吉林省长春市七校2024-2025学年九年级下学期5月阶段质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份吉林省长春市七校2024-2025学年九年级下学期5月阶段质量检测 数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 总分：120分
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（ ）
A. 2025B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是数轴．根据，求出，继而可以求出点表示的数．
【详解】解：∵，点表示的数是2025，
∴，
∵点在O点左侧，
∴点表示的数为：，
故选：D．
2. 如图，小明画出了某几何体的三种视图，其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三种视图及它的画法，解题的关键是注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图．依此即可解题．
【详解】解：根据几何体的摆放位置，主视图和俯视图正确．左视图中间有一条横线，故左视图不正确．
故选：B．
3. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可．
【详解】根据题意，可得，
A、此不等式组无解，符合题意；
B、此不等式组解集为，不符合题意；
C、此不等式组解集为，不符合题意；
D、此不等式组解集为，不符合题意；
故选：A
4. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则高是（）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值．
【详解】解：∵，
米，
故选：A．
5. 如图，A，B，P是半径为2⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．
【详解】解：连接OA，OB．
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°．
∵OA=OB=2，
∴AB==2．
故选：C．
6. 一次函数的图象一定经过（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的性质，灵活运用一次函数的性质成为解答本题的关键．
根据一次函数的性质判断函数一定经过的象限即可街道．
【详解】解：∵一次函数，
∴当时，该函数图象经过第一、三、四象限，
当时，该函数图象经过第二、三、四象限，
∴一次函数的图象一定经过第三、四象限，
故选：C．
7. 在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图痕迹，依次判断，即可求解，
本题考查了，尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握尺规作图．
【详解】解：根据作图痕迹可知在上截取，可得是等腰三角形，
作的中点，，不是是等腰三角形，
作的角平分线，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
综上所述，正确，
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点的坐标为，双曲线经过点，且，则的值为（ ）
A. 12B. C. 24D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点C作于D，根据点A的坐标求出菱形的边长，再根据菱形的面积列方程求出，然后利用勾股定理列式求出，从而得到点C的坐标，再代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】解：如图，过点C作于D，
∵A点的坐标为，
∴菱形的边长，
∵，
∴，
解得，
在中，根据勾股定理得，，
∴点C的坐标为，
∵函数的图象经过C点，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，根据菱形的面积列方程求出边上的高是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 在数轴上，介于和之间的整数是_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键．
求出和的范围即可求解．
【详解】解：∵，即，
，即，
∴介于和之间的整数是3，
故答案为：3．
10. 如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根据一元二次方程根的情况求参数的方法．
方程有实数根，即根的判别式．
【详解】解：方程有实数根，
，
．
故答案为：．
11. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求代数式的值，将已知化为，再将转化为，再整体代入计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
即．
故答案为：．
12. 《九章算术》中记载“今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足．问人数、犬价各几何？”其大意是：今有人合伙买狗，若每人出5钱，还差90钱；若每人出50钱，刚好够买．问合伙人数、狗价各是多少？设合伙人数为x人，根据题意可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设合伙人数为x人，根据“今有人合伙买狗，若每人出5钱，还差90钱；若每人出50钱，刚好够买．”，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：设合伙人数为x人，根据题意可得，
，
故答案为：．
13. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________．

【答案】
【解析】
【分析】先求出正五边形各个内角的度数，然后在等腰中计算角度，即可得到的度数．
【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为540°，
∴，
∴在等腰中，，
∴，
故答案为．
【点睛】此题考查的是多边形的内角和及等腰三角形角度的计算，掌握计算公式是解题的关键．
14. 如图，在中，，延长至点M，使得，连结并延长，交的延长线于点N，现给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则．上述结论中，正确结论的序号有_____________．
