福建省三明市、南平市等六地六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份福建省三明市、南平市等六地六校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为服从正态分布，则，又，
所以，
故选：B.
2. 设曲线在点P(3，2)处的切线与直线平行，则=（ ）
A. 2B. －2C. D.
【答案】D
【解析】对曲线求导，可得，在点P处切线的斜率为，
直线方程可化为y＝ ax＋1，
若与直线平行，则两条直线的斜率相等，
所以，
所以选D.
3. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 120D. 200
【答案】A
【解析】展开式的通项公式为，
当时，，
此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；
据此可得：的系数为.
故选：A.
4. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ）

A. 有2个极值点B. 在处取得极小值
C. 有极大值，没有极小值D. 在上单调递减
【答案】C
【解析】由导函数的图象可知，
当时，，仅时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数只有一个极值大点，无极小值点，
所以有极大值，没有极小值，
故ABD错误，C正确.
故选：C.
5. 某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有（种），
至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有（种），
所以至少有1名男医生参加的概率为.
方法二：抽调3人全部为女医生的概率为，
则至少有1名男医生参加的概率为.
故选：C．
6. 杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为（ ）
A. 528B. 1020C. 1038D. 1040
【答案】D
【解析】第一行数字之和
第二行数字之和为
第三行数字之和为
第四行数字之和为
…
第行数字之和为
∴
故选D
7. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或.
故选：B.
8. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””，
则，
由贝叶斯公式得：
，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选的得0分.
9. 福建省动植物园举行花卉展览，三明某花卉种植园有种兰花，种三角梅共种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A. 若展馆需要种花卉，有种安排方法
B. 若“绿水晶”去展馆，有种安排方法
C. 若“绿水晶”不去展馆，有种安排方法
D. 若种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法
【答案】AB
【解析】对于选项A，若展馆需要种花卉，种精品花卉选种安排在展馆即可，有种安排方法，所以选项A正确；
对于选项B，若“绿水晶”去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可，展馆至少有一种，
则有种安排方法，所以选项B正确；
对于C，若“绿水晶”不去展馆，则其必须去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可，
则展馆至少有一种，则有种安排方法，所以选项C错误；
对于选项D，若种三角梅不能去往同一个展馆，则其分别在两个展馆，有种安排方法，
将种兰花安排在两个展馆，每种兰花都有种安排方法，则种兰花共有种安排方法，
则有种安排方法，所以选项D错误.
故选：AB.
10. 若，则（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】ACD
【解析】将代入得，解得，A正确；
由二项式定理可知展开式的通项为，
令得，所以，B错误；
将代入得，
即，C正确；
将代入得，
即①，
将代入得，
即②，
①+②得，所以，
①-②得，所以，
所以，D正确；
故选：ACD
11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A. ，，是两两互斥的事件B. 事件与相互独立
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A：从甲罐取出一个球，取出球的颜色可能是红球、白球、黑球，
显然不可能同时是两个颜色，所以，，是两两互斥的事件，故A正确；
对于B：因为，，而，
所以事件与不相互独立，故B错误；
对于C：因为，，所以，
故C正确；
对于D：因为，
所以
，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量的分布列如下表：
_____________.
【答案】
【解析】因为，
则，所以，
故答案为：.
13. 甲、乙两队进行自由式轮滑速度障碍赛决赛，采取三场两胜制（当一队赢得两场比赛时，该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩可知，甲队每场比赛获胜的概率为．比赛结果没有平局，且各场比赛结果相互独立，则甲队获胜的概率为_____________
【答案】
【解析】甲队获胜的事件是比赛两局获胜和比赛三局获胜的事件和，它们互斥，
所以甲队获胜的概率为.
故答案为：
14. 2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，某同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）共有种情况，则除以36的余数是______．
【答案】13
【解析】这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，
第三小题可能得0分，2分或3分，
如图，当第三题得0分时，有可能总得分为：，
当第三题得2分时，有可能总得分为：，
当第三题得3分时，有可能总得分为：，
所以这位同学的多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）为：
，即，
则
，
.
故答案为：13.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项.
解：（1）前三项的二项式系数和为，
解得或-11（舍去），
中，展开式中所有二项式系数的和为；
（2）的展开式通项公式为，
令得，故.
16. 已知函数
（1）求的单调减区间；
（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：（1）由，求导可得,
由，可得或，
所以函数的单调减区间为，；
（2）因为，
令，解得或可得下表：
则，分别是在区间上的最大值和最小值，
所以，解得，
从而得函数在上的最小值为.
17. 有2名男生和3名女生排成一排进行拍照，根据下列不同的要求，求不同的排队方法总数.
（1）其中甲一定要站在最左边；
（2）其中甲不在最左边，乙不在最右边；
（3）其中2名男生要相邻，女生甲、乙不相邻；
解：（1）甲在最左边，则剩下的4个人全排列即可，共有种方法，
（2）其中甲在最左边时，有种排法，乙在最右边有，
5个人全排列有，甲在最左边且乙在最右边时有
所以甲不在最左边，乙不在最右边的排队方法一共有；
（3）将两名男生捆绑成一个整体和第三个女生全排列，此时形成3个空，
将女生甲乙安排这3个空中，有，两个男生解绑，有，
所以总的排法为
18. 体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.
（1）求甲同学通过测试的概率；
（2）若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望.
解：（1）记事件A：甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，
则.
（2）若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，
所以乙通过测试的概率为，
由题意可知，随机变量的可能取值有0，30，60，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
故.
19. 已知函数，e是自然对数的底数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围.
解：（1），，
若，则恒成立，所以在上单调递增，
若，，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，时，的增区间是，
当时，的减区间是，增区间是；
（2）方程，显然当时，方程不成立，
则，，
若方程有两个不等实根，即与有2个交点，
，
当时，，在区间和单调递减，
并且时，，当时，
当时，，单调递增，
时，当时，取得最小值，，
如图，函数的图象，
与有2个交点，则.
0
30
60