【2025届上海高三数学三模】2025届上海浦东区高三数学三模试卷与答案

这是一份【2025届上海高三数学三模】2025届上海浦东区高三数学三模试卷与答案，共10页。

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.已知集合,，则________.
2.已知函数，的最小值是，则实数________.
3.设为实数，则不等式的解集是________.
4.若，，那么在方向上的数量投影为________.
5.已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为________（结果用数值表示）.
6.如图，将一个高为的圆锥沿其一条母线展开，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面半径为________.
7.短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为________.
8.曲线）的图像上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为________.
9.已知随机变量，其密度函数为，则________.
10.浦东某学校有学生2000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表所示：
其中，参加登山的人数占总人数的.为了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取________人.
11.已知复数z满足，则（i是虚数单位）的最小值为________.
12.对于函数，若关于x的方程恰有K个实数根，则称函数为“K”函数.text①函数的定义域且；text②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件text①text②的函数共有________个.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13.在正项等比数列中，a_3,a_s是方程的两个根，则（）
A.2B.4C.8D.16
14.，请从以下选项中选出“”的充分条件（）
A.“”B.“”C.“”D.“”
15.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若，则以下关于的选项，结论正确的是（）
A.存在满足；B.存在锐角满足；
C.该表达式不存在最大值；D.该表达式不存在最小值.
16.如图，ABCD是四面体.已知，以下两个语句中：①棱AB与棱CD一定相等；②棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（）
A.①，②都正确；B.①正确，②错误；
C.①错误，②正确；D.①，②都错误.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知.
（1）数列{an}的前n项和为Sn，点均在函数的图象上，求数列{an}的通项公式；
（2）设；当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围.
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图，点D是以AB为直径的半圆上的动点，已知，且平面ABD.
（1）证明：平面平面；
（2）若点E满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面BED与平面AEB所成的锐二面角的余弦值.
19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
申辉中学机器人兴趣小组，进行某款机器人研发学习活动.该机器人被设计从数轴上的原点出发，机器人每一步只能选择向数轴正方向或向负方向行走1个单位.设机器人第步选择向正方向行走的概率为pk，设行走步后机器人所在位置对应的数为随机变量yn.
（1）兴趣小组成员小浦对机器人行走的步数n和机器人所在位置yn进行了观察记录，记录数据如下：
请求出变量n和yn之间的线性相关系数r；
（2）若，求；
（3）已知，在的条件下，求的概率.
20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知曲线，第一象限内点P在曲线C上.F1、F2，连接PF2并延长与曲线C交于Q点，.以P为圆心，|PF2|为半径的圆与线段F1F2交于点N，记，的面积分别为S1，S2.
（1）若，求点P的坐标；
（2）若点P的坐标为（x0,y0），求证；
（3）求的最小值.
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、）依次构成等差数列，则曲线，为曲线.
（1）若，，是曲线，求实数m的值；
（2）已知曲线，都是曲线，证明：是曲线；
（3）若，为曲线，求a的取值范围.
参考答案
17.（1）解：,
当时，,
当时，,
则.
（2）解：,
设，当时，,
恒成立，
则,
因为的最小值为0，所以.
18.
（1）证明：因为平面ABD，所以,
因为AB为直径，所以,
因为，所以平面BCD,
因为平面ACD，所以平面平面ACD.
（2）解：，当且仅当时等号成立.
设圆心为O，联结OD，在平面ABD上过O作，联结DF，在平面ABE上过E作,
因为，，所以,
因为平面ABD，平面ABC，所以平面平面ABD,
因为平面ABD，平面平面，所以平面ABC,
因为，）平面ABC，所以DFperpBE,
因为平面平面，所以为平面BED与平面AEB的夹角或其补角.
在平面ABC上，，有，得，,
，有，得,
则，,
平面BED与平面AEB所成锐角的余弦值为.
（2）据（1）知，平面ABD，,
当时，达到最大；
过点D作于O，建立以O为原点，OD为x轴，
OA为y轴，过O点垂直于平面ABD的方向为z轴.设平面
BED与平面AEB的法向量分别为，.
则点，，，,
，
∴，.
则；令，可得;
因为平面AEB的法向量为.
则平面BED与平面AEB夹角的余弦值.
19.（1）解：.
（建议：若用计算器得到不精确值扣1分，并和学生明确书上黑体字公式要掌握）
（2）解：设第n步行走量为zn,
因为，所以，,
.
（3）解：设为事件A，y_2=0为事件B,
[,]
其中，[,]
[,]
故.
20（1）解：设，，Q（x_2,y_2）.
与联立可得,
，，,
因为，所以,
因为P在第一象限，所以y1>0，解得，，,
故.
（2），,
则，即.
则成立，是曲线.
（3）在上有解，
令.
（3.1）当时，
，，解得，g（x）有零点！
（3.2）当时，
，,
由零点定理知，上存在x使，g（x）有零点！
（3.3）当时，
若，则,
因为在上为严格减函数，在上为严格增函数，
所以，，无零点；
若，又），有,
得，
，在上为严格增函数，
注意到,
由零点定理知，若有零点，则,
解得，又，故,
（3.4）当时，
，严格增，
，无零点；
综上，.高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数（单位：人）
a
b
c
登山人数（单位：人）
x
y
z
n
1
2
3
4
5
yn
1
0
1
2
3