浙教版（2024）八年级下册一元二次方程练习

这是一份浙教版（2024）八年级下册一元二次方程练习，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则（ ）
A．1B．C．1或D．无法确定
2．方程的一个实数根为m，则的值是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4．若方程中，，，满足和，则方程的根是（ ）
A．，B．，
C．，D．无法确定
5．若方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．
A．且B．且C．且D．且
6．关于x的一元二次方程的一根比另一根大2，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．临近春节某干果店迎来了销售旺季，月的第一周销售额为万元，第三周的销售额为万元，设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）
A． B．C．D．
10．下列一元二次方程中，根是的是（ ）
A． B．C．D．
二、填空题
11．方程是关于的一元二次方程，则___________．
12．方程的解是__________．
13．若一元二次方程的两个根是，则的值为_________．
14．已知方程和有共同的根，则______．
15．当_____时，代数式有最小值为______．
16．若，则_____．
17．有1个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，那么平均每轮传染 _____人．
18．如图， cm，OC是一条射线，，一只蚂蚁由A点以1cm/s速度向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以2cm/s的速度沿OC方向爬行，则_______秒钟后，两只蚂蚁所处位置与O点组成的三角形面积为100．
三、解答题
19．解方程：
(1) (2)
20．（1）用配方法解方程；（2）用公式法解方程：.
21．关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 若k为正整数，求此时方程的根．
22．已知方程是关于的一元二次方程．
(1) 求证：对于任意实数方程中有两个不相等的实数根．
(2) 若，是方程的两根，，求的值．
23．我们在求解一元二次方程时将其降次转化为一次方程进行求解．降次的方法教科书中介绍了两种：一种是开平方，另一种是因式分解．其实，降次的方法不止这两种，例如：解方程时，通过设将方程化为，从而将一元四次方程转化为一元二次方程，通过解这个一元二次方程，求得原方程的解，这种方法称为换元法．利用上述方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
24．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
(1) 连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2) 若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
参考答案
1．A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程列出关于系数的新方程，通过解方程即可求得的值．
解：关于的方程是一元二次方程，
，
．
根据题意，知满足关于的一元二次方程，
则，即，
解得，（不合题意，舍去），或．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意：此题属于易错题，一元二次方程的二次项系数不为零．
2．A
【分析】根据一元二次方程解的定义，可得，再代入，即可求解．
解：∵方程的一个实数根为m，
∴，
∴，
∴．
故选：A
【点拨】本题主要考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
3．A
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：,
方程有两个不相等的两个实数根
故选：A
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根；解题关键是掌握一元二次方程根的判别式．
4．C
【分析】根据题意，当时，，当时，，则方程的根是，．
解：根据题意，当时，，当时，
∴方程的根是，，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解题意是解题的关键．
5．B
【分析】根据方程的判别式即可得到答案．
解：∵方程有两个实数根，
∴∆，且，
∴且，
故选：B．
【点拨】此题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键．
6．A
【分析】利用因式分解法求出，，再根据根的关系即可求解．
解：解，
∴，
∴或，
解得，，
∴，
解得，
故选A．
【点拨】此题主要考查解一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
7．C
【分析】根据配方法的步骤：方程加上一次项系数一半的平方，再减去这个数的平方，即可完成配方．
解：原方程可化为：，
即；
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的过程是关键．
8．B
【分析】设这两周销售额的周平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
解：设这两周销售额的周平均增长率为，则根据题意，可列方程为，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
9．A
【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可
解：原方程可化为 ，整理为 ．
故答案为：A
【点拨】本题考查换元法解方程，灵活运用即可．
10．A
【分析】根据求根公式解答即可．
解：由知：
，
该一元二次方程为：，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．
11．
【分析】根据一元二次方程的定义知，，且，据此可以求得的值．
解：方程是关于的一元二次方程，
，且，
解得；
故答案是：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
12．
【分析】利用因式分解法求解可得．
解：移项得： ，
，
则或，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
13．
【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．
解：解∶是一元二次方程的两个根，
故答案为∶．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
14．
【分析】把共同的根代入方程和中，解二元一次方程组，求出和的值即可．
解：把代入得，
解得，，
所以．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，代入公共根，解方程组求出待定系数的值．
15． 3
【分析】根据偶次方的非负性可知，当时有最小值，进而可求解．
解：，
当时代数式取得最小值，最小值为，
即时，代数式的最小值为，
故答案为：3；．
【点拨】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．
16．1
【分析】设，则方程化为，求出a的值，即可得出的值，代入求出即可．
解：，
，
设，
则化为，
解得：，
即，
所以．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是要将原式变形，设，得到一元二次方程．
17．5
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程，然后求解即可．
解：设平均每轮传染人，
，
解得 (不符合题意，舍去)，
答：平均每轮传染5人，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
18．10或
【分析】可以分两种情况进行讨论：（1）当蚂蚁在上运动；（2）当蚂蚁在上运动．根据三角形的面积公式即可列方程求解．
解：有两种情况：
（1）如图1，当蚂蚁在上运动时，
设x s后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，
由题意，得，
整理，得，
解得；
（2）如图2，当蚂蚁在上运动时，
设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为100，
由题意，得，
整理，得，
解得，（舍去）．
答：10s或s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为100．
故答案为：10或．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．分两种情况进行讨论是难点．
19．(1) ，(2) ，
【分析】（1）先移项，然后因式分解，即可；
（2）先算出，然后根据，即可．
解：（1），
解：，
，
，
，．
（2）
解：，，，
∴，
∴，．
【点拨】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，因式分解和公式法．
20．（1），；（2），
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）直接套公式进行求解即可．
解：（1）移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
，
所以原方程的解为：；
（2）
所以原方程的解为：．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
21．(1) (2) ，
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）由（1）可得．从而得到该方程为，再利用因式分解法解答，即可求解．
（1）解：∵有两个不相等的实数根，
∴，即．
解得．
（2）解：由（1）得，，
又∵k为正整数，
∴．
∴该方程为．
解得，．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法是解题的关键．
22．(1) 见分析(2)
【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴对于任意实数，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴原方程为，
∵，是方程的两根，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
23．(1) ，(2) ，，，
【分析】（1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解；
（2）设，则或，由此即可求解．
解：（1）设，则原方程化为，
∴或，
当时，，
∴，，
当时，，此时方程无解，
∴原方程的解是，．
（2）解：设，则原方程化为，
∴或，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，．
∴原方程的解是，，，．
【点拨】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．
24．(1) 每次下降的百分率为；(2) 每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【分析】（1）设每次降价的百分率为，列出方程求解即可；
（2）设每千克涨价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
（1）解：设每次下降百分率为，
根据题意，得，
解得：， (不合题意，舍去)．
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克涨价x元，
由题意得：
解得：或，
∵商场规定每千克涨价不能超过8元，
∴，
答：每千克水果应涨价5元，盈利6000元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．