【2025届上海高三数学三模】2025届上海宝山区高三数学三模试卷与答案

这是一份【2025届上海高三数学三模】2025届上海宝山区高三数学三模试卷与答案，共9页。试卷主要包含了05，已知，则________等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（第1-12题）
1.设a∈R，集合A=[1，3]，B=[a，4]，若A∩B=[2，3]，则a=________.
2.首项为2，公比为的无穷等比数列的各项和为________.
3.大圆面积为9π的球的体积是________.
4.已知，则________.
5.已知，，则在上的数量投影是________.
6.在的展开式中，第2项和第4项的系数相同，则________.
7.已知幂函数f（x）过点（9，3），若，则实数a的取值范围是________.
8.随机变量，，若，则实数a的值为________.
9.已知复数，集合所构成区域的面积是________.
10.从1、2、3、4、5、6、7、8、9中依次取出4个不同的数，分别记作a、b、c、d，若a+b和c+d的奇偶性相同，则a、b、c、d的取法共有________种.
11.（教材）如图，要在A和D两地之间修一条笔直的隧道，现从B地和C地测量得到：，，，，为确定隧道AD的方向，可求得（精确到0.1°）
12.已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为AfAf，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数a的取值范围是________.
二、选择题（第13-16题）
13.成对数据的回归方程为，则它们在处的离差是（）
A.B.C.D.
14.""是""的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
15.如图，长方体中，，，，P是线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（）
A.DD1B.B1CC.D1CD.AC
16.已知曲线，为曲线C上任一点，以下4个命题：
①曲线C与直线恰有四个公共点；②曲线C与直线相切；
③y0是x0的函数；④x0是y0的函数.正确的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
三、解答题（第17-21题）
17.如图，在四棱锥中，，底面ABCD为矩形，E为线段PD的中点，，.
（1）求证：;
（2）求直线AP与平面ACE的夹角的正弦值.
18.已知，函数.
（1）若，求函数的表达式及定义域；
（2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数a的取值范围.
19.2025世界人工智能大会将在上海举办，为普及人工智能相关知识，滨江中学组织学生参加“人工智能”知识竞赛，竞赛分为理论知识和实践能力两个部分，每部分成绩分为三档，分别为基础、中等、优异.现从参加活动的学生中随机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统计人数如表:
（1）若从这20位参加竞赛的学生中随机抽取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为优异的概率为，求a、b的值；
（2）在（1）的前提下，用样本估计总体，从全市理论成绩优异的学生中随机抽取2人，求至少一人实践能力优异的概率；
（3）若基础、中等和优异对应得分为1分、2分和3分，当参赛学生理论成绩的方差最小时，求b的值.
20.如图，P是抛物线上一点，过P的直线l与x、y轴分别交于A，B两点，且B是线段PA的中点，Q是抛物线上异于点P的动点.
（1）证明：直线l是抛物线的切线；
（2）已知，且△PQT的重心是的焦点，求PQ所在直线方程；
（3）若E、F分别在线段AQ，PQ上，且，EF交BQ于G，求证：G是△APQ的重心.
21.把一列函数、、…、、…按一定次序排列称为函数列，记为（n是正整数），为的导函数.记，.
（1）若，求证：是等比数列；
（2）若，，是否存在正数a使得；
（3）已知在上有最小值，求证：“是偶函数”的充要条件是“对任意正实数c，均有”.
参考答案
一、填空题
1.22.63.4.5.6.4
7.8.95.59.32π10.158411.12.
二、选择题
13.A14.A15.D16.B
三、解答题
17.（1）连接BD交AC于点F，∵E是PD的中点，F是BD中点
又∵EF⊂平面ACE，∴PB//平面ACE
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设平面ACE的法向量为，则
⇒，令，则
是平面ACE的一个法向量.
设直线AP与平面ACE所成角为，则直线AP与平面ACE所成角的正弦值为
18.（1），令，
则，
因为，所以，又得，
定义域为
（2）由（1）得
方程，即
可转化为，且
①当即时，，符合题意
②当即时，，
（i）当时，符合题意
（ii）当时，且时，要满足题意，则有
或
综上可得，a的取值范围.
19.（1）由题意，得.
（2）记事件A：理论成绩为优异的学生，事件B：实践成绩为优异，由（1）知，
设X表示从全市理论成绩为优异的学生中抽取到实践能力成绩为优异的成功次数，
则X服从，所以
故至少有一个人实践能力的成绩为优异的概率
（3）由题意，，
设理论成绩为X，则X取值为，对应的人数分别为
所以理论成绩X的分布是
所以参赛学生理论竞赛的平均成绩为
所以参赛学生理论成绩的方差为
因为，所以当时，方差最小.
20（1）设，因为B是线段PA的中点，所以.
则，所以直线l的方程为，即.
联立，整理得，所以
因此，直线l是抛物线的切线.
（2）设，，PQ中点为M，
由已知得，解得：，从而
若直线P斜率不存在，则，与重心矛盾，故斜率存在；
设PQ：，
联立得：
因为，所以
所以PQ所在直线方程是
（3）因为E，G，F三点共线，所以.
又因为，设，则，
所以，，所以，
因为B是线段PA的中点，所以，即，所以，
所以G是△APQ的重心.
21.（1），因为，
所以是以为公比的等比数列.
（2），所以
且
令
则得：在严格增，在严格减
①当时，，所以与0∉矛盾；
②当时，，所以，
令
则，所以在上严格减，所以，
从而矛盾，综上，不存在正数a，使得.
（3）必要性：若为偶函数，则
，
当，，因为，故；
充分性：若对于任意正实数c，均有，其中
，
因为有最小值，不妨设，
由于c任意，令，则，
故最小元素为中最小元素为，
又，则对任意成立，则，
若，则对任意成立是偶函数，
若，此后取，
，
综上，任意，，即是偶函数.
故“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数c，均有”.理论
基础
中等
优异
实践
基础
0
2
1
中等
3
b
1
优异
2
3
a