2021-2022学年山东省泰安市宁阳县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

这是一份2021-2022学年山东省泰安市宁阳县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共48分）
下列运算正确的是( )
A. 3+3=3B. 45-5=4
C. 3×2=6D. 32÷8=4
对于一元二次方程2x2-3x+4=0，则它根的情况为( )
A. 没有实数根B. 两根之和是3
C. 两根之积是-2D. 有两个不相等的实数根
用配方法解方程x2+4x+1=0时，配方结果正确的是( )
A. (x-2)2=5B. (x-2)2=3C. (x+2)2=5D. (x+2)2=3
若式子x0x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>-1B. x≥-1且x≠0C. x>-1且x≠0D. x≠0
如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是( )
A. 一组对边平行而另一组对边不平行B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A. 1：2B. 1：4C. 1：3D. 1：9
若|a-3|+9a2-12ab+4b2=0，则ab=( )
A. 3B. 92C. 43D. 9
如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )
A. 43米B. 65米C. 125米D. 24米
如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cs∠ABC的值为( )
A. 23
B. 22
C. 43
D. 223
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形，若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是( )
A. ①和②相似B. ①和③相似C. ①和④相似D. ②和④相似
有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是( )
A. 14B. 11C. 10D. 9
矩形，菱形，正方形都具有的性质是( )
A. 每一条对角线平分一组对角B. 对角线相等
C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
已知关于x的一元二次方程kx2-(2k-1)x+k-2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______．
如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=EF，则∠EAF=______．
等边△ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD长是______．
如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=12，sinA=45，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE=______．
如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于______ ．
观察下列各等式：
①223=2+23；
②338=3+38；
③44154+415；
…
根据以上规律，请写出第5个等式：______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
计算：
(1)24-65×45；
(2)(3-2)0×4-(23-6)-3-8+12．
解方程
(1)2x2-5x+3=0；
(2)(2x+3)2+(2x+3)-2=0．
一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米到达点Q，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．
列方程(组)解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
(1)求证：PE⋅PF=PC2．
(2)如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC．
如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．
(1)求证：FG=EH；
(2)若正方形ABCD边长为5，AE=2，tan∠AGF=34，求PF的长度．
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA=OC，OB=OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
(1)求证：四边形DEBF是菱形；
(2)设AD/​/EF，AD+AB=12，BD=43，求AF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、原式=23，所以A选项的计算错误；
B、原式=35，所以B选项的计算错误；
C、原式=3×2=6，所以C选项的计算正确；
D、原式=32÷8=4=2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和除法法则．
2.【答案】A
【解析】解：∵a=2，b=-3，c=4，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×2×4=-23<0，
∴一元二次方程2x2-3x+4=0没有实数根．
故选：A．
根据方程的系数结合根的判别式△=b2-4ac，即可求出△=-23<0，进而可得出该方程没有实数根(若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项)．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△<0时，方程没有实数根”是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：方程x2+4x+1=0，
整理得：x2+4x=-1，
配方得：(x+2)2=3．
故选：D．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意得：x+1>0且x≠0，
解得：x>-1且x≠0，
故选：C．
利用分式和二次根式以及零指数幂有意义的条件确定关于x的不等式，从而确定答案．
此题考查的是分式，二次根式以及零指数幂有意义的条件，掌握其条件是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：要是四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接AC、BD，两线交于O，
根据三角形的中位线定理得：EF/​/AC，EF=12AC，GH/​/AC，GH=12AC，
∴EF/​/GH，EF=GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形，
∴EF/​/AC，EH/​/BD，
∵BD⊥AC，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF=90°，
故选C．
根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．
能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．
