安徽省蚌埠市蚌山区2024-2025学年七年级下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份安徽省蚌埠市蚌山区2024-2025学年七年级下学期4月期中 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）
A B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：A、是小数，它是有理数，不符合题意；
B、是整数，它是有理数，不符合题意；
C、0是有理数，不符合题意；
D. 是无理数，符合题意；
故选：D．
2. 某种细胞的直径是0.00052毫米，0.00052这个数用科学记数法可表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为：，其中，n等于原数由左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
【详解】解：，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】解：A. ，故原选项运算错误，不符合题意；
B ，计算正确，符合题意；
C. ，故原选项运算错误，不符合题意；
D. ，故原选项运算错误，不符合题意；
故选：B．
4. “的平方根是”用数学式子表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键．
正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式．
【详解】解：，
，
故选：C．
5. 无论取何值，代数式的值总是（ ）
A. 比1大B. 比1小C. 比大D. 比小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查代数式，根据代数式的意义进行判断即可．
【详解】解：无论a取何值时，代数式的值都比a大，
故选：C．
6. 实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算，用数轴上的点表示实数，不等式的性质，正确进行无理数的估算是解题的关键．先得出，再根据不等式的性质得到，即可判断．
【详解】解：∵，
即，
∴，
∴实数在数轴上的对应点可能是点，
故选：C．
7. 若关于x的不等式组无解，则m的值可能是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解集，根据不等式组无解，可以求出实数m的取值范围．
【详解】解：
解不等式①得，；
解不等式②得，
∵不等式组无解，
∴
∴．
∴只有选项A符合题意，
故选：A．
8. 球体的体积与其半径的关系为．如图，该球体的体积为，那么它的半径（ ）
A. ，且更接近于3B. ，且更接近于3
C. ，且更接近于2D. ，且更接近于4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了立方根的应用，由题意可得，从而得出，再根据立方的含义即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∵，，，
∴，且更接近，
故选：C．
9. 甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜、负（没有平场），甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？设甲队胜了x场，则下列不等式正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出不等关系，列出不等式求解．设甲队胜了x场，根据题意列出不等式即可．
【详解】解：设甲队胜了x场，
则，
故选：D．
10. 下列图形中，可以借助图形面积验证乘法公式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用平方差公式和数形结合思想．通过两种不同方法求图形的面积进行求解、辨别即可．
【详解】解：A．大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个长方形的面积之和为，不能验证，不符合题意；
B．阴影部分的面积可以看作，也可以看作，因此，符合题意，故该选项正确；
C．图形的面积可以看作，也可以看作，因此，不符合题意；
D．阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去中间十字架的面积，即，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11 比较大小：___________4（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】被开方数越大，则这个实数越大，据此即可作答．
【详解】∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，属于基础题，细心计算是解答本题的关键．
12. 若不等式的解集为，则m的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了由不等式的解集求参数，首先求出不等式的解集为，然后根据题意得到，解方程求解即可．
【详解】解：，
，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：1．
13. 若将边长为1的10个正方形拼成如图1所示的形状，然后按图中的斜线剪开，再将剪开后的图形拼成如图2所示的正方形，则这个正方形的边长是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，求出图2中正方形的面积，可得结论．
【详解】解：由题意图2中正方形的面积为，
∴图2中正方形的边长为．
故答案为：．
14. 规定两正数a，b之间的一种运算：若，则．例如，因为，所以．小明同学通过研究发现了这种运算的拓展公式，例如，．
（1）计算：________．
（2）的值为________．
【答案】 ①. 3 ②. 7
【解析】
【分析】此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质．
（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；
（2）应用规定和积的乘方计算即可．
【详解】解：（1）根据定义，即，
∵，
∴，
解得：，
因此，．
故答案为：3；
（2）
，
根据定义，，即，解得：．
故答案为：7．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、立方根，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
16. 解不等式组：’并在数轴上表示出不等式组的解集．
【答案】不等式组的解集为，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
首先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知(x+a)(x2﹣x+c)的乘积中不含x2和x项，求a，c的值．
【答案】a＝1，c＝1.
【解析】
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，让x2项和x项的系数为0，即可求得a，c的值．
【详解】∵(x＋a)(x2－x＋c)＝x3－x2＋cx＋ax2－ax＋ac
＝x3＋(a－1)x2＋(c－a)x＋ac，
而其中不含x2项和x项，
∴a－1＝0，c－a＝0，
解得：a＝1，c＝1.