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】根据，即可证明，得出①正确；结合，得出，根据等腰三角形的性质得出，设，则，结合，得出，根据和三角形内角和得出，根据同角的余角相等得出，结合，即可得出，得出③正确；根据，得出，即可证明，根据，得出，，不能证明与全等，故②错误；根据，且，得到不可能相似，故④错误，当时，结合，得出，即可得，，证出，结合和，即可得，故⑤正确；
【详解】解：∵在中，，
∴，故①正确；
，
，
，
，
设，则，
∵，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
与不能证明全等，故②错误；
∵，且，
故不可能相似，故④错误；
当时，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，，
∴，故⑤正确；
综上分析可知，正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的混台运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16. 酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A．盐酸（呈酸性）、B．硝酸钾溶液（呈中性）、C．氢氧化钠溶液（呈碱性）、D．氢氧化钙溶液（呈碱性）．小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率．列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意：列表如下：
由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有，，，，，，，共8种结果，
1瓶变红、1瓶不变色的概率为：．
17. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，购买两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．求每顶A种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格？
【答案】每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；设每顶A种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元，由题意易得，进而求解即可．
【详解】解：设每顶A种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元，
依题意可得：，
解得：，
答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元．
18. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．求证：CD是⊙O的切线．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】连接OC，根据圆周角定理得出∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°，根据等腰三角形性质得出∠OBC=∠OCB，∠A=∠ACO，即可求出∠OCB+∠DCB=90°，根据切线的判定推出即可．
【详解】证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵∠DCB=∠A，
∴∠A+∠ABC=∠DCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的判定的应用，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
19. 某区从参加数学质量检测的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一：
表一
随后汇总整个样本数据，得到部分结果，如表二（表二中每组数据包括最小值，不包括最大值）．
表二
请根据表一、表二所示信息回答下列问题：
（1）求样本中学生数学成绩的平均分（结果精确到）；
（2）样本中，数学成绩在分数段的频数为_____________，等级A的人数占抽样学生总人数的百分比为_____________，中位数所在的分数段为____________；
（3）估计这8000名学生中数学成绩等第为B的人数．
【答案】（1）
（2），，
（3）4800人
【解析】
【分析】本题主要考查了加权平均数、频率的计算、中位数、用样本估计整体等知识点，从频率分布表获取所需信息是解题的关键．
（1）利用加权平均数公式求解即可；
（2）利用样本容量乘以对应的百分比即可求得数学成绩在分数段的频数，利用百分比的意义求得等级为A的人数占抽样学生人数的百分比，然后根据中位数的定义确定中位数所在的段数即可；
（3）用样本估计整体即可解答．
【小问1详解】
解：样本中，学生数学成绩的平均分是：．
故答案为：．
【小问2详解】
解：数学成绩在分数段的频数是：（人），
等级A为的人数占抽样学生人数的百分比是：，
将学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数均在组，因此中位数在．
故答案为：，，．
【小问3详解】
解：人．
答：样估计这8000名学生中数学成绩等第为B的人数为4800人．
20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，图①、图②中的线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定网格中，以格点为项点按下例要求画图：
（1）在图①中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上；
（2）在图②中以知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上；
（3）在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及菱形的判定，矩形的判定，勾股定理，正确取出格点是解题的关键．
（1）取格点，根据网格特征以及矩形的判定即可得到矩形即为所作；
（2）取格点，由勾股定理可得，根据菱形的判定即可求解；
（3）取格点，由勾股定理可得，根据菱形的判定即可求解．
【小问1详解】
解：如图①，矩形即为所作，
【小问2详解】
解：如图②，菱形即为所作，
【小问3详解】
解：如图③，菱形即为所作，
21. 据中国地震台网测定，2025年3月28日在缅甸发生7.9级地震．中国救援队紧急集结赴缅甸开展地震救援．某救援队利用无人机勘测灾情，从地面升起一架无人机，匀速上升，上升到处，悬停拍照，又匀速下降到处，悬停拍照，然后匀速返回地面，无人机的高度和时间的函数图象如图所示．
（1）填空：无人机上升时的速度是________，________；
