【2025届上海高三数学二模】2025届上海市宝山区高三数学二模试卷与答案

这是一份【2025届上海高三数学二模】2025届上海市宝山区高三数学二模试卷与答案，共12页。试卷主要包含了可使用符合规定的计算器答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）．
1.已知是虚数单位，则__________.
2.设集合，则__________.
3.抛物线的准线方程为__________.
4.已知函数则=__________.
5.已知为常数，函数为奇函数，则__________.
6.的二项展开式中，项的系数为_______.
7.已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为___.
8.已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_______.
9.已知中，，，点在线段上，且，则的值为__________.
10.有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有__________种.
11.某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为__________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元）
12.空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且,若,且,则二面角平面角的余弦值最小为__________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）.
13.已知向量，，若，则的值为（）
A.B.C.D.
14.“”的一个必要非充分条件是（）
A.B.C.D.
15.甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（）
A.甲得分的极差小于乙得分的极差
B.甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数
C.甲得分的平均数大于乙得分的平均数
D.甲得分的方差小于乙得分的方差
16.若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.则下列选项中正确的是（）
A. = 1 \* GB3 ①是真命题， = 2 \* GB3 ②是真命题；B. = 1 \* GB3 ①是真命题， = 2 \* GB3 ②是假命题；
C. = 1 \* GB3 ①是假命题， = 2 \* GB3 ②是真命题；D. = 1 \* GB3 ①是假命题， = 2 \* GB3 ②是假命题.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四面体中，是边长为的正三角形，
且.
（1）证明：；
（2）若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小..
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数
（1）若，求方程的解；
（2）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.
19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系：
（1）体验类项目中，若关于波动的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）；
（2）小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率；
（3）为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.
小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策.
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点.
（1）当直线过点，且时，求的周长；
（2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积；
（3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点.已知.
（1）若,，求的值及的固着点；
（2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值；
（3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：.
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1.2.3.4.
5.6.7.8.
9.10.11.12.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）
14.15.16.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）取中点，连接
由已知条件是边长为的正三角形，得
分
所以分
所以分
（2）二面角的大小为，即平面
由，且由（1）知，
所以分
从而即为与平面所成角分
在中,,从而
在中，
因为，且，所以
所以在中，，且分
易求得即与平面所成角的大小为分
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）即解得，于是分
方程即为
令，则有即
求得（舍负）分
所以方程的解为分
（2）由已知得
整理得分
因为,所以分
从而对任意恒成立
因为（当且仅当取等号）分
所以
即实数的最大值为分
19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
解：（1），分
代入回归方程,得：
解得分
时
即开放所有体验类项目时的平均等待时间约为51分钟分
（2）事件：等待总时间恰为120分钟；
事件：选择的3个项目中至少包含1个互动类项目
全部的项目数为15个，其中互动类项目有3个，则事件共包含了种；分
在事件的条件下，等待总时间恰为120分钟，此时的可能情况是：
①一个互动类项目,一个体验类项目，一个演出类项目，此时共有种情况；
②两个互动类项目，一个体验类项目，此时共有种情况分
由条件概率公式得
分
（3）事件表示“小王参加决赛获得的游园币”，则
分
所以分
所以，当时，,不建议小王继续闯关;
当时，,小王可根据自己的情况随机选择;
当时，,建议小王继续闯关分
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
解：(1)根据双曲线定义得：,分
两式相加得
即
由已知得
所以的周长为分
设直线的倾斜角分别为，
由已知得，分
不妨设
则
则可求得，分
所以直线解得
直线解得
所以的面积为分
（3）设，由知
若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍分
设直线方程为：
与双曲线联立化简得
显然成立
设交点
由韦达定理：分
由得
从而，即
将韦达定理代入
化简得（※）分
因为，即
由已知在双曲线上，得
从而得代入（※）式
化简得，即
解得分
点的坐标为分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
解：（1）由题得，所以分
因为，所以，
所以，固着点分
（2）由题得，分
所以
因为是上的严格增函数，
所以在上恒成立分
由于不等式的解是
所以分
所以
因此的最大值是分
（方法一）由题得，，
所以.
因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解分
记，则，所以在是严格减函数，
从而
又当时，，故的值域是，
所以，即分
记,则由上述可知是的严格减函数且
，
因为，所以，所以①分
记，则
因为，所以，所以
所以是上的严格增函数，
故，从而②分
由①②可知，，即
又是的严格减函数，所以分
所以.
（方法二）
由题得，，所以
因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解分
求导得
当时，,是上的严格减函数，
所以，所以方程（*）无解；
当时，
ⅰ.当时，在恒成立，故是上的严格增函数.
所以，所以方程（*）无解；
ⅱ.当时，如下表
可知在严格减，在严格增
又，，当时，
所以方程（*）在无解，在有唯一解
满足题意的的取值范围分
因为是的唯一解，所以
又
令，
则，所以是上的严格减函数
所以，即分
又当时，，所以
又在上有唯一的零点，则分
综上，，此时.项目类别
体验类
演出类
互动类
开放数量（个）
4
5
6
7
8
2
4
2
3
平均等待时间（分钟/个）
76
73
67
60
53
30
46
30
-
0
+
严格减
极小值
严格增