2022-2023学年重庆市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年重庆市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二项分布的期望计算公式以及的关系式即可求得结果.

【详解】随机变量，，

又，解得：.

故选：B.

2．下列两个变量中，成正相关的两个变量是（    ）

A．汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量

B．每个人体育锻炼的时间与身体的重量

C．花费在体育活动上面的时间与期末考试数学成绩

D．期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分

【答案】A

【分析】利用正相关的定义逐项判断可得答案.

【详解】对于A，一般情况下，汽车越重，则每公里耗油量越多，成正相关，故A正确；

对于B，一般情况下，锻炼时间越长，体重越轻，成负相关，故B错误；

对于C，一般情况下，花费在体育活动上面的时间越长，则期末考试数学成绩可能会降低，故为负相关，故C错误；

对于D，期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分没有相关关系，故D错误.

故选：A.

3．设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ）

A．函数有三个零点

B．函数有两个极小值点

C．函数有一个极大值点

D．函数有两个单调递减区间

【答案】A

【分析】由导函数为负，原函数单调递减；导函数为正，原函数单调递增.与极值点的定义即可选出答案.

【详解】记函数与轴的三个交点横坐标从左往右依次为，

则由图可知：当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

故函数有两个极小值点：；有一个极大值点：；即BCD选项正确，

不能确定函数的零点个数，A错误.

故选：A

4．对于线性回归直线，样本点的残差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据残差的定义可求得结果.

【详解】对于线性回归方程，当时，，故残差为.

故选：A.

5．若函数的满足，则（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】D

【分析】由极限的定义化简即可求出答案.

【详解】因为，

所以

故选：D

6．在星期一，某校高二所有班级的三节晩自习都是排的数学、物理、化学、生物，按规定每班每节晩自习只安排一门学科，且每科在每班至多安排一节晩自习，若高二所有班级的晩自习安排都不同，则该校高二班级个数最多为（    ）

A．12 B．18 C．24 D．30

【答案】C

【分析】将问题等价于从数学、物理、化学、生物4门学科中任选3门的全排列种数.

【详解】由题意，问题可等价于从数学、物理、化学、生物4门学科中任选3门的全排列种数，

种.

故选：C

7．生物的性状是由遗传因子决定的.每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母（如）来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母（如）来表示.如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为，子二代的基因型为，且这三种基因型的比为.如果在子二代中任意选取2颗踠豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用列举法，列举出所有的可能结果，再利用全概率公式求解即可.

【详解】子二代基因配型有6种情况，分别记为事件,

 “子三代基因型为高茎”记为事件，则

,

故选：C

8．设是函数的导函数，当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.

【详解】，

设在单调递增，

，所以A错误；

，

所以，所以B正确；

，所以C错误；

，

，所以D错误.

故选：B

二、多选题

9．设为正整数，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】AB

【分析】由组合数的性质计算即可得出答案.

【详解】因为,

所以或,

解得或.

故选：AB

10．对于变量和变量，已知由共20个样本点组成的样本中心为的一个样本，其线性回归方程是，若去除前两个已知样本点后得到新的线性回归方程是，则对于新的样本数据（    ）

A．新的样本中心为

B．相关变量与具有正相关的关系

C．新的线性回归方程与线性回归方程是相同的

D．随着变量的增加，变量的增加速度增大

【答案】AB

【分析】由原样本中心点为，即可求出新样本中心点；由线性回归方程过样本中心点即可求出，由此即可判断B选项；由线性回归方程中的计算公式即可判断C选项；由直线的性质可判断D选项.

【详解】由题意知解得：，

解得：，

则，，

所以新的样本中心为，故A正确；

又过点，即，解得，即相关变量与具有正相关的关系，故B正确；

由，可得：，化简得：，

可知新的线性回归方程与线性回归方程中的与不相等，故C错误；

由线性回归方程为直线方程可知随着变量的增加，变量的增加速度不变，故D错误.

故选：AB

11．已知函数的导函数是，则下列结论正确的有（    ）

A．必有一个极大值

B．的单调递减区间为和

C．方程有三个实数解

D．的单调递减区间为

【答案】AD

【分析】分析函数的单调性，作出函数的图象，结合极值点的定义可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断BD选项；取，结合函数的单调性可判断C选项.

