初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程综合训练题

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级下册一元二次方程综合训练题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，为一元二次方程的两个实数根，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是（ ）
A．B． C． D．
3．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（ ）
A．3B．1C．D．
4．已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根
5．两根均为负数的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
6．如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（ ）
A．2023B．2027C．2028D．2029
7．如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．若m，n是方程x2－x－2 022＝0的两个根，则代数式（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）的值为（ ）
A．2 023B．2 022C．2 021D．2 020
10．下列说法正确的个数是( )
①已知一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，若a+b+c=0，则b2-4ac>0；
②若一元二次方程ax2+bx+c=0=0 (≠0)，方程两根为-1和2，则=0；
③方程的两根之和为-2，两根之积为-7；
④方程的两根之和为2，两根之积为7．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则该方程的另一个根是______．
12．已知实数a、b（），且，；则的值是___________；
13．如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式=___．
14．方程与的所有根的和为______．
15．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则a=________．
16．已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是_________．
17．若关于的一元二次方程 ，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为________________________．
18．已知一元二次方程中，下列说法：
①若，则；
②若方程两根为-1和2，则；
③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根；
④若，则方程有两个不相等的实数根．
其中正确的有______．（填序号）
三、解答题
19．己知一元二次方程的两个实数根为，．
求证：
________；________；
；
20．已知关于的方程．
(1) 当取什么值时，一元二次方程没有实数根？
(2) 对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的差的平方．
21．已知关于x的方程；
(1) 求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；
(2) 当等腰的一边长为4，另外两边b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长以及m的值．
22．已知关于x的一元二次方程①有两个实数根，．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 从因式分解法可知，方程①也可转化为②．把方程②的左边展开化成一般形式后，可以得到方程①两个根的和、积与系数分别有如下关系：______，______；（用含k的式子表示）
(3) 是否存在实数k，使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
23．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是，；
第2个方程：，方程的两个根分别是，；
第3个方程：；方程的两个根分别是，；
第4个方程：；方程的两个根分别是，；
……
请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ．
如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少．
24．阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_________．
类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
思维拓展：已知实数、满足，，且，求
的值．
参考答案
1．D
【分析】先利用一元二次方程根和系数的关系求得，将代入方程得到，利用因式分解法解方程即可得到答案．
解：，为一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
一元二次方程，
，
，，
故选D．
【点拨】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程根和系数的关系：，．
2．B
【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可．
解：因为是一元二次方程的实数根，
则，，
故选：B．
【点拨】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记， ．
3．B
【分析】设、是的两根，根据根与系数的关系，得出，再根据倒数的定义，得出，再利用等量代换，得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的的值．
解：设、是的两根，
∴根据根与系数的关系，可得：，
∵方程的两根互为倒数，
∴可得，
∴，
解得：，
∵方程有两个实数根，
∴，
当时，，
∴符合题意，
当时，，
∴不符合题意．
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
4．C
【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．
解：在方程中，
可得：，
∵a、b、c是的三条边的长，
∴，，．，即，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是，两根的积是，
∴方程有两个不等的负实根．
故选：C
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．
5．C
【分析】因为两根均为负数，所以两实数根的和小于零，两根之积大于零．解题时检验两根之和是否小于零，及两根之积是否大于零．
解：A.，，两根均为正数；
B.，，两根为一正一负；
C.，，两根均为负数；
D.，，两根为一正一负．
故答案为：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
6．D
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，，再用m表示出，则原式化简为，接着利用根与系数的关系得到m+n＝，mn＝，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，，
∴，
∴
＝
＝，
∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
∴m+n＝，mn＝，
∴原式＝
＝2029．
故选：D．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（a≠0）的两根，则．也考查了一元二次方程的解．
7．D
【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
解：∵方程有三根，
∴，有根，方程的，得．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有，，而已成立；
当时，两边平方得：．
即：．解得．
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
8．C
【分析】根据根与系数的关系可得出a+b=-2、ab=-3，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数的图象经过的象限，此题得解．
解：∵方程的两个实数根分别是a、b，
∴a+b=-2、ab=-3， 则一次函数的解析式为y=-2x+3，
∴该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
9．B
解：∵m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，
∴m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，
∴m2-m=2022，n2-n=2022，
∴（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）
=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)
=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)
=-mn
=2022，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022是解此题的关键．
