初中浙教版（2024）一元二次方程练习题

这是一份初中浙教版（2024）一元二次方程练习题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
2．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
3．用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．化为B．化为
C．化为D．化为
4．用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
5．三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．B．10C．D．或10
6．若实数m、n满足，则的值为（ ）
A．2B．6C．6或﹣2D．6或2
7．若关于的一元二次方程有实数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，设平均每次增长的百分数为x，那么x应满足的方程是（ ）
A． B．
C．D．
9．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．B．C．D．
10．已知m，n是方程的两个根.记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、填空题
11．一元二次方程较大的根是______.
12．方程是关于的一元二次方程，则___________．
13．用换元法解方程，若设，则原方程可化为关于的整式方程为___________
14．已知 ， （ ）是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 _____．
15．若a，b分别是方程的两根，则______________．
16．卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，则该小组有___________支球队．
17．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为．若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）．
18．已知一元二次方程．下列说法：
①若，则方程一定有两个不相等的实数根；
②若，则一定是这个方程的实数根；
③若，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若c是方程的一个根，则一定有成立，
其中正确的是________（填相应序号）
三、解答题
19．用适当的方法解下列方程：
(1) (2)
20．解方程：
(1) （公式法）；(2) （配方法）；
(3) ；(4) ．
21．已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 当取最大整数值时，求该方程的解．
22．已知关于x的一元二次方程．
(1) 若该方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
(2) 设方程两根为，，是否存在实数k，使？若存在，求出实数k；若不存在，请说明理由．
23．阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设
则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题：
已知实数、满足，求的值．
解方程．
若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数为 ．
24．国庆节期间，某网店直接从工厂购进A，B两款保温杯，进货价和销售价如表：（注：利润＝销售价﹣进货价）
网店第一次用1540元购进A，B两款保温杯共50个，求两款保温杯分别购进的个数；
第一次购进的保温杯售完后，该网店计划再次购进A，B两款保温杯共110个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3360元，则全部售完购进的保温杯，该网店可获得的最大利润是 元；
国庆节过后，网店打算把B款保温杯降价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，那么将销售价定为每件多少元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元？
参考答案
1．A
【分析】根据是关于x的一元二次方程的一个根，将代入得到，解得，从而确定答案．
解：是关于x的一元二次方程的一个根，
将代入得到，解得，
故选：A．
【点拨】本题考查一元二次方程根的定义以及解一元一次方程，熟练理解方程根的定义是解决问题的关键．
2．B
【分析】根据，得故；根据，故，从而得到，，从而得解．
解：因为，
所以，
故；
因为，
所以，
所以，
因为关于x的方程的解是，
所以，，
所以．
故选B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．D
【分析】根据配方法求解一元二次方程的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案.
解：∵
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
∵
∴
∴，故选项B错误，不符合题意；
∵
∴
∴
∴，故选项C错误，不符合题意；
∵
∴
∴
∴，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法求解一元二次方程的性质，从而完成求解．
4．A
【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论．
解：设围成矩形的长为厘米，
∴围成矩形的宽为：，
∴
，
∵
∴
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴的值不可能为．
故选：A．
【点拨】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键．
5．A
【分析】直接利用公式法解方程，再利用三角形三边关系即可得出答案.
解：，，
∴，
解得：，，
∵，
∴2，3，5无法构成三角形，
∴这个三角形的三边长为：2，3，，
其周长为：.
故选A.
【点拨】本题考查了三角形三边关系以及公式法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.
6．B
【分析】令，得，解一元二次方程即可．
解：令，
则原方程为：，
则，，
所以，，
故的值为6或﹣2，
∵，
∴的值为6，
故选B．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的求解，了解一元二次方程的求解方法是解题的关键．
7．B
【分析】先根据一元二次方程有实数解，求出满足题意的的取值范围；再根据关于的分式方程有正数解，可进一步求出满足分式方程的的取值范围，两者求共同部分即可，注意需要验证的取值是否符合题意．
解：∵关于的一元二次方程有实数解，
∴
解得：且
∵
∴
∴
∴
∵方程有正数解
∴
解得：
∴且
∵为整数
∴可取、、0
又∵时，，经检验：当时，，故舍去
∴符合条件的整数a有2个
故选：B
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的情况、解含参数的分式方程，熟练掌握对应得知识点是解题的关键．
8．C
【分析】设平均每次增长的百分数为x，根据“某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价”，得到商品现在的价格，根据“某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x”，得到商品现在关于x的价格，整理后即可得到答案．
解：设平均每次增长的百分数为x，
∵某商品原价为100元，第一次涨价，第二次在第一次的基础上又涨价，
∴商品现在的价格为：，
∵某商品原价为100元，经过两次涨价，平均每次增长的百分数为x，
∴商品现在的价格为：，
∴，
整理得：，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
9．D
【分析】根据，利用二次根式有意义的条件可得出，然后分或两种情况解方程，可得出所有符合条件的整数的值，最后求和即可．
解：∵，
∴，即，
当时，原方程为，
解得：，
当时，，
∵
∴，
∴，，
∵方程的根都是整数，且为整数，
∴或或或，
∴或或或，
又∵，
∴可取或或，
综上所述，满足条件的整数为：或或或，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式的有意义的条件，一元二次方程的解法，整除性．运用了分类讨论的解题方法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
10．B
【分析】由一元二次方程根与系数关系得，再计算得，，…，，从而得到，由题意得，求解即可得解．
解：∵m，n是方程的两个根，
∴，
∴，
，
…..