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
18. 已知的平方根是的立方根是3．
（1）求的平方根；
（2）若的算术平方根是4，求的立方根．
【答案】（1），，的平方根为
（2），的立方根为
【解析】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的应用，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
（1）根据立方根与平方根的定义求得m，n的值，然后得出代数式的值，根据平方根的定义即可求解；
（2）根据算术平方根的定义求得a的值，然后得出代数式的值，根据立方根的定义即可求解．
【小问1详解】
解：的平方根是，
，
；
的立方根是3，
，
，
，
，
，
，
的平方根为；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
的算术平方根是4，
，
，
，
，
的立方根为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 下面是小明与小亮同学探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请仔细阅读，并解决相关问题．
小明：．
小亮：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但计算量还是有些大，我采用的方法是
．
（1）小明进行简便计算的原理为乘法分配律：________．
小亮进行简便计算的原理为乘法公式：________．
（2）选择一种简便计算的方法，完成下列计算：
①；②．
【答案】（1）；
（2）①899；②1
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）根据有理数乘法分配律、平方差公式即可直接得出答案；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：．
小亮进行简便计算的原理为乘法公式：．
故答案为：；；
【小问2详解】
解：①
．
②
．
20. 已知关于x的不等式．
（1）当时，求该不等式的正整数解．
（2）当a取何值时，该不等式有解？并求出其解集．
【答案】（1）不等式的正整数解为1，2，3
（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
【解析】
【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
（1）把代入不等式，求出解集即可；
（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出a的范围，进而求出解集即可．
【小问1详解】
解：将代入不等式，得，
去分母，得，
解得，
所以此不等式的正整数解为1，2，3．
【小问2详解】
解：由得，
整理得，即，
所以当，即时，该不等式有解．
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
六、（本题满分12分）
21. 某数学兴趣小组开展研究：如果有两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律．观察下列算式，回答相关问题：
算式①：．
算式②：．
算式③：．
算式④：．
……
（1）探索以上算式规律，请写出________________．
（2）若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数分别为b和c，且．
①上述规律可用等式表示为________；
②试说明①中等式的正确性．
【答案】（1）；3021
（2）①；②成立，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、数字的变化类规律等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则是解题的关键．
（1）根据所给的等式的形式，找出规律进行解答即可；
（2）①利用（1）中规律和单项式乘多项式法则进行化简即可；
②根据多项式乘多项式法则证明这个规律即可．
【小问1详解】
解：．
故答案为：；3021．
【小问2详解】
解：①根据题意可得
，
故答案为：．
②∵，
所以等式左边
右边，
所以等式成立．
七、（本题满分12分）
22. 某中学组织七年级师生参加研学实践活动（活动为期1天）．在这次活动中，学校打算与公交公司合作租车出行，公交公司提供了两种客车：第一种为可以乘坐17名乘客的小型客车，租金为200元/辆，第二种为可以乘坐20名乘客的中型客车，租金为250元/辆．学校计划租10辆客车前往．
（1）若要保证租车费用不超过2100元，请问学校有哪几种租车方案？
（2）在（1）的条件下，若七年级师生共有173人，问哪种租车方案最省钱？
【答案】（1）该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车
（2）当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式是解答的关键．
（1）设租小型客车辆，则租中型客车辆．根据“租车费用不超过2100元”列不等式求解即可；
（2）根据总座位数不少于173列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
由题意可得，
解得，
所以，
因为x取整数，所以x可取8，9，10，
所以该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车．
【小问2详解】
解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
依题意，得，
解得，所以．
因为x为整数，
所以x可取8和9，
当时，租车费用：（元）．
当时，租车费用：（元）．
因为，
所以当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低．
八、（本题满分14分）
23. 在学习完全平方公式时，我们借助图形的面积可以更加直观地了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．请你跟随某数学学习小组研究完全平方公式的过程，解决下列相关问题．
（1）如图1，利用剪刀将长为2a、宽为的长方形纸片沿着虚线裁剪成四个全等的小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形．
①结合图1与图2，直接写出，，之间的数量关系；
②已知，，求a和b的值．
（2）如图3，正方形的边长为x，，，长方形的面积是5，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）①；②
（2）21
【解析】
【分析】该题考查了完全平方公式和多项式乘多项式的应用，解二元一次方程等知识点，解题的关键是理解题意．
（1）①通过两种不同方法求空白部分的面积进行求解即可．
②将，代入①中等式即可求解．
（2）因为正方形的边长为x，得出，．根据四边形和都是正方形，得出，，即可得，．根据长方形的面积是5，得出，再根据阴影部分的面积为，化简后代入求值即可．
【小问1详解】
解：①根据图1和图2求出空白部分面积可得．
②因为，，，
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以，
解得．
【小问2详解】
解：因为正方形的边长为x，
所以，．
因为四边形和都是正方形，
所以，，
所以，．
因为长方形的面积是5，
所以，
即，
所以阴影部分的面积为．