10．C
【分析】①将a+b+c=0变形为，代入即可作出判断；
②把方程两根为-1和2代入一元二次方程ax2+bx+c=0=0 (≠0)，即可作出判断；
③④根据根与系数的关系，即可判断．
解：①：∵a+b+c=0，
∴，
∴，
故①错误；
②：把方程两根为-1和2代入一元二次方程ax2+bx+c=0=0 (≠0)得：
，
将变形为，
代入得，，
化简得，
故②正确；
③：的两根之和为-2，两根之积为-7，故③正确；
④：方程的两根之和为2，两根之积为7，故④正确；
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握知识点是本题的关键．
11．
【分析】设另一个根为，根据计算即可．
解：设另一个根为，
因为关于的一元二次方程的一个根是2，
所以，
解得．
故答案为: ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
12．1
【分析】根据，，，可得，看成是方程变为的两个实数根，根据根与系数的关系即可解决问题．
解：，，
，，，
，可以看成是方程变为的两个实数根，
，，
．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了根与系数的关系，解决本题的关键是掌握若二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
13．2033
【分析】根据已知：是两个不相等的实数，且满足，可知m、n是一元二次方程的两个不相等的实数根，得，又，代入所求代数式得解．
解：是两个不相等的实数，且满足，
m、n是一元二次方程的两个不相等的实数根，
，
又，
=
=
=
=2033．
故答案为：2033．
【点拨】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程的根与系数的关系把代数式化成两根和、积的形式是解此题的关键．
14．-1
【分析】先设方程的两根是x1、x2，方程的两根是x3、x4，再利用根的判别式判断根的情况，再利用根与系数的关系求出第二个方程两个根的和，即是所求．
解：设方程的两根是x1、x2，方程的两根是x3、x4，
在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1+24＝25＞0，
∴此方程有实数根，
同理在方程中，Δ＝b2﹣4ac＝1-32＝-310，
∴此方程没有实数根，
又∵x1+x2＝﹣ ＝-1，
∴两个方程的实数根的和是-1．
故答案为-1．
【点拨】本题考查了根的判别式和根与系数的关系．理解题意，知道所求4根之和要先判断每一个方程根的情况是解题的关键．
15．-5
【分析】根据根与系数的关系列式求解即可得到答案．
解：∵ 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得到： ，
又∵，
∴两边平方得：，
∴
∵
解得：a=-5，
故答案为：-5
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，会灵活运用与的关系 以及根与系数的关系是解题的关键．
16．
【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．
解：由题意得：，
所以，
依题意得：，
解得4＜m≤5．
故答案是：4＜m≤5．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．
17．##
【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题，即，分别求出，；，；…，，可得规律，再代入，提出2，进而得出答案．
解：∵，m＝1，2，3，…，2020，
∴由根与系数的关系得：，；，；…，；
∴原式＝
故答案为：．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两根是，，则，．
18．②③④
【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可．
解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①错误；
②若方程两根为-1和2，则：，∴，②正确；
③若方程有两个不相等的实数根，则：，∵，∴，∴方程必有两个不相等的实数根，③正确；
④若，则：，∵，∴，④正确；
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．(1) ，(2) (3)
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系可以直接作答；
（2）根据即可作答
（3）根据即可作答．
解：（1）根据一元二次方程的两个实数根为，，
，，，
可得：；，
故答案为：，；
（2）∵；，
∴，
即所求的值为：；
（3）∵；，
∴，
即所求的值为：；
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．熟记，是解答本题的关键．
20．(1) ；(2) 取，可得这两个实数根的差的平方为12．
【分析】（1）利用根的判别式即可求出m的取值范围；
（2）求出方程有根时，m的取值范围，再利用根与系数的关系求解即可．
解：（1）解：方程中，
若一元二次方程没有实数根，则，解的：．
（2）解： 令，解得：，即当是方程有两个根，
取代入可得方程为：
设方程的两根为：，，则，，
∵
∴．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握并理解根的判别式，熟记根与系数的关系．
21．(1) 证明见分析(2) ，的周长
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此可得出：无论取何值时，这个方程总有实数根；
（2）当为底边时，由根的判别式可求出的值，再根据根与系数的关系可得出，由可知此种情况不符合题意，当为腰时，将代入原方程求出值，再根据根与系数的关系可得出，套用三角形的周长公式即可求出结论．
解：（1）证明：∵在方程中，
，
∴无论取何值时，这个方程总有实数根；
（2）当为底边时，，
∴，
解得：，
∴，
此种情况不合适，
当为腰时，将代入原方程得：
，
解得：，
∴，
∴的周长．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、根的判别式、根与系数的关系以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）找出根的判别式，（2）分为底或腰两种情况考虑．
22．(1) (2) ；(3)
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围；
（2）将方程①也可转化为②．，再把方程②的左边展开，得与方程①比较可得出答案；
（3）根据（2）得，，再代入中求解即可．
（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
化简整理，得，
解得：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程①有两个实数根，．
∴②．，
∴，
比较①②得：，，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
由（2）得，，
∴，
整理，得
解得：，，
又由（1）知，
∴．
∴存在，当时，使得成立．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，探究一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
23．(1) (2) 是“邻根方程” (3) 或；5或．
【分析】（1）根据题意观察可知，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比，即可写出对应的方程；
（2）根据一元二次方程的解法求出已知方程的两根，在计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（3）先利用因式分解法解一元二次方程对应的两根，由于两根的大小未知，所以应注意分两种情况求解．
解：（1）由题意可知：
∵方程的一次项系数为：，
∴，
∵方程的常数项为：，
∴，
所以，对应的一元二次方程为：．
（2）∵
∴，
∵
∴是“邻根方程”．
（3）∵，
∴，
∴，，
∵关于x 的方程（m是常数）是“邻根方程”，
∴或，
∴解得：m=2或4，
又∵方程两根为直角三角形的两条边，
当方程两根为2和3时：
若2和3为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：；
若2为直角边，3为斜边时，则此三角形的第三边长为：；
当方程两根为3和4时：
若3和4为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：；
若3为直角边，4为斜边时，则此三角形的第三边长为：；
综上所述：此三角形的第三边长为或；5或．
【点拨】本题考查一元二次方程的新定义题型，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，同时解题时注意分类讨论思想的应用．
24．(1) 1(2) (3)
【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）根据题意可把与看作是方程的两个实数根，，则有，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．
（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，，
∴，
故答案为：
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为、，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数关系的应用，读懂材料，理解一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．