，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
∵t为正整数，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，分式化简求值，熟练掌握解一元二次方程和一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
11．
【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
解：，
，
或，
解得，，
所以方程较大的根是．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法因式分解．
12．
【分析】根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值．
解：方程是关于的一元二次方程，
，且，
解得；
故答案是：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
13．
【分析】由于方程中含有，故设，代入方程后，把原方程化为整式方程．
解：设，
则，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了数学中的换元思想，用换元法解分式方程，能够使方程简单，因此应根据方程特点选择合适的方法．
14．2022
【分析】根据一元二次方程根的定义得到 ，则 ，再利用根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m是一元二次方程 的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴．
故答案为：2022．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握，若 ， 是一元二次方程 （ ）的两根时， ， ．
15．##
【分析】根据a，b分别是方程的两根，得出，，将变形得出，然后变形，最后代入求值即可．
解：∵a，b分别是方程的两根，
∴，，
∴，
即，
∴
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系，得出，，注意整体代入思想的应用．
16．4
【分析】设该小组有x支球队，根据每两队之间进行一场比赛，可知共比赛了场，由此列一元二次方程，即可求解．
解：设该小组有x支球队，
由题意知：，
整理，得，
解得（舍去），，
即该小组有4支球队．
故答案为：4．
【点拨】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系列出一元二次方程．
17．
【分析】根据题意可直接进行列方程．
解：由图及题意可列方程为，化为一般式为；
故答案为．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
18．①②③
【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解．
解：①∵，，
∴a、c异号，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，故①正确；
②∵当时，，
∴时，一定有一个根是1，故②正确；
③∵，
∴，
当a，c异号时，，
∴，
∴，
当a，c同号时，，且，
∴，
∴，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④∵c是的一个根，
∴，
∴，
∴或，故④错误．
∴正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题关键．
19．(1) ，(2) ，
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
解：（1）
解得，，
（2）
解得，，
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
(1) ，(2) ，
(3) ，(4) ，
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（1）利用配方法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用配方法求解即可．
（1）解： ，
，
，，，
，
． ，
，；
（2）解：，
，
，即，
，
，；
（3）解：，
，
，
或，
，；
（4）解：，
，
，即，
，
，．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
21．(1) (2) ，
【分析】（1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围；
（2）根据的取值范围可求值，解方程即可．
（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得；
（2）解：，
的最大整数值为1，
原方程为，
，
，，
，．
【点拨】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，熟知一元二次方程中，当△时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．
22．(1) (2) 不存在，理由见分析
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系可得，求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，再根据，求解即可．
（1）解：由方程有两个不相等的实数根可得，，
解得；
（2）解：不存在，理由如下：
，
由一元二次方程根与系数的关系可得，，，
，即，
解得，
由（1）得，，而，则不存在．
【点拨】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确列出等式和不等式．
23．(1) (2) ，，，．(3)2，3，4，5
【分析】（1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得；
（2）设，则原方程可化为，解方程求得或2，再分别求得的值即可；
（3）设最小的正整数为，则另三个分别为、、，根据题意可得方程，整理为，设，则原方程变为，解方程求得或10，由于是正整数，可得，所以，再解方程求得的值即可．
（1）解：设，则，
，即，
，
，
，
．
（2）解：设，则原方程可化为：．
解得：，，
当时，，
；
当时，，
．
原方程的解是：，，，．
（3）解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
，
，
，（舍去），
这四个整数为2，3，4，5．
【点拨】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键．
24．(1) 购进A款保温杯20个，B款保温杯30个(2) 1440(3) 将销售价定为每件34元或36元时，才能使B款保温杯平均每天销售利润为96元
【分析】（1）设购进款保温杯个，款保温杯个，由题意：网店第一次用1540元购进，两款保温杯共50个，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进个款保温杯，则购进个款保温杯，由题意：进货总价不高于3360元，列出一元一次不等式，解得．设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设款保温杯的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款保温杯平均每天销售利润为96元，列出一元二次方程，解方程即可．
解：（1）解：设购进款保温杯个，款保温杯个，
依题意得：，
解得：，
答：购进款保温杯20个，款保温杯30个．
（2）解：设购进个款保温杯，则购进个款保温杯，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
即网店可获得的最大利润是1440元．
（3）解：设款保温杯的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件34元或36元时，才能使款保温杯平均每天销售利润为96元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．类别
价格
A款保温杯
B款保温杯
进货价（元/个）
35
28
销售价（元/个）
50
40