数是方程的两根，

故答案为：
【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键．
13．-3
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
14．＜且.
【分析】由一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列不等式＞再解不等式即可得到答案.
解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
且＞
由＞
可得＜
＜
综上：＜且，
故答案为：＜且.
【点拨】本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别式求解字母系数的取值范围是解题的关键.
15．4
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可．
解：根据题意得，
解得m=4．
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．
16．3
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
17．-3．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
18．##-0.125
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
19．12
【分析】解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可．
解：∵第三边的长是方程的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12．
故答案为12．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键．
20．
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21．(1)；(2)T=
【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到，整体代入即可求解．
（1）解：T=
=；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
则T=．
【点拨】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
22．（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；
（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．
解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
23．(1) (2) 2
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；
（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得．
（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得．
（2）解：由题意得：，
解得或，
由（1）已得：，
则的值为2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．
24．，
【分析】先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可
解：∵；
∴；
∴；
∴；
∵是不等式的最小整数解，
∴；
∴关于的方程；
∴；
∴；
∴；
∴，．
【点拨】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．
25．（1）；（2）
【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可；
（2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案．
解：（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是．
（2）由可得：
∵；
∴
解得：或
∵
∴
即的值为-2．
【点拨】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．
26．29元．
【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．
解：设这种水果每千克降价元，
则每千克的利润为：元，销售量为：千克，
整理得，
或，
要尽可能让顾客得到实惠，
即售价为（元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．