安徽省蚌埠第一实验学校2024-2025学年七年级下学期5月质量检测 数学试题（含解析）

这是一份安徽省蚌埠第一实验学校2024-2025学年七年级下学期5月质量检测 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，正确记忆分式有意义的条件分母不等于0是解题关键．
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：．
故选：D．
2. 下列四个代数式中，其中为分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的定义，分母含有未知数的代数式是分式．根据分式得定义求解即可．
【详解】解：只有分母中含有未知数x，
∴为分式，
故选：D．
3. 已知，，则值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，完全平方公式的应用，将变形为，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：B．
4. 如果把分式中的x和y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的2倍B. 不变C. 缩小到原来的D. 缩小到原来的
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握运算法则．根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：分式中的x和y都扩大为原来的2倍，
则，分式的值扩大到原来的2倍，
故选：A．
5. 下列式子从左到右的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
6. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程．
【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得
．
故选：A
7. 化简结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，运用同分母分式的加减法法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：C
8. 若常数M，N满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可．
【详解】解：∵
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
9. 已知a，b，c，d是正整数，且，则 （ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件及等式分析可得只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立，从而确定，代入求值即可．
本题考查分式的化简求值，利用已知等式分析出只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立是解题的关键．
【详解】解：∵a，b，c，d是正整数，且，
∴只有当a，b，c，d相等时已知等式才成立，
∴，
∴．
故选：D
10. 已知实数a、b、c满足，下列结论一定正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的加减法，整式的加减，完全平方公式，掌握分式加减法的计算方法，整数加减的计算方法以及互为相反数的定义是正确解答的关键．
利用代入计算的方法，互为相反数的定义以及分式加减法的计算方法逐项进行判断即可．
【详解】解：A、当，时，，即，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，，则，所以或，当时，，此时，当时，，此时，故本选项不符合题意；
D、若，而，则，所以，即，故本选项符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11. 当______时，分式的值为零．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．根据分式的值为零的条件，即可求解．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：1．
12. 若关于x的分式方程：无解，则m值为______．
【答案】0或2或4
【解析】
【分析】此题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的性质得到整式方程的解是解题的关键．分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将原方程化为整式，再代入该整式即可的到m的值．
【详解】解：方程两边同时乘以得：
，
整理得：，
∵无解，
∴，即时，方程无解；
当时，方程也无解，此时，则有，
∴．
当时，方程也无解，则有，
故答案为：0或2或4．
13. 凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知u、f，则v＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．
根据已知条件，先求出，进行通分后，再求出v即可．
【详解】解：，
，
∴，
故答案为：．
14. 已知关于x的分式方程．
（1）当时，方程根是______；
（2）若该方程的解是非负数，且满足，则所有满足条件的偶数的值之和为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解等知识点，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键．
（1）把代入方程，再方程两边都乘得出整式方程求解解，最后再进行检验即可；
（2）先求出方程的解，根据方程的解是非负数以及，然后求出a的取值范围，再确定所有偶数的值，最后求和即可．
【详解】解：（1）当时，方程为，
方程两边都乘，可得：，解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：；
（2）方程两边都乘，得，解得：且，即，
∵方程的解是非负数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴所有满足条件的偶数的值为，
∴.
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分74分）
15. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母转化成整理式方程，再解整式方程求出方程的解，然后检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，时，，
所以，原分式方程的解为．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键，注意解分式方程要检验根．
16. 先化简再求值：，其中，且x为整数．
【答案】；2
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
∵，，，
∴，0，
∴把代入得：原式．
17. 已知关于的分式方程．
（1）若方程有增根，求的值；
（2）若方程无解，求的值．
【答案】（1）m的值为或1.5
（2）m的值为或或1.5
【解析】
【分析】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键．
（1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程；若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x的值，然后代入整式方程即可得解；
（2）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得．
【小问1详解】
解：方程两边同时乘以，得
，
整理得，
∵原分式方程有增根，
∴，
解得：或，
当时，；
当时，；
综上，m的值为或1.5．
【小问2详解】
解：当时，该整式方程无解，则原分式方程也无解，此时；
当时，要使原方程无解，由（2）得：或，
综上，m的值为或或1.5．
18. 观察下列等式，并回答问题：
第个等式：，
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
……
（1）根据以上等式的规律，写出第个等式： ；
（2）写出第个等式，并证明结论的正确性．
【答案】（1）
（2），证明见详解：
【解析】
【分析】本题考查了数字类型规律，通分、完全平方公式，约分化简，异分式的加减法运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据已知等式的各部分和序号的关系即可得出结果．
（2）根据发现的规律，归纳出第个等式，再利用分式的通分、完全平方公式，约分化简即可即可证明．
【小问1详解】
根据以上等式的规律，
可得第个等式为：．
【小问2详解】
根据以上等式的规律，可得第个等式为，
证明：∵
．
∴．
19. 小米去文具店买甲种文具，营业员告诉小米现在有乙种文具和甲种文具性能差不多，不过价格每个便宜8元，如果加20元，那么会比100元买甲种文具个数多一倍．
（1）求甲乙两种文具的单价；
（2）若买甲种文具a个，乙种文具b个，用了500元，其中，，求甲乙两种文具各买多少个．
【答案】（1）甲20元，乙12元
（2）甲19个，乙10个
【解析】
【分析】（1）设甲种文具的单价为元，则乙种文具的单价为元，根据“加20元，则乙种文具会比100元买甲种文具个数多一倍”建立分式方程即可；
（2）由题意可得，即，结合，，可得，从而可得答案．
【小问1详解】
解：设甲种文具的单价为元，则乙种文具的单价为元，
，
解得：，经检验是原方程的根且符合题意；
∴，
答：甲种文具的单价为元，则乙种文具的单价为元．
【小问2详解】
∵买甲种文具a个，乙种文具b个，用了500元，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∵，为整数，
∴，则，
答：甲种文具买19个，乙种文具买10个．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
20. 阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______．
（1）请回答：横线填什么_____．
完成下列问题：
（2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
（3）若关于的方程无解，求的值．
【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2）且；（3）或．
【解析】
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数：
（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴，即
又∵
∴，即
∴且
（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴或者
①当时，得：
②当时，，得：
综上：当或时原方程无解．
21. 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如．
解决下列问题：
（1）分式是_____分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式化为带分式；
（3）若分式值为整数，x为整数，求分式的值．
【答案】（1）真 （2）
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．
（1）利用真分式和假分式的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；
（3）利用整数和整除的意义讨论解答即可．
【小问1详解】
解：由题意得：分式是真分式，
故答案为：真；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：；
∵分式的值为整数，x为整数．
∴或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴整数的值是．
22. 老师设计了一个“接力游戏”的数学活动，由学生合作完成分式的计算．如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算，规则是每人只能看到前一人传过来的式子．
（1）写出这个“接力游戏”中计算错误的同学；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有小红、小马
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用分式的混合运算法则进行计算，逐一判断即可解答；
（2）利用分式的混合运算法则进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：，
故小红计算错误；
，
故小马计算错误；
这个“接力游戏”中计算错误的同学有小红、小马．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
．
23. 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为
．
再如十字分式方程，可化为
．
应用上面的绪论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则_________，_________．
（2）若十字分式方程的两个解分别为，求的值．
（3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键；
（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解；
（2）结合运用“十字方程”得到，再把通分加减变形，再整体代入求值即可；
（3）将原方程变形为，再因式分解变形为，结合运用“十字方程”得到再代入求值即可；
【小问1详解】
解：可化为，
，
故答案为：；
【小问2详解】
由已知得，
；
小问3详解】
原方程变为，
，
，
；