【详解】对于A选项，因为，设，

由可得，由可得或，

所以，函数的减区间为，增区间为、，

所以，函数的极大值为，极小值为，

①当时，即当时，

函数在上的零点记为，

若时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，

此时函数的一个极大值为；

②当时，即当时，

函数有三个零点，分别设为、、，且，

由图可知，函数有两个极大值点和；

③当时，即当时，作出函数的图象如下图所示：

则函数在上有个零点，

由图可知，函数在上单调递增，在单调递减，

所以，的极大值为.

综上所述，必有一个极大值，A对；

对于B选项，令，该函数的定义域为，

，

因为函数在上的减区间为，增区间为，

由偶函数的性质可知，函数的单调递减区间为、，B错；

对于C选项，令，则，

函数的极大值为，极小值为，

当时，即当时，，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

故当时，，

此时，方程在上无实根，

又因为函数在上单调递增，故方程在上最多一个根，

此时，方程不可能有三个根，C错；

对于D选项，函数的单调递减区间为，

由可得，所以，函数的减区间为，D对.

故选：AD.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

12．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（    ）

A．第行的第个位置的数是

B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列

C．70在杨辉三角中共出现了3次

D．210在杨辉三角中共出现了6次

【答案】BCD

【分析】取即可验证A错误；易知数列的递推公式为，，由此即可判断B正确；由可判断C选项；由可判断D选项.

【详解】对于A选项：第行的第个位置的数是，故A错误；

对于B选项：由题，

数列的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同，

为奇数，

为奇数，为偶数，为偶数，为奇数，是奇数项且为奇数，这与情况一致，从而奇偶性产生循环，B正确；

由于，不妨设，令，

当时，，，

当时，，无正整数解，

当时，，当时，当时，，而递增，从而无解；

当时，，当时，

由于是第9行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70，

所以当时，共出现3次，C正确；

类似于前，

以为顶点的下方三角形区域中的数都大于,D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．设事件，且，则          .

【答案】/0.5

【分析】由条件概率公式计算得，再利用条件概率公式计算得出答案.

【详解】因为，,

解得,

所以.

故答案为：

14．若函数的图象都不在直线的下方，则          .

【答案】/

【分析】由题意知为函数的最小值，求出，利用的正负号，即可判断函数的单调性，由此即可求出的值.

【详解】由题意知为函数的最小值，

因为，

所以，

令，解得，令，解得，

所以函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以.

故答案为：

15．设随机变量，已知，则          .

【答案】0.8185

【分析】由正态分布曲线的对称性，即可求出答案.

【详解】因为，

所以，

，

所以

故答案为：

16．我国的国宝大熊猫丰腴富态，头圆尾短，头部和身体毛色黑白相间分明，形态可掬，呆萌可爱.现有福多多､滚滚､芝士､芝麻､热干面和蛋烘糕6只大熊猫，其中芝士和芝麻是双胞胎，热干面和蛋烘糕是双胞胎，现要给它们安排山月､秋月､云月三个场馆入住，要求每个场馆至少入住1只大熊猫，双胞胎熊猫要住在同一个场馆，则不同的分配方案有          种（用数字作答）.

【答案】36

【分析】利用捆绑法，计算即可得出答案.

【详解】将芝士和芝麻看成一个整体，热干面和蛋烘糕看成一个整体，

即相当于四个对象分配给三个场馆，每个场馆至少一个对象，

必有一个场馆含有两个对象，其余场馆各一个对象，

可先选出有两个对象的场馆进行对象分配，再将其余对象进行分配，

所以共有种方案.

故答案为：36

四、解答题

17．已知二项式的展开式的二项式系数之和为32.

(1)求展开式中项的系数；

(2)求展开式中项的系数最大的项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由二项式系数之和为32，求出，然后求出二项式展开式的通项公式，再令的次数为1，求出的值，再将代入通项公式可求出展开式中项的系数；

（2）由展开式的通项公式可知当时，项的系数为负，所以只要求出时项的系数，然后比较可得答案.

【详解】（1）由已知得，

则第项为，

得，

∴展开式中项的系数为；

（2）由（1）知第项的系数为，

当时，，而，

第项是项的系数最大，该项为.

18．设函数在处取极值，.

(1)求的值；

(2)求的极值，并写出的单调区间.

【答案】(1)0

(2)的极大值为，极小值为；的单调递增区间为和单调递减区间为

【分析】（1）由题意可知，由此即可求出的值；

（2）令，即可求出函数的极值点，由此即可列出的关系表格，由此即可求出答案.

【详解】（1）因为，

所以，

由题意得，

解得：，

当时，，满足题意，

所以.

