湖南省三新H11G10教育联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷 （解析版）

这是一份湖南省三新H11G10教育联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷 （解析版），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，将答题卡上交， 已知，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，将答题卡上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】解法一：∵，
解法二：,,
∴.
则所求复数对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
2. 有可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由排列数公式可得，
故选：D.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易得，且，
则，
由二项式定理得展开式的通项公式为，
令，.
故选：A.
4. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，左右同乘，所以，
为首项是1，公差为3的等差数列，所以，
所以，
故选:C.
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，则，.
，则，
则.
故选：A.
6. 已知集合，直线中的，，是取自集合的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为钝角，符合以上所有条件的直线的条数为（ ）
A. 40B. 32C. 24D. 23
【答案】D
【解析】可得，从集合中任取三个不同元素，且，异号，
若，共有条，若，共有条，总共种.
又因为当，，和，，时，都表示直线，
所以符合条件的直线的条数为种.
故选：D.
7. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件"了解deepseek"，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取40名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ）
A. 16B. 17C. 18D. 19
【答案】C
【解析】已知，，抽取男生和女生各50名，
所以.
根据条件概率公式，可得.
再根据条件概率公式，可得.
所以随机变量，
令，解得，因为，所以当时，取得最大值.
故选：C.
8. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，
则没有红球的概率为.
由题意知，，，
因为，
所以.
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 正方体的表面积和体积是相关关系
B. 已知函数，则
C. 若，且，则
D. 已知随机变量，若，则函数为偶函数
【答案】CD
【解析】A是确定的函数关系，所以错误；
B选项，∵，∴.故B错误；
C选项，因为，所以.又，
所以，故C正确；
D选项，若，则区间和关于直线对称，
∴，则，
∴函数为偶函数.
故选：CD.
10.已知点,为圆上两动点,且,点为直线上动点，则（ ）
A. 圆心到直线的距离为
B. 以为直径的圆与直线相离
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于选项A，设的中点为，如图1，连接，.

则，，
所以，故选项A正确；
对于选项B，由A知，点在以为圆心，为半径圆上，又原点到的距离为，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，故以为直径的圆与直线相离，所以选项B正确；
对于选项C，如图2，当直线与直线平行，且，，共线时，为等腰三角形，
此时最小，最小值为，又，
故此时最大，且，

则，所以，则，故选项C错误；
对于选项D，
，
当，，，共线，且在，之间时取等号，，
所以的最小值为，所以选项D正确，
故选：ABD.
11. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A：因为有两个零点，，且，所以在上有两个根，
即在上有两个交点，，，故A错误；
对于B：作出图象，与关系如图，，则，
故B正确；
对于C：由A选项可知，当时，显然成立.
当时，等价于，可知，，，可知函数在区间上单调递增，
又，单调递减.要让，只需证，
又∵，∴只需证，令，则，
∵，∴，∴，
∴函数在区间上单调递增，∴，∴，
∴，∴，故C正确；
对于D：，，，，又，，，，∴，
只需要证明，.
令，，，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 下列5个数据，，1，，的第40百分位数为______.
【答案】0.9
【解析】从小到大排列后，得到，由于，则求与1的平均数为0.9.
则第40百分位数为0.9.
故答案为：0.9.
13. 直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率______.
【答案】
【解析】由题意，直线过点，，
代入椭圆方程得，解得，，
所以椭圆方程为，
所以，，，则.
故答案为：.
14. 已知正三棱柱中，，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最大值为______.
【答案】
【解析】如图1，设的中点为,连接，截面如图2，
且，.
因为平面，平面，则，则点在以为直径的圆上.
当点在弧的中点时，此时点到底面距离的最大，
且最大值为，
所以三棱锥的体积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入6个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果有，请求出此时的值以及的最大值；若没有，请说明理由.
解：（1），公比，，
设新数列的公比为，
则，，由，
所以.
（2）.
令，
当或6时，有最大值30.
所以的最大值为，此时或6.
16.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形，平面，.
（1）棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出的值；
（2）点在线段运动（包括端点，不包括端点），当二面角夹角最小时，试确定点的位置.
解：（1）如图，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
则，，
由于，故.
设，，则，
则，要使平面，
则，解得，
故存在点，当时，.
（2）设，，则，
设平面一个法向量为，
故，，，
，
令，则.
设平面的一个法向量为，
故，，
，
令，则，设二面角为，
，
，
因为，
所以，令，
则可化为，
由二次函数性质得在上单调递增，
由复合函数性质得在上单调递减，
则，
则当时，最大，此时二面角夹角最小，
故点在点处，与点重合.
17. 已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若椭圆上存在一点（点在第一象限），点关于轴的对称点为，与直线平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.若四边形为菱形，求满足条件的点坐标.
解：（1）由题意可知，
解得，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设点关于轴的对称点的坐标为.
直线的斜率为.直线与平行，设直线的方程为
.
由得，
由（点在椭圆上），
，且，
设，，则，，
四边形为菱形，所以，所以.
即，化简可得.
将韦达定理代入可得，化简可得，
又因为点在第一象限，所以.
18. 设函数，.
（1）试判断函数在区间上是否存在极值点，并说明理由；
（2）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1），
令，则，则，恒小于0，单调递减，
且，，∴，，
，，单调递增，，，单调递减，故函数存在极大值点，无极小值点.
（2），则.
又令，，
①当，即时，恒成立，∴在区间上单调递增，
∴，∴，∴在区间上单调递增，
∴（不合题意）；
②当，即时，，∴在区间上单调递减，
∴，∴，∴在区间上单调递减，
∴（符合题意）；
③当，即时，由，，
∴，使，且时，，，
，
∴在上单调递增，∴（不符合题意）；
综上，的取值范围是.
19. 生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律.统计人员发现某鸟类在区域经常出没，在区域统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为I种和II种.统计人员在区域随机捕获了50只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果.记第次试验中I种的数目为随机变量.设该区域中I种的数目为，II种的数目为.
（1）（i）求在第1次试验中随机变量的分布列.
（ii）假设每一次试验均相互独立，统计人员完成所有试验后，得到的实际取值分别为，其平均值，方差.记随机变量.采用和分别代替期望和方差，试给出，的估计值（结果保留整数）.
参考公式：从含件次品的件产品中，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件,设抽取的件产品中次品数为,如果采取有放回抽样，则方差；如果采取不放回抽样，则方差为.随机变量与满足.若随机变量与相互独立,则.
（2）假设统计人员每次随机捕获一只该鸟，统计种类，再将捕获的鸟放回，重复进行次.“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数,再对其关于参数求导,得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.
解：（1）（i）依题意，均服从完全相同的超几何分布，
故的分布列为，其中为整数，
且.
（ii）由于每一次试验均相互独立，
且均服从完全相同的超几何分布，
则，
，
则由公式可得，
，
由公式可得，，
即，解得，.
（2）由，
则，
令，得，故，
则，得； ，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取最大值，故，
因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的.