山东省烟台蓬莱区 2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省烟台蓬莱区 2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列各式是二次根式的有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）；
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】二次根式有（1），（3），
故选：C．
2. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】由题意得：且，
解得：，
故选：B．
3. 下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、，故符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：A．
4. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间
C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】B
【解析】
，
，且，
，
即的值应在4和5之间，
故选：B．
5. 下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等
C. 邻边相等D. 对角线平分一组对角
【答案】B
【解析】矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，
故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选B．
6. 利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，
此时同位角相等，两直线平行，不符合题意；
B．此时作的角平分线及作等腰，
故，
即内错角相等，两直线平行，不符合题意；
C．如图所示，
由题意可得，
∴四边形是菱形，
∴，不符合题意
D．作出线段的垂直平分线，无法证明平行，符合题意．
故选：D．
7. 今年春节期间上映的电影《哪吒2》讲述了一个富有创意的故事，节奏明快，令人耳目一新，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房为4.9亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为5.8亿元．若把增长率记作x．则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得：．
故选C．
8. 若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（ ）
A. 2025B. C. D.
【答案】C
【解析】把代入一元二次方程，得，
两边除以，得，
∴，
∴是一元二次方程的一根．
故选：C．
9. 若，则（ ）
A. 2007B. 2008C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：，
解得：，
则，
即：，
，即，
故选B．
10. 如图，动点P从菱形点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图4-2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】根据题意和图象可得：
当时，，
当点运动到点时，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴当点运动到中点时，，
故选：C．
二、填空题
11. 在函数中，自变量的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】根据题意，可得，
解得且，
即自变量的取值范围是且．
故答案为：且．
12. 若与最简二次根式能合并，则的值为______．
【答案】
【解析】∵，最简二次根式能与合并，
∴，
解得，
故答案为：．
13. 已知：，则________．
【答案】5
【解析】令，原方程变形为，
即，
解得，，
，
，
故答案为：5．
14. 关于方程的两实数根互为倒数，则两根之和为_________．
【答案】
【解析】设的两个根为，
则：，
∵关于的方程的两实数根互为倒数，
∴，
∴，
当时，，此方程无解，不符合题意；
当时，，
∴；
故答案为：．
15. 如图，矩形中，，点P、E分别在、上，则的最小值是______．
【答案】
【解析】如图，将线段沿翻折得到线段，过点F作于H，连接．
∵，，
由翻折可知，，，，
∵，
又∵，
∴的最小值就是线段的长，
在中，，，，
则，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
16. 如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，与交于点M，N为的中点，连接，若，，，则的长度为______．
【答案】5
【解析】∵正方形，，
∴，
，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵N为的中点，
∴，
故答案为：5．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
18. 用指定的方法解方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）；
（3）（因式分解法）；
（4）（用适当的方法）．
解：（1），
移项得，，
∴，
∴，
则，
∴或，
解得，；
（2），
，，，
，
∴方程有两个不相等实数根，
，
，；
（3）∵，
∴，
∴或，
∴，；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
19. 先化简再求值：，其中．
解：
，
∵，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴原式．
20. 观察下列运算：；
；
；
……
（1）通过观察上面的解答过程得：______（用含n的式子表示，n为正整数）．
（2）化简：．
解：（1），
故答案为：；
（2）
．
21. 已知关于x的一元二次方程（其中）．
（1）若是该方程的一个根，求方程的另一个根和m的值；
（2）当该方程有实数根时，求m的取值范围．
解：（1）将代入原方程得：，
解得：，
∴原方程为，
∴，
∴或，
解得，，
∴方程的另一个根为；
（2）当该方程有实数根时，
，
解得：，
∵是关于的一元二次方程，
，
的取值范围为．
22. “当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套.为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？
解：（1）由题意可得：，
与之间的函数关系式为：；
（2）由题意可得：，
整理得：，
解得：，，
要最大限度让利消费者，
，
答：此时每套辅导书的售价为30元．
23. 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答：
（1）观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________．
（2）探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明．
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长．
解：（1）∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
由旋转的性质得：，
∴四边形为菱形；
故答案为：菱形．
（2）四边形是正方形，理由如下：
∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
即，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
（3）在和中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为．
（1）当______时，四边形是矩形；
（2）当______时，四边形是菱形；
（3）是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
解：（1）由已知可得，，，
在矩形中，，，，
当时，四边形为矩形，
∴，
解得：，
故当时，四边形为矩形；
（2）∵，，
∴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴此时，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（3）不存在某一时刻t使得；理由如下：
过Q作，交于M，如图所示：
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形中，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴此方程无实数根，
∴不存在某一时刻t使得；
（4）如图2，
根据折叠可知：，，，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即，
解得：，，
即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．