（2）由（1）得

所以，

令，解得或，

所以的关系如下表：

函数在和上单调递增，在上单调递减，

当时，的极大值为，

当时，的极小值为.

19．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命､健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝.某药材市场的某种中药材2018至2022每年7月每10克的价格（单位：元）的数据如表：

(1)求关于的线性回归方程；

(2)利用（1）中的回归方程，预测2023年该药材市场该种中药材每10克的价格（精确到0.01）.

附：参考公式：，参考数据：.

【答案】(1)

(2)2.97元

【分析】（1）求出，，利用回归系数公式求出，再利用回归直线过样本中心点，求出，即可得线性回归方程；

（2）直接把代入回归方程求解即可.

【详解】（1）由题

因为，，

所以

因为，所以，

故关于的线性回归方程为；

（2）将代入，得，

所以2023年该药材市场该种中药材每10克的价格为元.

20．重庆某中学为探究高二学生性别与选课的关系，在高二男､女学生中分别随机抽取了50名样本学生来了解选课情况.在女生样本中任取3名学生，记选历史学生人数为；在男生样本中任取2名学生，记选物理学生人数为；已知女生样本中20人选物理，且.

(1)完成下面的列联表；

(2)依据的独立性检验，能否认为该中学高二学生性别与选课有关联；

(3)直接写出之间的关系.

附：.

【答案】(1)列联表见解析

(2)认为高二学生性别与选课的有关联

(3)

【分析】（1）设男生样本中有人选择历史，由概率关系求得值，从而可完成列联表填写；

（2）根据（1）计算出值，比较临界值可得结论；

（3）利用相互独立事件的概率关系可得．

【详解】（1）设男生样本中有人选择历史

由题

，解得，

（2）由（1）中列表得

根据小概率值的独立性检验，认为高二学生性别与选课的有关联的推断犯错误的概率不大于0.001，即认为高二学生性别与选课的有关联．

（3）易知事件与是相互独立的，因此.

21．足球运动是世界上第一运动，它不仅体现了力量和速度的完美结合，还诠释了团队配合的重要性.现甲､乙两队进行一场足球比赛.根据以往数据统计，比赛常规时间内，甲队获胜的概率为，踢平的概率为；若常规时间内两队踢平，则进入加时赛，加时赛中，乙队获胜的概率为，踢平的概率为；若加时赛中两队踢平，则进入点球大战，点球大战中没有平局，两队获胜的概率均为.

(1)哪一队获胜的概率大，请用数据说明；

(2)在同一赛季中，甲乙两队相遇3次，且只进行常规比赛，胜一场计3分，平一场计1分，输一场计0分，设甲队三场比赛得分总数为，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)甲队获胜的概率大，理由见解析

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题意计算出甲队获胜的概率，即可得出答案；

（2）分别计算出甲队3胜，2胜1平，2胜1负，1胜2平，1胜2负，1胜1平1负，0胜3平，0胜3负，0胜2平1负，0胜1平2负时对应的积分与概率，即可列出的分布列，求出数学期望.

【详解】（1）设甲队获胜为事件，

则，

∴甲队获胜的概率大.

（2）由题意，甲队的胜负平场次､积分和概率如下表：

所以，随机变量的概率分布列为故随机变量的数学期望：

22．已知函数为自然对数的底数，.

(1)判断的零点个数；

(2)设是的两个零点，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出，讨论的取值，利用零点存在定理即可得出结论；

（2）由可将不等式转化为，再构造函数即可得证.

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，恒成立，函数在上是增函数；

当时，令，解得：，

所以函数在上是减函数，在上是增函数，

此时函数的最小值是，

因为，

所以当时，

，且函数在上是减函数，即函数在区间上有唯一零点，

由，且函数在区间上是增函数，可知函数在区间上有唯一零点，

即当时，有两个零点；

当时，由，且函数在上是增函数，可知有一个零点；

当时，且函数在上是减函数，在上是增函数，即有一个零点；

当时，，此时没有零点；

当时，，且函数在上是减函数，在上是增函数，此时没有零点；

综上所述：当或时， 有一个零点；

当时，没有零点；

当时，有两个零点.

（2）由（1）知，不妨设，则由（1）易知，，

下面证明，

即证明，

又，

而在上是减函数，即证明即可，

而，即证即可，

设，

，

，

在上是增函数，由，

，而，

，

，

即，

，

即成立.

【点睛】本题考查零点存在定理与极值点偏移，属于难题，在第二问中由基本不等式将不等式转化为，再构造函数是解本题的关键.