高中数学北师大版讲义(必修二)第27讲5.3复数的三角形式(3知识点+6题型+强化训练)(学生版+解析)

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5.3复数的三角形式知识点01 复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值1、复数的代数形式：z=a＋bi（a，b ∈R）2、复数的三角形式定义：一般地，如果非零复数z=a＋bi（a，b ∈R）在复平面内对应点为Z（a，b），且r为向量eq \o(OZ,\s\up15(→))的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，射线0Z为终边的一个角，则r=|z|=eq \r(a2＋b2)，a=rcosθ，b=rsinθ，从而z=a＋bi=r（cosθ＋isinθ）称为非零复数z=a＋bi的三角形式，其中θ为z的辐角注意：任何一个复数z=a＋bi都可以表示成r（cosθ＋isinθ）的形式，其中r 是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \o(OZ,\s\up15(→))所在射线（射线0Z）为终边的角，叫做复数z=a＋bi的辐角，r（cosθ＋isinθ）叫做复数z=a＋bi 的三角表示式，简称三角形式.3、复数的辐角定义：设复数z=a＋bi的对应向量为eq \o(OZ,\s\up15(→))，以x轴的非负半轴为始边，向量eq \o(OZ,\s\up15(→)) 所在的射线（起点为0）为终边的角θ，叫做复数z的辐角，记作Argz.其中，r为向量eq \o(OZ,\s\up15(→))的模，cosθ=ar，sinθ=br.注意：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍其中在0≤θ0  = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②中间用加号连接 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③cosθ在前，sinθ在后 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④θ在前后一致，可为任意值可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此四个条件缺一不可.【即学即练2】（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)3+i；(2)2-2i.知识点03 复数三角形式的乘除法设z1=r1（cosθ1+isinθ1）,z2=r2（cosθ2+isinθ2）,1、复数的乘法：z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)]+isin(θ1+θ2)]2、复数的乘方：zn=[r（cosθ+isinθ）]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)],这个公式叫做棣美弗公式.3、复数乘法的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为eq \o(OZ1,\s\up15(→))，eq \o(OZ2,\s\up15(→))，将eq \o(OZ1,\s\up15(→))绕原点逆时针旋转θ2，再将eq \o(OZ1,\s\up15(→))的模变为原来的r2倍，如果所得向量为eq \o(OZ,\s\up15(→))，则eq \o(OZ,\s\up15(→))对应的复数即为z1z2.特殊地，因为复数i=cosπ2+isinπ2即模为1，辐角为π2，所以一个复数与i相乘，从向量的角度说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针旋转π24、复数除法与几何意义： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①复数倒数的三角形式表示：设复数z=r（cosθ+isinθ）,则z=r[cos(-θ)+isin(-θ)],由1z=z|z|2=zr2可知：1r（cosθ+isinθ）=r[cos(-θ)+isin(-θ)]r2=1r[cos(-θ)+isin(-θ)], = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②复数的除法：z1z2=r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].z1z2=r1（cosθ1+isinθ1）r2（cosθ2+isinθ2）=r1（cosθ1+isinθ1）×1r2（cosθ2+isinθ2）=r1（cosθ1+isinθ1）×1r2[cos(-θ2)+isin(-θ2)]=r1r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].也就是说，对于两个复数z1，z2来说，z1z2（z2≠0）还是复数，它的模是z1的模除以z2的模，它的辐角是z1的辐角减去z2的辐角. = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③两个复数相除的几何意义：设z1，z2（z2≠0）对应的向量分别为eq \o(OZ1,\s\up15(→))，eq \o(OZ2,\s\up15(→))，将eq \o(OZ1,\s\up15(→))绕原点顺时针旋转θ2，再将eq \o(OZ1,\s\up15(→))的模变为原来的1r2倍，如果所得向量为eq \o(OZ,\s\up15(→))，则eq \o(OZ,\s\up15(→))对应的复数即为z1z2.特殊地，因为i=cosπ2+isinπ2即模为1，辐角为π2，所以一个复数除以i，从向量的角度说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针旋转π25、复数三角形式的开方：nr（cosθ+isinθ）=nr[cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn)],k=0,1,2,...,n-1【即学即练3】（23-24高一下·全国·课后作业）计算：(1)10cos2π3+isin2π3÷5cosπ3+isinπ3；(2)12cos3π2+isin3π2÷6cosπ6+isinπ6.【题型一：复数的辐角主值】例1．（21-22高一·全国·课前预习）复数1＋i的辐角主值为（    ）A．π6B．π3C．π4D．π2变式1-1．（22-23高一下·陕西·期中）欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数cosθ和sinθ联系在一起，得到公式eiθ=cosθ+isinθ，这个公式被誉为“数学的天桥”，若θ∈[0,2π)，则θ称为复数eiθ的辐角主值．