山东省泰安市宁阳县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省泰安市宁阳县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列选项中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、被开方数含有开得尽因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2. 已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（ ）
A. 38B. 37C. 36D. 35
【答案】D
【解析】∵，
∴，
则，
∴，
故选：D．
3. 已知关于的一元二次方程的两个实数根相等，则（ ）
A. 1B. C. 0D. 0或
【答案】B
【解析】∵关于的一元二次方程的两个实数根相等，
∴且，
解得：．
故选：B．
4. 甲、乙、丙、丁四人手中各有一张如图所示的纸质卡片，卡片上分别写有一个算式，这四张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（ ）
A. 1张B. 2张C. 3张D. 4张
【答案】B
【解析】由图可得，
甲：，结果是有理数，符合题意；
乙：，结果是有理数，符合题意；
丙：，结果不是有理数，不符合题意；
丁：，结果不是有理数，不符合题意．
故选：B．
5. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6. 观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
按照上述规律，计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第个等式：，
∴按照上述规律，
故选：A．
7. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ）
A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定
【答案】A
【解析】由题意，，运动时间，
，
，
，
解得（舍去）或5，
∴运动时间为5秒时，的面积等于．
故选：A．
8. 如图，在正方形中，点M，N为，上的点，且，与交于点P，连接，点Q为中点，连接，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是正方形，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点Q为中点，
∴；
故选：B．
9. 在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法：
①若，则；
②若方程两根之积为，则；
③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
④若是方程一个根，则一定有成立．
这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】①当时，，
一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，
，故①错误；
②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确；
③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确；
④由是方程的一个根，得即．当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确．
综上所述：正确的有个；故选：B．
10. 如图，P为边长为4的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接．给出以下4个结论：①；②最短长度为；③当时，的长度为；④．其中结论正确的有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
【答案】D
【解析】如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，且，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，故①正确；
∵正方形，，
∴，
当时，，此时有最小值，
由①可知，
∴的最短长度为，故②正确；
如图所示，连接交于O，由（2）可得，
由正方形的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
二、填空题
11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意可得：，
解之可得：，
故答案为：
12. 关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根__________．
【答案】1
【解析】∵关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
解得：，
即另一个根，
故答案为：1．
13. 已知为一等腰三角形的两边长，且满足等式，则此等腰三角形的周长是___________．
【答案】10
【解析】根据题意得，且，
解得且，
所以，，
，
解得，
①当腰为2，底为4时不能构成三角形；
②当腰为4，底为2时，周长为．
故答案为：10．
14. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，每天要盈利800元时每件应降价多少元？设每件应降价x元，可列方程__________．
【答案】
【解析】由题意可得方程为；
故答案为．
15. 如图，矩形中，，，连接．以点为圆心，以任意长为半径作弧，交，分别于点，：分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点：作射线，交于点．则的面积为_________．
【答案】15
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，∠ADC＝90°,
由勾股定理可得：,
作HQ⊥AC交AC于点Q，
由作图可知CP是∠ACD的角平分线，
又∵∠ADC＝HQC＝90°，
∴HQ＝HD，CQ＝CD＝6，
设HQ＝HD＝x，则AH＝8－x，AQ＝10－6＝4，
在Rt△AHQ中，由勾股定理可得，
即，
解得：x＝3，
∴S△ACH＝，
故答案为15．
16. 将一组数，2，，，…，按图中的方法排列：
，2，，，，，
，4，，，，，
，，，，，，6，
…
若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为______．
【答案】
【解析】将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，可得：
，2，，，，，
，4，，，，，
，，，，，，6，
…
观察可知：(m为正整数)在第m行的第4个，
∴，在第169行的第4个，
∴这组数中最大数的位置记为，
故答案为：．
三、解答题
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
整理后得：，
配方得：，
开方得：或，
所以，；
（2），
，，，
，
，
即，．
18. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
19. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：……，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，吴老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法：现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是__________，小数部分是__________．
（2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值．
（3）已知，其中x是一个正整数，，求的值．
解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为：；
（2）∵，
∴，
a为的小数部分，b为的整数部分，
，，
∴；
（3）∵，
∴，
，其中x是一个正整数，，
，，
．
20. 如图，在菱形中，为对角线，是上的点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，，求长．
（1）证明：四边形是菱形，为对角线，
，，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图，连接交于点，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，，
在中，，
，
，
，
．
21. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
解：（1）∵，是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）∵，，
又∵，
∴，
∴，
解得（舍去），，
∴．
22. 如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，．
（1）求证：；
（2）当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
（1）证明：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形．
理由如下：
为中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形；
，为中点，
，
四边形是菱形；
（3）解：当满足（答案不唯一）时，四边形是正方形，
理由：由（2）知，四边形是菱形，
，，
，
四边形是正方形．
23. 学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米．
（1）据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
（2）如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？
解：（1）设这个增长率为，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：这个增长率为；
（2）∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米，
，
设矩形空地的宽为y米，则的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，的长为：，不合题意，舍去；
当时，的长为：，符合题意．
米．
答：场地的宽为8米．
24. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______；
②线段，，之间的数量关系为______．
【深入探究】
如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由．
（3）小段发现是一个定值．小段同学的发现是否成立?若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由．
解：（1）①∵四边形是正方形，
∴，
由折叠的性质得：，，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：45；
②∵，，
∴，
∴点三点共线，
∴，
故答案为：．
（2）正确，理由如下：
由折叠的性质得：，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）已得：，
∴．
（3）小段同学的发现成立，求解过程如下：
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∵，
∴．