广东省江门市怡福中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市怡福中学2024-2025学年七年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了 在平面直角坐标中，点在， 已知轴，，且，则点的坐标为等内容，欢迎下载使用。
1. 在平面直角坐标中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【详解】解：∵，
∴点第二象限，
故选；B．
2. 在下列四个实数中，最小的实数是（ ）
A. −2B. −C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．
【详解】解：正数大于0，负数小于0，正数大于负数，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．
3. 如图，要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 经过一点有无数条直线
C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查垂线段性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【详解】解：要把河中的水引到水池中，应在河岸处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这一做法蕴含的数学原理是：垂线段最短，
故选：D．
4. 如图，直线，直线与，分别交于A，B两点，若，则( )
A 65°B. 75°C. 115°D. 125°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3=65°，根据邻补角即可求解．
【详解】解：∵
∴∠1=∠3=65°，
∵∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°-65°=115°，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据邻补角的定义求角度，掌握平行线的性质是解题的关键．
5. 将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解集在数轴上表示时，注意方向和虚实的两项原则判断即可．
【详解】∵ ，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法是解题的关键．
6. 如图，的一边为平面镜，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，反射光线恰好与平行，且与相等，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据得，结合得，由三角形内角和定理求出，再由邻补角互补求出．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
故选：A．
7. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设有好酒瓶，薄酒瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮瓶酒”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意得：
故选：A．
8. 已知轴，，且，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】题目主要考查坐标与图形，理解题意，分情况分析是解题关键．根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【详解】解：由题知，因为点，平行x轴，
所以点的纵坐标为．
又因为，
所以，，
则点的坐标为或．
故选：D．
9. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
【详解】解：∵用边长为的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为： ，
∵，
∴，
∴大正方形的边长最接近的整数是4，
故选：．
10. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，选项B错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，选项A错误，不符合题意；
∵，，
∴，，
∴，选项C正确，符合题意；
∵，，
∴，，
∴，选项D错误，不符合题意；
故选：C
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，则平移后点的坐标是___．
【答案】（0，6）．
【解析】
【分析】直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得．
【详解】解：将点P（-2，3）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
则平移后点的坐标是（-2+2，3+3），即（0，6），
故答案为：（0，6）．
【点睛】本题考查坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
12. 一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求解即可．
【详解】解：一个正数的两个平方根分别是与，
所以，，
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的性质，解题关键是明确一个正数的两个平方根互为相反数．
13. 已知方程组的解满足，则k的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】用推出，再根据方程组解满足，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：，
得：，即，
∵方程组的解满足，
∴，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组，是解题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
解得：或，
当时，，，
当时，，，
点的坐标为或，
故答案为：或．
15. 有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键．
根据，，，，，，则第个数是，从而求解．
【详解】解：∵，，，，，，
∴第个数是，
故答案为：．
三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
16. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，求一个数的立方根，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据立方根定义，二次根式混合运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
．
17. 解不等式：，并且在数轴上表示解集．
【答案】，见详解
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，先去分母再去括号，移项合并同类项，系数化1，得不等式的解集为，再在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故在数轴上表示，如图所示：
18. 解方程（方程组）：
（1）
（2）解方程组
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用平方根解方程和解二元一次方程组，掌握平方根的性质和加减消元法是解题的关键．
（1）直接利用平方根的定义求解；
（2）利用加减消元法求解．
【小问1详解】
解：
，
解得：或；
【小问2详解】
解：
由得：，
解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：．
四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19. 如图，已知，．
（1）求证：．
（2）若平分，于点，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）利用平行线的性质得到，结合得到，从而得到，再利用平行线的性质即可证明；
（2）利用平行线的性质和垂直的定义得到，利用角平分线的定义得到，结合（1）中的结论得到，最后利用即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
又，
，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
平分，，
，
由（1）得，，
，
，
的度数为．
20. 如图，三角形中，，，三角形是三角形平移之后得到的图形，并且O的对应点的坐标为．

（1）作出三角形平移之后的图形三角形，并写出、两点的坐标分别为_____；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）作图见解析，
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查作图−−平移变换，能根据平移变换的定义和性质得出变换后的对应点及割补法求面积是解题的关键．
（1）先根据，，确定平移方式和距离，即可作图，求出点、坐标；
（2）由割补法即可求解．
【小问1详解】
解：如图，三角形即为所作：

∵，，
∴三角形向右平移5个单位，向上平移4个单位即可得到三角形，
∴点，的对应点，
故答案为：；
【小问2详解】
解：三角形的面积为：．
21. 小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．
求绝对值不等式的解集．
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示．
观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或．
【迁移应用】
（1）填空：的解集是 ；
（2）求绝对值不等式的解集；
（3）直接写出不等式的解集： ．
【答案】（1）或
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题．
（1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得；
（2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得；
（3）将化为，再根据题意即可得．
【小问1详解】
解：根据题意可得，的解集是或．
故答案为：或；
【小问2详解】
解：由得到，
根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分：
点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16；
点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16；
点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16
∴的解集为或；
∴的解集为或；
小问3详解】
解：∵
∴
根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分：
点的左边的点表示的数的绝对值大于8；
点，之间的点表示的数的绝对值小于8；
点8右边的点表示的数的绝对值大于8．
因此，绝对值不等式的解集是或．
∴不等式的解集是或．
故答案为：或．
五．解答题（共2小题，满分27分，第22题13分，第23题14分）
22. 根据以下信息，探索完成任务：
【答案】任务一：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；
任务二：有2种工人的招聘方案：①抽调熟练工名，招聘新工人名；②抽调熟练工名，招聘新工人名；
任务三：2
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可；
任务三：求出方案和方案的成本，然后比较即可解答．
【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
由题意得：，
解得：，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得：，
整理得：，
、为正整数，且，
或，
有种工人的招聘方案：
抽调熟练工名，招聘新工人名；
抽调熟练工名，招聘新工人名．
任务三：方案中，发放工资为：（元）；
方案中，发放工资为：（元）；
，
为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名．
故答案为：．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中满足，将点向左平移16个单位长度得到点．当线段上的动点从点以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点同时从点以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为．问：
（1）求点的坐标．
（2）点，点在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
（3）是否存在某个时间，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）和的面积比不会改变，始终等于
（3）
【解析】
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值即可解决问题．
（2）分别求出和的面积即可解决问题．
（3）根据四边形的面积小于四边形面积的一半，构建不等式解决问题即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，，
，，
∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C，
；
【小问2详解】
解：，
∴点 M，N 始终在，上运动，
当运动时间为 t 时，，，
则，
，
由图可知：，
，
和的面积比不会改变，始终等于．
【小问3详解】
解：由图可知， ，，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，三角形的面积，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．如何设计招聘方案？
素材1
某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．
素材2
调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
素材3
工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资．
问题解决
任务一：分析数量关系
每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二：确定可行方案
如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？
任务三：选取最优方案
在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人________名（直接写出答案）