根据该公式，可得e3iπ的辐角主值为 ．变式1-2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知i为虚数单位，z=1+3i，则z的辐角主值为 .变式1-3．（21-22高一·全国·课后作业）复数cos15π7+isin15π7的辐角主值是 ．【方法技巧与总结】适合于[0，2π）的辐角的值称为辐角主值，除0外每个复数有且仅有一个辐角主值，一般先用复数z 对应的点Z（a，b）确定角所在的象限，再由tan θ=ba确定在[0，2π）内的角θ，即为argz.【题型二：复数三角形式的判断】例2．（2024高一下·全国·专题练习）下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)12sin5π12+icos5π12；(2)cos7π5+isin7π5；(3)12cosπ2+isinπ6.变式2-1．（22-23高一·全国·课后作业）-3cosπ5+isinπ5是不是复数的三角形式？如果不是，将它表示成三角形式．变式2-2．（21-22高一·湖南·课后作业）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)12cosπ4-isinπ4；(2)-12cosπ3+isinπ3；(3)12sin3π4+isin3π4；(4)cos7π5+isin7π5．变式2-3．（2022高一·全国·专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1=2cos1112π+isin1112π；(2)z2=12cos23π-isin23π；(3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)．【方法技巧与总结】复数的三角形式z=r（cosθ＋isinθ）条件： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①r>0  = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②中间用加号连接 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③cosθ在前，sinθ在后 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④θ在前后一致，可为任意值可简记为：模非负、角相同、余弦前、加号连，此四个条件缺一不可【题型三：复数代数形式化为三角形式】例3．（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数表示成三角形式：(1)-2+2i；(2)2sin3π4+icos3π4.变式3-1．（2024高一下·全国·专题练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：(1)4；(2)-i；(3)23+2i；(4)-12-32i.变式3-2．（21-22高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式．(1)12cosπ4-isinπ4；(2)-1-i(3)-12cosπ3+isinπ3；(4)aia0）则z1z2=r1r2cosθ1+θ2+isinθ1+θ2．设z=-12+32i，则z2024的虚部为（    ）A．-12B．-12iC．-32D．-32i3．（2024高一下·全国·专题练习）复数z=3+i1+2i，将复数z对应向量按逆时针方向旋转π4，所得向量对应的复数为（    ）A．2B．2iC．1D．i4．（2024高一下·全国·专题练习）(cosπ4+isinπ4)10=（    ）A．iB．-iC．22+22iD．22-22i5．（2024高一下·全国·专题练习）设复数5+6i的辐角的主值是θ，则12-10i的辐角的主值为（    ）A．-θB．π2-θC．3π2-θD．3π2+θ6．（2024高一下·全国·专题练习）将代数形式的复数z=2i改写成三角形式为（　　）A．2+cosπ2+isinπ2B．2(cosπ2-isinπ2)C．2(sinπ2+icosπ2)D．2(cosπ2+isinπ2)7．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(cosx+i⋅sinx)n=cos(nx)+i⋅sin(nx)（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数cosπ3+i⋅sinπ32在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）欧拉公式eix=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ）A．复数eπ2i为实数B．ei对应的点位于第二象限C．eix-sinx+icosx=2D．eix-3-i的最大值为1二、多选题9．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为OZ，复数z1=(-1-3i)z对应的向量为OZ1，复数z2=(14-34i)z对应的向量为OZ2，则下列说法正确的是（   ）A．将OZ的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转4π3可得到OZ1B．将OZ的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转4π3可得到OZ1C．将OZ的模缩小为原来的12，再逆时针旋转π3可得到OZ2D．将OZ的模缩小为原来的12，再顺时针旋转π3可得到OZ210．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ）A．复数z=cos3π8+isin3π8的辐角的主值为3π8B．复数z=cos-2π5+isin-2π5的辐角的主值为-2π5C．复数z=8sinπ3+icosπ3的代数形式为43+4iD．复数z=-2i的三角形式为z=-2sinπ2+icosπ211．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式eix=cosx+isinx（x∈R,i为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（    ）A．eiπ+1=0B．12+32i2022=1C．eix+e-ix≤2D．-2≤eix-e-ix≤2三、填空题12．（2022春·广西钦州·高一校考期末）arg(-12-32i)＝________．13．（2024高一下·全国·专题练习）任意复数z=a+bi（a,b∈R，i为虚数单位）都可以z=rcosθ+isinθ的形式，其中r=a2+b20≤θ