6.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC/​/EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴BCEF=OBOE=12，即△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，
故选：A．
根据位似图形的概念得到BC/​/EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边平行是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得，a-3=0，9a2-12ab+4b2=0，
解得a=3，b=332，
所以，ab=3×332=92．
故选：B．
根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵i=BCAC=12，AC=12米，
∴BC=6米，
根据勾股定理得：
AB=AC2+BC2=65米，
故选：B．
先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．
此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：法一、如图，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=BD=3，
∴AB=AD2+BD2=32+32=32，
∴cs∠ABC=BDAB=332=22．
故选：B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=BD=3，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴cs∠ABC=cs45°=22．
故选：B．
由图可知，可把∠ABC放在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出斜边AB的长，再利用余弦的定义可得cs∠ABC=BDAB=332=22．
本题主要考查勾股定理，锐角三角函数的定义等内容，题目比较简单，找到角所在的直角三角形是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：在△AOB与△COD中，
AOCO=BODO∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴①与③相似，故B选项正确，
又由于①与②，①与④，②与④均不满足相似的判定条件，故A，C，B选项均不正确，
故选：B．
利用相似三角形的判定定理，即两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可判定B选项正确．
本题考查了相似三角形的判定，要特别注意隐藏条件，即∠AOB=∠COD，是解决本题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x(1+x)=144，
即(1+x)2=144，
解方程得x1=11，x2=-13(舍去)，
故选：B．
患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，依题意列方程：1+x+x(1+x)=144，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
12.【答案】C
【解析】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．故选C．
矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．
本题主要考查的是对矩形，矩形，菱形，正方形的性质的理解．
13.【答案】k>-14且k≠0
【解析】解：根据题意得k≠0且Δ=(2k-1)2-4k(k-2)>0，
解得k>-14且k≠0．
即实数k的取值范围是k>-14且k≠0．
故答案为：k>-14且k≠0．
根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=(2k-1)2-4k(k-2)>0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
14.【答案】60°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF，
∵AE=EF，
∴AE=EF=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
故答案为：60°．
由菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，证明△ABE≌△ADF(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=AF，证出△AEF是等边三角形，则可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
15.【答案】23
【解析】解：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
又∠B=∠C，
∴△BAP∽△CPD，
∴ABCP=BPCD，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴CP=BC-BP=3-1=2，
∴32=1CD，
解得：CD=23，
故答案为：23．
根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出ABCP=BPCD，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
16.【答案】91050
【解析】解：如图，过点B作BF⊥EC于点F，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∵AD=5，sinA=DEAD=45，
∴DE=4，
∴AE=AD2-DE2=52-42=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD/​/AB，AD=BC=5，AB=CD=12，
∴BE=AB-AE=12-3=9，
∵CD/​/AB，
∴∠DEA=∠EDC=90°，∠CEB=∠DCE，
∴tan∠CEB=tan∠DCE，
∴BFEF=DECD=412=13，
∴EF=3BF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理得：EF2+BF2=BE2，
即(3BF)2+BF2=92，
解得：BF=91010，
∴sin∠BCE=BFBC=910105=91050，
故答案为：91050．
过点B作BF⊥EC于点F，由锐角三角函数定义求出DE=4，则AE=3，再由平行四边形的性质得AD=BC=5，AB=CD=12，然后由锐角三角函数定义得EF=3BF，最后由勾股定理求出BF的长，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，得出EF=3BF是解决本题的关键．
17.【答案】1：3
【解析】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，
∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，
∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，BDBF=12，
∴△DEF是正三角形，
∴BD：DF=1：3①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，
①÷②，ABDF=3，
∴DF：AB=1：3，
∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．
故答案为：1：3．