（2）求段的函数表达式；
（3）无人机从地面升起到回到地面共用时多长时间？
【答案】（1）8；17
（2）
（3）20.2
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息，待定系数法求一次函数的表达式，正确理解题意，从图中获取信息是解答本题的关键．
（1）根据题意，结合图像即可得出答案；
（2）用待定系数法，将点，代入求解即可；
（3）令（2）中所求表达式，即可求解．
【小问1详解】
解：无人机上升时的速度是_，，
故答案为：8；17；
【小问2详解】
解：设直线为，
将，代入，
得，
解得，
；
【小问3详解】
解：令，即，
．
答：无人机从地面升起到回到地面共用时20.2．
22. 【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积．
【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．

以下是小明求解的值的部分过程：
解：在正方形中，
，
．
∵点E是边的中点，
．
，
．
．
请你补全缺失的求解过程．
【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________．
【答案】见详解；
【解析】
【分析】本题考查正方形性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，根据题意求得的值，从而得到和的面积比，利用正方形的性质求出的面积，进而求出的面积．
【详解】解：在正方形中，
，
，
∵点E是边中点，
．
，
，
，
∵，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23. 如图，矩形中，，动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，过点E、F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G．
（1）当四边形是矩形时，线段的长为________；
（2）连结交于点O，求证：；
（3）当这是等腰三角形时，求的长；
（4）直接写出在整个运动过程中的最大值．
【答案】（1）4 （2）见解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查矩形性质，全等三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键：
（1）根据矩形的性质，得到，，进而得到的长即为的长即可；
（2）根据矩形的性质，结合，证明即可；
（3）根据为等腰三角形，得到为等腰直角三角形，过点作，延长交于点，易得，推出，进而求出的长，得到的长，进而求出的长，勾股定理求出的长；
（4）勾股定理求出的长，进而求出的长，圆周角定理得到点在以为直径的圆上，进而得到当为直径时，最大，即可．
【小问1详解】
解：∵矩形，
∴，，
∵动点E、F分别从点A，C同时出发，以相同的速度沿向终点B、D运动，
∴，
当四边形是矩形时，则：，，
∴，
∴，
∵，
∴两点重合，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴，
∴当为等腰三角形时，，
∴，
过点作，延长交于点，则：，，
∵，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问4详解】
∵，，
∴，
由（2）可知：，
∴，
∵，
∴点在以为直径的圆上，
∴当为直径时，
最大，为：．
24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）经过点．点P是该抛物线上一点，其横坐标为m，当点P不在x轴上时，作点P关于点O的对称点C，以为邻边构造．设抛物线的顶点为E．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当点E恰好落在边上时，求m值；
（3）当此抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
（4）当点E在内部时，过点E作的平行线交于点F、交于点G，作的平行线交于点H、交于点K，当四边形与四边形的面积相等时，直接写出m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或，
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合、二次函数的性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线的顶点为E的坐标为，则、B的纵坐标为，进而得到点P的纵坐标为4，然后代入求得m的值，然后再检验点E是否在直线上即可解答；
（3）设点P的坐标为，则点C的坐标为，，由顶点坐标可得当时，y随x的增大而减小，然后根据图形列不等式组求解即可；
（4）如图：设点P的坐标为，则点C的坐标为，然后分别求得、，进而得到，结合已知条件可得求解即可．
【小问1详解】
解：将代入抛物线可得：，解得：．
∴抛物线对应的函数表达式为．
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点为E的坐标为，
如图：∵点E恰好落在边上，
∴、B的纵坐标为，
∵点P关于点O的对称点C，
∴点P的纵坐标为4，
∵点P是该抛物线上一点，其横坐标为m，
∴，即，解得：或．
当时，点P的坐标为，点C的坐标为，
∵，
∴点B的坐标为，
∵，
∴点E恰好落在边上，即符合题意；
当时，点P的坐标为，点C的坐标为，
∵，
∴点B的坐标为，
∵，
∴点E恰好落不在边上，即符合题意；
综上，．
【小问3详解】
解：设点P的坐标为，则点C的坐标为，，
∵，
∴抛物线的顶点为E的坐标，
∴当时，y随x的增大而减小，
如图：当点B在对称轴左侧且位于x轴的下方，
有，解得：，
∴当，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
∵当点P在对称轴的左侧时，即时，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
综上，当或，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
【小问4详解】
解：如图：设点P的坐标为，则点C的坐标为，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为
∵且过，
∴设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，解得：，即，
∴
∵且过，
∴直线解析式为，
联立，解得：，即，
∵，四边形与四边形的面积相等且
∴，
∴，解得：．
甲组
乙组
人数
100
80
平均分
94
90
分数
频数
3
6
36
50
13
频率
20%
40%
等第
A
B
A
求解过程缺失