福建省部分学校教学联盟联考2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份福建省部分学校教学联盟联考2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.）
1. 若，则（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】B
【解析】由得，
解得
故选：B.
2. 等比数列的前n项和，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在等比数列中，由前n项和，则，
当时，由，
所以，即.
故选：D
3. 已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的定义域为，
由题意得在上有解，
即在上有解，
其中，
故，故实数的取值范围是.故选：B
4. 函数，是的导函数，则的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数，可得，
则，
所以函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项；
当时，，则；
当时，，则，
因此当时，，可排除C项，
所以的大致图象为选项A.
故选:A.
5. 某出版社的名工人中，有人只会排版，人只会印刷，还有人既会排版又会印刷，现从人中选人排版，人印刷，有（ ）种不同的选法.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设只会印刷的人中被选中人数为，则的可能取值有、、，
①当时，从只会印刷的人中选人，有种情况，
再安排既会排版又会印刷的人印刷，有种情况，最后从只会排版的人中选人，有种情况，
则共有种情况；
② 当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况，
再从既会排版又会印刷的人中选人印刷，有种情况，最后从剩余会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况；
③当时，先从只会印刷的人中选人，有种情况，
再从会排版的人中选人，有种情况，则共有种情况；
综上所述，共有种情况；
故选：A.
6. 函数与函数公切线的斜率为（ ）
A. 或B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为，
易知，，
因此公切线斜率为，因此，
可得，即，
又易知，整理可得，
即，即，解得或，
因此可得斜率为或，
故选：C.
7. 甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（ ）
A. 36种B. 42种C. 54种D. 72种
【答案】B
【解析】安排B项工作的人数分为两类，
第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作，
从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法，
再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法，
若D项工作安排一人，则有种方法，
所以B项工作仅安排1人共种方法，
第二类，B项工作安排2人，有种方法，
由分类加法计数原理，得共有种方法.
故选：B.
8. 分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为．若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】设第n个正方形的边长为，则由已知可得
∴，
∴{}是以9为首项，为公比的等比数列，
∴.
故选：C．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的不得分.）
9. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，则（ ）
A. 的离心率为
B. 的周长为5
C. 最大值为3
D. 的最小值为8
【答案】ACD
【解析】A.由题意得，，故离心率为，A正确.
B.由椭圆的定义得，，
∴的周长为，B错误.
C.当点在椭圆右顶点处时，的最大值为，C正确.
D.因，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为8，D正确.
故选：ACD.
10. 若，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】令，则，
令，可得，即，故A正确；
令，可得，故B正确；
由题可知，故C正确；
由，对等式两边同时求导可得：
，
令，可得，故D错误.
故选：ABC.
11. 若存在常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数（），（），，（e为自然对数的底数），则（ ）
A. 在内单调递减
B. 和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为
C. 和之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是
D. 和之间存在唯一的“隔离直线”，方程为
【答案】BD
【解析】对于A，，
，
当时，，单调递增，故A错误；
对于，，设，的隔离直线为，
对任意恒成立，即对任意恒成立，
所以，所以，
又对任意恒成立，即对任意恒成立，
因为，所以且，
所以且，，解得，同理，
所以b的最小值为，k的取值范围是，
故正确，错误；
对于，函数和的图象在处有公共点，
若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，
则（），得对恒成立，
则，解得，
此时隔离直线方程为：，下面证明，
令（），则，
当时，；当时，；当时，；
当时，取到极小值，也是最小值，即，
在上恒成立，即，
函数和存在唯一的隔离直线，正确.
故选：BD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 展开式中的系数为________．
【答案】
【解析】由二项式展开式的通项为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
13. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】令，
可得，
构建，
若函数有三个不同零点，
即与有三个不同交点，
因为，
令，解得；
令，解得或；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，极大值，
且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0，
可得图象，如图所示：

由函数图象可得.
故答案为：.
14. 已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点（其中A在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线l的斜率为__________．
【答案】
【解析】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为，
记边上的切点分别为，
由切线的性质可得： .
由双曲线定义可得：，即，
则，又.
则，又，则，即.
同理可得，的内切圆也与轴相切于点.
连接，则与x轴垂直，设与l相切于点N，连接，
过点作，记垂足为R，则.
设直线倾斜角为，则.
在四边形中，注意到，
又四边形内角和为，
则，在中，，
.
则.
则直线斜率，即.
故答案为：.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和
解：（1）由题意知，，，，
因为，，成等比数列，所以，
即，整理得，解得或，
因为，所以，
所以；
（2）由（1）知，，
则①
②
①②得，
，
，
，
所以.
16. 已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
（2）讨论函数的单调性.
解：（1）函数，求导得，
由曲线在点处的切线垂直于直线，得，
所以.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，方程中，，
若，则，，函数在上单调递增；
若，则，关于x的方程有两个正根，，，
当或时，；
当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，
递减区间是.
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，
①求平面与平面所成角的余弦值；
②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）取中点，连接，，
又点是中点，
，且，
，，
，且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
（2）平面，且，则以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
①，，，，，，
易知平面的一个法向量为，
在平面中，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，的，
，
即平面与平面所成角的余弦值为；
②设，，
又，，
则，
又，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
则，解得，
即存在点使得点到平面的距离为，此时.
18. 已知数列满足：，正项数列满足：，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和；
（3）记为数列的前项积，证明：
解：（1）当时，，
即，
当时，，
两式相减有：，，
经检验，也满足上式，故.
因为，
则当时，，
累加可得：，且，.
经检验，也满足上式，又因为是正项数列，故.
（2）
令，则，
两式相减可以得到：，
.
令，
当为偶数时：；
当为奇数时：；
.
（3）因为，所以，
左边：
，
右边：
，得证.
19 已知函数．
（1）求函数的单调区间与极值；
（2）若，求证：．
解：（1）定义域为，，
令，解得或，
当时，；当时，．
的单调递增区间为和，单调递减区间为．
的极大值为，极小值为．
（2）由（1）知．
令，则
．
令，则．
令，则．
在上恒成立，在上单调递增，
，在上恒成立，
在上单调递增，，
在上恒成立，在上单调递增，
，对任意恒成立．
，．
又，．
在上单调递增，，，即．
令，则
．
在上单调递增，
在上恒成立，
在上单调递增，，
对任意恒成立．
．又．
在上单调递增，且，
．由，得，
，．