首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：3，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质．此题难度不是很大，解题时要注意仔细识图．
18.【答案】6635=6+635
【解析】解：第5个等式，等号左边根号外面是6，二次根式的分子也是6，分母是62-1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根，
故答案为：6635=6+635．
观察第一个等式，等号左边根号外面是2，二次根式的分子也是2，分母是22-1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根；观察第二个等式，等号左边根号外面是3，二次根式的分子也是3，分母是32-1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根；根据规律写出第5个等式即可．
本题考查了探索规律，逐步找到规律是解题的关键，注意第5个等式等号左边根号外面应该是6．
19.【答案】解：(1)24-65×45
=26-54
=26-36
=-6；
(2)(3-2)0×4-(23-6)-3-8+12
=1×4-23+6+2+23
=4-23+8+23
=12．
【解析】(1)先根据二次根式的乘法法则计算，再将二次根式化为最简二次根式并合并即可；
(2)直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算和二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：(1)∵2x2-5x+3=0，
∴(x-1)(2x-3)=0，
∴x-1=0或2x-3=0，
解得x1=1，x2=32；
(2)∵(2x+3)2+(2x+3)-2=0，
∴(2x+3-1)(2x+3+2)=0，即(2x+2)(2x+5)=0，
∴2x+2=0或2x+5=0，
∴x1=-1，x2=-52．
【解析】(1)将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；
(2)将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21.【答案】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC=x米，
由题意得：PQ=5米，∠APC=30°，∠BQC=45°，
在Rt△APC中，tan∠APC=ACPC=tan30°=33，
∴PC=3AC=3x(米)，
在Rt△BCQ中，tan∠BQC=BCQC=tan45°=1，
∴QC=BC=AC+AB=(x+3)米，
∵PC-QC=PQ，
∴3x-(x+3)=5，
解得：x=4(3+1)，
∴BC=4(3+1)+3=43+7≈14(米)，
答：无人机飞行的高度约为14米．
【解析】过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，设AC=x米，由锐角三角函数定义求出PC=3AC=3x(米)，QC=BC=(x+3)米，再由PC-QC=PQ=5米得出方程，求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
(38-x-22)(160+x3×120)=3640，
整理得x2-12x+27=0，
∴x=3或x=9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x=9，
∴售价为38-9=29元．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
【解析】设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD菱形，
∴AD=CD，∠CDP=∠ADP，CD/​/AB，
在△CDP和△ADP中，
CD=AD∠CDP=∠ADPDP=DP，
∴△CDP≌△ADP(SAS)，
∴PC=PA，∠DCP=∠DAP，
∵CD/​/AB，
∴∠DCP=∠F，
∴∠DAP=∠F，
∵∠APE=∠FPA，
∴△PAE∽△PFA，
∴PAPF=PEAP，
∴PA2=PE⋅PF，
∴PE⋅PF=PC2；
(2)∵CE⊥BC，
∴∠ECB=90°，
∵AD/​/BC，
∴∠CEA=∠BCE=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COP=90°，
∴∠COP=∠CEA，
∵∠OCP=∠ECA，
∴△POC∽△AEC．
【解析】(1)根据菱形的性质，首先利用SAS证明△CDP≌△ADP，得PC=PA，∠DCP=∠DAP，再说明△PAE∽△PFA，得PAPF=PEAP，即可证明结论；
(2)根据菱形的性质可说明∠COP=∠CEA，从而证明结论．
本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明PA=PC是解决问题(1)的关键．
24.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，
∠A=∠B=90°，
又∵AE=DF，
∴BE=AF，
∵FG⊥EH，
∴∠PEG+∠PGE=90°，
∵∠PGE+∠GFA=90°，
∴∠PEG=∠GFA，
在△AFG和△BEH中，
∠B=∠ABE=AF∠PEG=∠GFA，
∴△AFG≌△BEH(ASA)，
∴FG=EH；
(2)解：∵正方形ABCD边长为5，AE=2，
∴AD=5，DF=2，
∴AF=5-2=3，
∵tan∠AGF=34，
∴AG=4，
∴GE=AG-AE=2，
根据勾股定理，可得FG=5，
∵tan∠AGF=34，
设EP=3x，GP=4x，
根据勾股定理，得(3x)2+(4x)2=4，
解得x=25，
∴GP=85，
∴FP=FG-GP=175．
【解析】(1)根据正方形的性质可得∠A=∠B，∠PEG=∠GFA，从而可证△AFG≌△BEH(ASA)，即可得证；
(2)根据正方形的性质以及tan∠AGF=34，可得GE的长，再根据tan∠AGF=34，设EP=3x，GP=4x，根据勾股定理，求出x的值，进一步可得GP的长，从而可得PF的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴∠EBO=∠FDO，
在△BOE和△DOF中，
∠EBO=∠FDOOB=OD∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴BE=DF，
∵BE/​/DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形；
(2)解：∵AD/​/EF，EF⊥BD，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，
∵AD+AB=12，BD=43，
∴AD2+(43)2=(12-AD)2，
解得：AD=4，
∴AB=8，
∵AD/​/EF，AB/​/CD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE=DF，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE/​/BF，BF=BE=DF，
∴AE=BE=12AB=4，
∴AE=AD，BF=BE=4，
∴四边形AEFD是菱形，
∴AF⊥DE，
∴AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∴AF=AB2-BF2=82-42=43．
【解析】(1)证△BOE≌△DOF(ASA)，得BE=DF，再证四边形DEBF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由勾股定理求出AD=4，则AB=8，再由菱形的性质得DE/​/BF，BF=BE=DF，然后证四边形AEFD是菱形，得AF⊥DE，则AF⊥BF，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．